Chương 4:
Giải Hệ phương trình
tuyến tính
1. Đặt vấn đề:
Trong chương này ta xét việc giải hệ phương trình đại số n phương trình, n ẩn số.









=+++
=+++
=+++
+
+
+
12211
122222121
111212111
...
.
.
...
...
nnnnnnn
nnn
nnn






nnnnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
...
.
.
...
...
321
2232221
1131211
gọi là ma trận hệ số của hệ phương trình
b =



















n
x
x
x
.
.
2
1
gọi là vectơ ẩn số của hệ phương trình
Hệ phương trình trên được viết gọn dưới dạng: Ax = b
Nếu ma trận A không suy biến, nghĩa là det(A) ≠ 0 thì hệ phương trình có
nghiệm duy nhất.
Thật vậy, vì det(A) ≠ o nên tồn tại A
-1
, ta suy ra
A
-1
.A.x = A
-1
.b ⇒ x = A
-1


=+++
=+++
=+++
=+++
)0(
454
)0(
443
)0(
432
)0(
421
)0(
41
)0(
354
)0(
343
)0(
332
)0(
321
)0(
31
)0(
254
)0(
243
)0(

=+
=++
=+++
)4(
454
)3(
354
)3(
343
)2(
254
)2(
243
)2(
232
)1(
154
)1(
143
)1(
132
)1(
121
ax
axax
axaxax
axaxaxax
(II)
Sau đó giải (II) từ dưới lên
(I) → (II) : Quá trình thuận

)0(
1
)1(
1
a
a
a
j
j
=
(j= 2,3,4,5)
)1(
1
)0(
1
)0()1(
jiijij
aaaa −=
(i=2,3,4 ; j= 2,3,4,5)
*Khử x
2
: chú ý các công thức:
)1(
22
)1(
2
)2(
2
a
a

3
)2(
43
)2(
4
)3(
4 jjj
aaaa −=
( j = 3,4,5)
*Khử x
4
: với
)3(
44
)3(
45
)4(
45
a
a
a =
b) Quá trình ngược:
Giải hệ phương trình (II)
x
4
=
)4(
45
a
x

15
xaxaxaa −−−
2.2 Sơ đồ tính và kiểm tra quá trình tính:
Sơ đồ tính :
x
1
x
2
x
3
x
4
Số hạng
tự do
Σ
Quá trình
Q
u
á

t
r
ì
n
h

t
h
u
ậ

ợ
c
Để kiểm tra người ta dùng cột “tổng kiểm tra” (Σ)
∑
=
=
5
1
)0()0(
6
j
iji
aa
(i= 1,2,3,4)
nó như một vế phải mới của hệ phương trình :
)0(
6
5
1
)0(
i
j
jij
axa =
∑
=
( i= 1,2,3,4)
rõ ràng :
1+=
jj

- Chuẩn cột :
∑
=
i
ij
j
amaxA
1
- Chuẩn Euclide:
∑
=
ji
ij
aA
,
2
2
- Chuẩn hàng:
∑
=
∞
j
ij
i
aA max
Vectơ là ma trận chỉ có một cột, ta có 3 chuẩn:
-
∑
=
=+++=

lớn)
3.1 Nội dung phương pháp:
Xét hệ phương trình Ax = b, ta hệ phương trình về dạng tương:
x = β + αx
trong đó :