ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC 3 Giả sử : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d với a ≠ 0 có đồ thị là (C). y’ = 3ax
2
+ 2bx + c, y” = 6ax
+ 2b
1) y” = 0 ⇔ x =
a3
b−
(a ≠ 0 )
x =
a3
b−
là hoành độ điểm uốn. Đồ thị hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

2) Để vẽ đồ thị 1 hàm số bậc 3, ta cần biết các trường hợp sau :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với x
1
< x
2

2
với x
1
< x
2
⇒ hàm đạt cực tiểu tại x
1
và đạt cực đại tại x
2
thỏa điều kiện x
1
+ x
2
= 2x
0
(x
0
là
hoành độ điểm uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên (−∞, x
1
)
+ hàm số giảm trên (x
2
, +∞)
+ hàm số tăng trên (x
1
, x
2
)






<
<
<<=
0)
2
x(y).
1
x(y
0)(y
2
x
1
x thoỷa bieọt aõnnghieọm ph 2 coự 0'y

ii) (C) ct Ox ti 3 im phõn bit <








<
>

2
+ cx + d = 0 (1) (a 0) khi x =
l 1 nghim ca (1).
Nu x = l 1 nghim ca (1), ta cú
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = (x - )(ax
2
+ b
1
x + c
1
)
nghim ca (1) l x = vi nghim ca phng trỡnh ax
2
+ b
1
x + c
1
= 0 (2). Ta cú
cỏc trng hp sau:
i) nu (2) vụ nghim thỡ (1) cú duy nht nghim x =
ii) nu (2) cú nghim kộp x = thỡ (1) cú duy nht nghim x =
iii) nu (2) cú 2 nghim phõn bit thỡ (1) cú 3 nghim phõn bit
iv) nếu (2) có 1 nghiệm x = α và 1 nghiệm khác α thì (1) có 2 nghiệm.
v) nếu (2) có nghiệm kép ≠ α thì (1) có 2 nghiệm
BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC 3
Cho họ đường cong bậc ba (C

trị.
8) Định m để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
9) Định m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2). b) hàm số nghịch biến trong (0,
+∞).
10) Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.
11) Tìm điều kiện giữa k và m để (D
k
) cắt (C
m
) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để (D
k
)
cắt (C
m
) thành hai đoạn bằng nhau.
12) Viết phương trình tiếp tuyến với (C
m
) và đi qua điểm (-1, 1).
13) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (C
m
) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ
số góc lớn nhất.

BÀI GIẢI
2
) ⇔ 3x
2
– 6x
1
k
1
−
= 0. Phương trình này
có a.c < 0, ∀ k
1
∈ (0, 3] nên có 2 nghiệm phân biệt, ∀ k
1
∈ (0, 3]. Vậy trên (C)
luôn có 2 điểm phân biệt mà tiếp tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến tại M.

2) E (e, 1) ∈ ∆. Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + 1 (D). (D) tiếp
xúc (C) ⇔ hệ



=+−
+−=−+−
hx6x3
1)ex(h3n3x
2
23
có nghiệm.
⇒ Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
– x

Biện luận :
i) Nu e < 1 hay
3
5
< e < 2 hay e > 2
(1) cú 3 nghim phõn bit cú 3 tip tuyn.
ii) Nu e = 1 hay e =
3
5
hay e = 2
(1) cú 2 nghim cú 2 tip tuyn.
iii) Nu 1 < e <
3
5
(1) cú 1 nghim cú 1 tip tuyn.
Nhn xột : T th, ta cú y = 1 l tip tuyn ti (2, 1) nờn phng trỡnh (1) chc chn
cú nghim x = 2, e.
3) Vỡ y = 1 l tip tuyn qua E (e, 1), e v ng x = khụng l tip tuyn nờn yờu
cu bi toỏn.
(2) cú 2 nghim phõn bit x
1
, x
2
tha : y'(x
1
).y'(x
2
) = 1



=
=

=+
><
1)2x)(2x(x.x9
1x.x
2
1e3
xx
3
5
ehay1e
2121
21
21







=+
><
1]4)1e3(1[9
3
5
ehay1e