Chương 2 : Lý thuyết nội suy
1. Đa thức nội suy:
Trong thực hành ta thường gặp những hàm số y = f(x) mà không biết biểu
thức giải tích cụ thể f của chúng. Thông thường, ta chỉ biết các giá trị y
0
, y
1
, …,
y
n
của hàm số tại các điểm khác nhau x
0
, x
1
, …, x
n
của [ a, b ]. Các giá trị này có
thể nhận được thông qua thí nghiệm, đo đạc. Khi sử dụng những hàm số trên,
nhiều khi ta cần biết các giá trị của chúng tại các điểm không trùng với x
i
(i=0,1,2,…n).
Muốn thế, ta tìm cách xây dựng một da thức:
P
n
(x) = a
0
x
n
+ a
1
x

n-1
x + a
n
đi qua các điểm M
i
(x
i
,y
i
) (i = 0, 1, 2…,
n) của đường cong y = f(x).Sau đó ta dùng đa thức P
n
(x) thay cho hàm số f(x) để
tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại các điểm x ≠ x
i
(i = 0, 1, 2…, n)
Sở dĩ ta chọn đa thức P
n
(x) vì trong tính toán, đa thức là hàm số dễ tính nhất.
Nhằm giảm bớt khối lượng tính toán, người ta cũng dùng đa thức nội suy P
n
(x)
thay cho hàm số f(x) để tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại các điểm x ≠ x
i
(i = 0, 1, 2…, n) trong trường hợp biểu thức giải tích cụ thể của hàm số f(x) đã
biết nhưng tương đối phức tạp.
Đa thức nội suy P
n
(x) cuả hàm số f(x) nếu có, thì chỉ có một mà thôi. (Chứng
minh sự duy nhất của đa thức nội suy xem như bài tập)

n-1
c + a
n
Cách tính P
n
(c) tiết kiệm nhất về số phép tính như sau: ta viết dưới dạng:
P
n
(c) = (…((((a
0
c + a
1
)c + a
2
)c + a
3
)c +…a
n-1
)c + a
n
)
Vậy để tính P
n
(c), chỉ cần lần lượt tính:
b
0
=

a
0

c = P
n
(c)
Để tiện tính toán, Ta dùng sơ đồ Horner
a
0
a
1
a
2 …………..
a
n
.
b
0
c b
1
c ……… b
n-1
c
b
0
b
1
b
2 ………….
b
n
= P
n

kiện:
L
n
(x
i
) = y
i
( i = 0,1,2,..,n)
Theo cách của Lagrange, trước hết ta xây dựng đa thức l
i
(x) thoả điều kiện:
l
i
(x)



=
0
1
Vì đa thức l
i
(x) phải tìm triệt tiêu tại n điểm x
0
, x
1
, …,x
i-1
, x
i+1

i
– x
0
)(x
i
– x
1
)…(x
i
– x
i-1
)(x
i
– x
i+1
)…(x
i
– x
n
) ]
Suy ra l
i
(x) = [(x – x
0
)(x – x
1
)…(x – x
i-1
)(x – x
i+1

=
=
n
i
n
xx
0
ii
y)(l)(L
Dễ thấy rằng L
n
(x) bậc không cao hơn n và
∑
=
=
n
i
jjn
xx
0
ii
y)(l)(L
= l
j
(x
j
)y
i
= y
i

, x
1
1
01
0
0
10
1
1
)(L y
xx
xx
y
xx
xx
x
−
−
+
−
−
=
Phương trình L
1
(x) chính là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M
0
(x
0
,y
0

))((
)(L y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
x
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=
Phương trình L
2
(x) chính là phương trình đường parabol đi qua 3 điểm M
0
(x
0
,y
0
),
M

)(
1)!(n
M
)(L)()(R
1
1n
nn
xxxfx
n+
+
Π
+
≤−=
trong đó
=
+1n
M
)(max
)1(
xf
n
bxa
+
≤≤
Π
n+1
(x) = (x – x
0
)(x – x
1

i
y
i+1
…
trong đó y
i
= f(x
i
) (i = 0, 1, 2,…, n) và ∆x
i
= x
i+1
– x
i
≠ 0 (i = 0, 1, 2,…, n)
không bằng nhau.
Tỷ số :
f[x
i
, x
i+1
] =
ii
ii
ii
ii
xx
yy
xx
xfxf

−
+
+++
2i
121
x
,,
(i = 0, 1, 2,…, n)
Tổng quát, ta định nghĩa tỷ hiệu cấp n của hàm số f(x) nhận được từ tỷ
hiệu cấp n-1
[ ]
[ ] [ ]
ini
niinii
niii
xx
xxfxxf
xxxf
−
−
=
+
−+++
++
11
1
,...,,...,
...,,,

với n = 1,2, … và i = 0,1,2,..

0
)(x – x
1
)…(x- x
n-1
)f[x
0
,x
1,…,
x
n
]
Đa thức P
n
(x) gọi là đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x
0
của
hàm số f(x) với sai số nội suy là:
R
n
(x) = ( x – x
0
)(x – x
1
)…(x – x
n
)f[x, x
0
, …, x
n

(x) = ( x – x
n
)(x – x
n-1
)…(x – x
1
)(x – x
0
)f[x, x
n
, …, x
0
]
Thí dụ: Cho bảng giá trị của hàm số y = f(x)
x 0 2 3 5 6
y 1 3 2 5 6
- Xây dựng đa thức nội suy tiến xuất phát từ x
0
= 0 của hàm số y =f(x)
- Dùng đa thức nội suy nhận được tính gần đúng f(1,25)
B/ Trường hợp các nút nội suy cách đều:
• Hiệu hữu hạn: Giả sử hàm số f(x) được cho dưới dạng bảng:
x x
0
x
1
x
2
… x
i