Tiểu luận về bài toán Quy Hoạch Tuyến Tính Người viết: Tô Thanh Hiền
Tiểu luận
BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Tô Thanh Hiền
- Trang 1 -
Tiểu luận về bài toán Quy Hoạch Tuyến Tính Người viết: Tô Thanh Hiền
MỞ ĐẦU
PHẦN I: LÝ DO.
Loài người xuất hiện trên trái đất cách đây hàng triệu năm, nhưng chỉ cách
đây khoảng 5 hoặc 6 nghìn năm con người mới bắt đầu có những hoạt động trí óc.
Từ khi ngôn ngữ ra đời con người đã biết đến những khái niệm cơ bản ban đầu về
toán học. Cùng với sự tiến bộ về kinh tế - xã hội của loài người, đã thút đẩy toán
học từng bước phát triển nhảy vọt. Nhất là khi con người biết tạo ra sản phẩm cần
thiết để phục vụ cho nhu cầu của đời sống xã hội thì việc trao đổi hàng hóa cần có
sự tính toán.
Không những thế, ngay từ khi con người biết suy nghĩ để tìm cách hành
động sao cho có lợi nhất cho mình theo những mục đích xác định. Những yêu cầu
cấp bách của sự phát triển nền kinh tế và quốc phòng lại càng làm nảy sinh những
ý tưởng tương tự. Do đó đã xuất hiện một bài toán cần phải giải quyết, đó là bài
toán về tìm phương án tối ưu.
Để giải quyết một cách có hiệu quả bài toán ấy, trước hết cần phải xây dựng
một mô hình toán học cho nó, trên đó thể hiện được bản chất của mỗi đối tượng đã
được khảo xác và sự liện quan cần phải tôn trọng giữa chúng; ngoài ra, dường như
cần phải chỉ rõ mục tiêu mong muốn đạt được. Bài toán tìm quyết định tối ưu với
mô hình toán học đã được xây dựng được gọi là bài toán quy hoạch toán học hay
bài toán tối ưu. Sự liên quan giữa các đối tượng đã được khảo sát trong quá trình
xây dựng mô hình toán học thường được thể hiện dưới dạng một hệ phương trình
và bất phương trình, coi đó như là những điều kiện ( hay ràng buộc ) không thể bỏ
qua. Nếu tất cả các hàm số có mặt trong bài toán ấy là các hàm tuyến tính thì ta có
bài toán quy hoạch tuyến tính.
ở phần quy hoạch tuyến tính này chỉ nghiên cứu về kiến thức ban đầu của

1
' '
ij j j
1
1
1
a = a , i I 2 trong I M= 1,2,...,m
a = b , j I 3 I = M \ In
j
m
i
n
j j
j
x
x
f x c x
=
=
=
∈ ⊂
∈
=
∑
∑
∑
ñoù

( hoặc bài toán cực đại hay bài toán dạng max ). Phương án x
*
được gọi là phương
án tốt hơn phương án x nếu: f(x
*
) < f(x) đối với bài toán cực tiểu ( f(x
*
) > f(x) đối
với bài toán cực đại )
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính được hiểu là tìm được dù chỉ một phương
án tối ưu; hoặc là chứng tỏ trên tập phương án hàm mục tiêu không bị chặn, tức là
hàm mục tiêu có thể nhận giá trị nhỏ tùy ý đối với bài toán dạng min ( hoặc lớn tùy
ý đối với bài toán dạng max )
Ta có thể thấy rằng:
( )
( )
( )
( )
x X
x X
x =max x - x =min - xf f f f
∈
∈
 
 
⇔
Viết dưới dạng gọn hơn
( )

ij j i

∈



≥ ∈


=
∑
∑
∑
Đưa ra một số kí hiệu và quy ước:
+ A là ma trân cỡ (m,n) thì A
i
= ( a
i1
,a
i2
, … , a
in
) là vectơ dòng thứ i của A;
A
j
= ( a
1j
,a
2j
, … , a
mj
) là vectơ cột thứ j của A.

1
,
n
j j
j
c x c x
=
=
∑
được gọi là tích vô hướng của hai vectơ c và x
Xem c và x là hai ma trận cột thì
1
t
n
j j
j
cx c x
=
 
 ÷
 
=
∑
là ma trận cấp 1,
trong đó
t
c là ma trận chuyển vị của c ( còn có thể kie hiệu là c
t
hay c
T

≥ trong đó : b = ( b
1
,b
2
, …,b
m
)
A là ma trận ràng buộc
b./ Nếu I
’
=
∅
và J = N thì ta có bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn
tắc. nó có dạng:
( )
t
f x = cx Min

Ax b

x 0
→



≥
≥

n+1
ẩn bù
Mỗi bất phương trình A
i
x ≤ b
i
được thay bởi bằng hệ
A
i
x + x
n+1
= b
i
và x
n+1
≥ 0 trong đó x
n+1
ẩn bù
Mỗi ẩn x
j
không ràng buộc về dấu đều có thể viết thành hiệu hai hai ẩn mới
không âm:
, ,, , ,,
j j j j j
x = x -x ; x 0 ; x 0≥ ≥
.
Nếu ẩn x
j
có điều kiện x
j

1
- Biểu diễn các ràng buộc lên đồ thị Oxy.
- Xác định phần được giới hạn bởi các ràng buộc là tập phương án.
- Xác định các điểm cực biên của tập phương án thỏa mãn các ràng buộc.
- Xác định giá trị của
( )
xf
tại các điểm cực biên.
- Suy ra phương án tối ưu
2./ THỰC TIỂN.
Trên cơ sở các kiến thức cơ bản của chương I của bài toán Quy Hoạch
Tuyến Tính nhằm vận dụng tốt các kiến thức trên vào giải các bài toán về tập mô
hình toán học và tìm phương án cho bài toán kinh tế ta thực hiện giải các bài toán
sau:
Bài 1: ( bài 1 chương I trong giáo trình quy hoạch tuyến tính trang 22)
Giải
Nguyên liệu A Nguyên liệu B Danh thu
Hàng loại I 2 3 7 đơn vị tiền
Hàng loại II 1 4 5 đơn vị tiền
Tổng 6 8
Gọi x
1
và x
2
là số hàn loại I và II cần sản xuất theo kế hoạch trong 1 ngày,
khi đó danh thu trong 1 ngày là f(x) = 7x
1
+ 5x
2
. do trữ lượng nguyên liệu có hạn









 →
≥
≤
≤
≤
≤
. 0 x,x
1 x - x
2 x
8 4x + 3x
6 x +2x

Max
2
5x + 7x = f(x)
21
21
1
21
21
1
- Trang 5 -