ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC 3Giả sử : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d với a ≠ 0 có đồ thò là (C). y’ = 3ax
2
+ 2bx + c, y” = 6ax +
2b
1) y” = 0 ⇔ x =
a3
b−
(a ≠ 0 )
x =
a3
b−
là hoành độ điểm uốn. Đồ thò hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

2) Để vẽ đồ thò 1 hàm số bậc 3, ta cần biết các trường hợp sau :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghòch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với x
1
< x
2

với x
1
< x
2
⇒ hàm đạt cực tiểu tại x
1
và đạt cực đại tại x
2
thỏa điều kiện x
1
+ x
2
= 2x
0
(x
0
là
hoành độ điểm uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên (−∞, x
1
)
+ hàm số giảm trên (x
2
, +∞)
+ hàm số tăng trên (x
1
, x
2
)


⎪
⎨
⎧
<
<α
<<α=
0)
2
x(y).
1
x(y
0)(y
2
x
1
xthỏa biệt ânn
ghiệm ph 2 có 0'y

ii) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt < α
⇔
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
>α
α<<=

2
+ cx + d = 0 (1) (a ≠ 0) khi x = α là
1 nghiệm của (1).
Nếu x = α là 1 nghiệm của (1), ta có
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = (x - α)(ax
2
+ b
1
x + c
1
)
nghiệm của (1) là x = α với nghiệm của phương trình ax
2
+ b
1
x + c
1
= 0 (2). Ta có các
trường hợp sau:
i) nếu (2) vô nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x = α
ii) nếu (2) có nghiệm kép x = α thì (1) có duy nhất nghiệm x = α
iii) nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt ≠ α thì (1) có 3 nghiệm phân biệt
iv) nếu (2) có 1 nghiệm x = α và 1 nghiệm khác α thì (1) có 2 nghiệm.
v) nếu (2) có nghiệm kép ≠ α thì (1) có 2 nghiệm
BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC 3
Cho họ đường cong bậc ba (C

m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
9) Đònh m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2). b) hàm số nghòch biến trong (0, +∞).
10) Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.
11) Tìm điều kiện giữa k và m để (D
k
) cắt (C
m
) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để (D
k
) cắt
(C
m
) thành hai đoạn bằng nhau.
12) Viết phương trình tiếp tuyến với (C
m
) và đi qua điểm (-1, 1).
13) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (C
m
) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số
góc lớn nhất.

BÀI GIẢI

PHẦN I : m = 3
Khảo sát và vẽ đồ thò (độc giả tự làm)

1) Gọi n là hoành độ của M. Vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = 2 nên

1
k
1
−
= 0. Phương trình này có a.c < 0, ∀ k
1
∈ (0,
3] nên có 2 nghiệm phân biệt, ∀ k
1
∈ (0, 3]. Vậy trên (C) luôn có 2 điểm phân biệt
mà tiếp tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến tại M.

2) E (e, 1) ∈ Δ. Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + 1 (D). (D) tiếp xúc
(C) ⇔ hệ có nghiệm.
⎩
⎨
⎧
=+−
+−=−+−
hx6x3
1)ex(h3n3x
2
23
⇒ Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
– x
3
+ 3x
2
– 3 = (– 3x
2

⇒ (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇒ có 3 tiếp tuyến.
ii) Nếu e = – 1 hay e =
3
5
hay e = 2
⇒ (1) có 2 nghiệm ⇒ có 2 tiếp tuyến.
iii) Nếu – 1 < e <
3
5
⇒ (1) có 1 nghiệm ⇒ có 1 tiếp tuyến.
Nhận xét : Từ đồ thò, ta có y = 1 là tiếp tuyến tại (2, 1) nên phương trình (1) chắc chắn có
nghiệm x = 2, ∀ e.
3) Vì y = 1 là tiếp tuyến qua E (e, 1), ∀ e và đường x = α không là tiếp tuyến nên yêu
cầu bài toán.
⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa : y'(x
1
).y'(x
2
) = – 1
⇔
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨

1)2x)(2x(x.x9
1x.x
2
1e3
xx
3
5
ehay1e
2121
21
21

⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=+−−
>−<
1]4)1e3(1[9
3
5
ehay1e

⇔ e =
27
55
. Vậy E
⎟

, y
4
) là 2 tiếp điểm. Ta có :

1
a2
b
2
xx
43
=
−
=
+1
2
6)xx(3)xx(
2
yy
2
4
2
3
3
4
3
343
−=

( 5 )
32 2 32
00 0
33(36)( ) 33xx xxxxxx−+ −=− + − − + −
⇔
0)x6x3)(xx()xx(3xx
2
0
2
0
23
0
3
=+−−+−−−
⇔
0x6x3x3x3xxxx0xx
2
0
2
00
2
0
=+−−−++∨=−
⇔
0x3xx)x3(x2hayxx
0
2
00
2
0

=

Suy ra, y
0
= 1. Vậy M(1, –1) (điểm uốn).
Nhận xét : vì x
0
là 1 hoành độ tiếp điểm nên pt (5) chắc chắn có nghiệm kép là x
0
Phần II : Tham số m thay đổi. y' = – 3x
2
+ 2mx
6) (C
m
) qua (x, y), ∀m
⇔ y + x
3
= m (x
2
– 1) , ∀m
⇔
⎩
⎨
⎧
=
−=
⎩
⎨
⎧
−=

⇔ a
1
.a
2
= – 1 ⇔ 9 – 4m
2
= – 1 ⇔ m =
2
10±
.
7) Hàm có cực trò ⇔ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
⇔ 3x
2
= 2mx có 2 nghiệm phân biệt.
⇔ x = 0 và x =
3
m2
là 2 nghiệm phân biệt.
⇔ m ≠ 0. Khi đó, ta có :

'ym
9
1
x
3
1
mxm
9
2
y

x
1
.x
2
= 0 và x
1
+ x
2
=
3
m2