Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...
LI CM N
Nghiờn cu khoa hc l mt ch hp dn nhiu ngi quan tõm, c
bit l vi sinh viờn nm cui. Vỡ thụng qua quỏ trỡnh tự nghiờn cu, chỳng tôi
cú th hiểu rõ hơn về bộ môn, nâng cao đợc nhận thức về bức tranh vật lý và b-
ớc đầu tập nghiên cứu khoa học m rng v nõng cao tm nhỡn, tm hiu bit
ca mỡnh.
Trong sut quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh khoỏ lun ny, tụi ó
nhn c s ch bo, hng dn v giỳp ht sc tn tỡnh ca thy giỏo-
tin s Trn Thỏi Hoa. Bờn cnh ú tụi cng ó nhn c s gúp ý chõn
thnh ca cỏc thy cụ giỏo trong khoa vt lý núi chung v cỏc thy cụ giỏo
trong t vt lý lý thuyt núi riờng. Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti cỏc
thy cụ giỏo ó giỳp tụi bc u lm quen vi vic nghiờn cu khoa hc,
chc chn iu ú s rt b ớch cho tụi trờn con ng hc tp v cụng tỏc sau
ny.Xuân Ho , tháng 6 n m 2009
Ngời thực hiện:
NguyễnTh Nga
1
Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...
LI CAM OAN
Khoỏ lun ny l kt qu lao động ca bn thõn tôi trong quỏ trỡnh hc
tp v nghiờn cu. Bờn cnh ú tôi c s quan tõm to iu kin ca thy
giỏo, cụ giỏo trong khoa vt lý c bit l s hng dn ca thy giỏo - Tin
s Trn Thỏi Hoa.
Trong khi nghiờn cu hon thnh bn khoỏ lun ny tụi cú tham kho
mt s ti liu ó ghi trong phn ti liu tham kho.
Vỡ vy, tôi xin khng nh kt qu ca ti: Dao ng t iu ho.
Cỏc bi toỏn v dao ng t iu ho khụng cú s trựng lp vi kt qu ca

( )
13 6
10 10 cm


. i tng ch yu ca c hc lng t l cỏc nguyờn t,
phõn t v cỏc ht c bn. Cụng c toỏn hc ca c hc lng t phn ln l
cỏc toỏn t tỏc ng trong khụng gian Hilbert. S ra i ca thuyt lng t
ó lm thay i t duy con ngi v cỏc hin tng v quỏ trỡnh vt lý trong
th gii cỏc ht c bn v nguyờn t, phõn t.
Có rt nhiu vn c bn cần nghiờn cu trong cơ học lợng tử. Mt
trong s vn có tính chất kinh điển là bài toán dao động tử điều hoà. giải
quyết vấn đề tìm năng lợng và trạng thái của dao động tử điều hoà, ta cần giải
phơng trình Schrodinger cho dao động tử điều hoà với thế năng điều hoà. Bài
toán này có một số tính chất cần quan tâm. Chính vì vậy đề tài của tôi có tên là:
Dao ng t iu ho. Cỏc bi toỏn v dao ng t iu ho. Đề tài này sẽ
liên quan đến các vấn đề nh thế về dao động tử điều hoà.
4
Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...
II. Mc ớch nghiờn cu
Giải bài toán v dao ng t iu ho.
Trên cơ sở ấy rốn c k nng gii phng trỡnh Schrodinger, bit kt hp
cỏc công c toỏn hc vo gii cỏc bi toỏn.
III. Nhim v nghiờn cu
Gii thiu, lp phng trỡnh Schrodinger cho dao dng t iu hoà.
Dựa vào các đòi hỏi của hàm sóng và đòi hỏi của phơng trình Schrodinger
để giải bài toán về dao động tử điều hoà
Gii thiu mt s dng bi toỏn c bn v dao ng t iu ho và cỏch
gii
IV. Đối tợng nghiên cứu


( ) ( )
t,z,y,xH

t,z,y,x
t
i
=



trong đó
W

m2
H

2
2
+=

Nghiệm của phơng trình Schrodinger tổng quát là:

( ) ( )


=

=
0n

Phng trỡnh Schrodinger ny là phơng trình Schrodinger dừng khụng
ph thuc vo thi gian m ch ph thuc khụng gian.
6
Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

I.1.2. Dao ng t iu ho

Chúng ta sẽ nghiên cứu chuyển động của hạt trong trờng thế U(x) Trong
khụng gian này ht chuyn ng thc hin nhng dao ng bộ quanh v trớ
cõn bng x
0
=0 của nó vì vậy ta có thể khai triển thế năng này dới dạng:( )
...x
x
U
!n
1
...x
x
U
2
1
x
x
U
UxU
n
( )
2
2
0
2
1 U
U x U x
2 x

= +

(3)
V ngời ta gi một ht thc hin nhng dao ng iu ho nh vy l
dao ng t iu hũa.
I.2. Thit lp phng trỡnh Schrodinger ca dao ng t iu ho.
Gi s xột một ht cú khi lng m, chuyn ng theo trục ox quanh v
trớ cõn bng di tỏc dng ca lc n hi
x
F kx=
M:
=
gradUF

2
x x
dU x
F U F dx kxdx k C
dx 2

T phng trỡnh Schrodinger cho ht chuyn ng 1 chiu
( ) ( ) ( )
2
2m
'' x E U x x 0 + =

h
Ta cú phng trỡnh Schrodinger cho dao ng t iu ho
( ) ( )
( ) ( )
xExx
2
m
xm2
0x
2
xm
E
m2
x''
nnn
22
2
22
22
2
=




t cú cũn ỳng khụng ta s i kim nghim iu ú bng cỏch i gii phng
trỡnh Schrodinger của dao động tử điều hoà:
( ) ( )
2 2
n n
2
2m m x
'' x E x 0
2


+ =h
(4)

8
Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...
Phơng trình (4) là phơng trình vi phân có thứ nguyên với:
[ ]
[ ]





s.j:
M:m
L:x


= =


=

h
h
Thay vào (4)
( ) ( )
2
''
n n
2
m 2m
0
2 2


+ =
ữ

h h
h h

( )
( )
( )
'' 2
n n

2
<< ta cú th b qua s hng
( )
n

trong
v trỏi (5) ta đợc:
( ) ( )
0''
n
2
n
=
(6)
Nghim ca (6) l:
( )
2
exp
2



ữ

.
9
NguyÔn ThÞ Nga K31B - lý Dao ®éng tö ®iÒu hoµ. C¸c bµi to¸n ...
Để nghiÖm có ý nghĩa vật lý tức là khi
∞→ξ
thì

ξ ξ ξ ξ
⇒ ψ ξ = − − ξ − + ξ − − −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

Thay
( )
ξψ
vµo (6) ta có phương trình cho hàm
( )
y ξ
là:
( )
y'' 2 y' 1 y 0− ξ + ε − =
(8)
Phương trình (5) có nghiệm dưới dạng chuỗi như sau:

( ) ( )
k k
0 1 k k
k 0
k 1 k 1
1 2 k k
k 1
k 2 k 2
2 3 k k
k 2
y a a ... a ... a
y' a 2a ... ka ... a k
y'' 2a 6a ... k k 1 a ... k 1 ka

0a1ka2a1k2k
0a1ka2a1k2k
0a
1ka2ka1k
k
0k
kk2k
0k 0k
k
k
k
k
0k
k
2k
2k 1k 0k
k
k
1k
k
2k
k
=ξ−ε+−++⇔
=ξ−ε+ξ−ξ++⇔
=ξ
−ε+ξξ−ξ−
∑
∑ ∑∑
∑ ∑ ∑
∞

a a
k 2 k 1
+
+
=
+ +
(10)
(10) l cụng thc truy toỏn tớnh cỏc h s
a

Do th nng
2 2
U
2

=
h
l hm chn ca to nờn hm
( )

l hm
chn (hoặc hm l) ca



chuỗi lu tha (9) phi l chui lu tha bc
chẵn (hoc l) ca

. Vỡ hm
2

( )
2k
2 k 1
4k 3
a a
2k 2k 1

+
=

khi k ln thỡ
( )
4k (3 ) 1
~
2k 2k 1 k
+

T õy suy ra:
( )
2k
2 k 1
1
a ~ a
k

Tng t:
( ) ( )
2 k 1 2 k 2
1
a ~ a

∞ ∞
= =
= ξ ξ ξ
∑ ∑
Tương tự xét chuỗi (9) là chuỗi lẻ khi đó trong (10) thay
k
bởi
2k 1
−

ta có:
( )
( ) ( )
( )
2k 1 2k 1
2k 1 2k 1
2 2k 1 1
a a
2k 1 1 2k 1 2
4k 1
a a
2k 1 2k
+ −
+ −
− + − ε
=
− + − +
− − ε
⇔ =
+

k4
~a
25k215k2
15k22
a
−−−−
−−−+−+−
ε−+−
=
…
Cuèi cïng:
2k 1 1
1
a ~ a
k!
+

Vậy chuỗi lẻ (9) có dáng điệu giống hàm
2
1
a expξ ξ
tức:
2
1
k2
0k
1
0k
k
k




ξ
−=ξψ
0akhi
2
exp
0akhi
2
exp
~
2
expy
1
2
0
2
2
12
Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...
iu kin
( )

trit tiờu bt buc
y
phi tr thnh a thc, ngha l
chui (9) phi ngt
max
k n=

1
E n
2

= +
ữ

h

( )
n 0,1,2,...=
(11)
Nh vy năng lng ca dao ng t b lng t hoỏ, nú ph thuc vo
s lng t
n

( )
n 0,1,2,...=
. Trng thỏi ng vi
n 0=
c gi l trng thỏi
c bn ca dao ng t lng t. Khi thay
1 2n =
vo (8), phng trỡnh (8)
tr thnh:
y'' 2 y' 2ny 0 + =
(12)
(12) gi l phng trỡnh vi phõn Hermite, nghim ca phng trỡnh ny l a
thc Hermite bc
n

(14)
Nu i t bin

v bin
x
thỡ hm súng ca dao ng t iu ho l
hm:
13
Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...
( )
1
4
2
n
n
m 1 m m
x exp x H x
2
2 n!



=
ữ

ữ



h h h

n
H
l a thc Hermite
bc
n
.
Hóy chun hoỏ hm súng
( )
n

?
Li gii:
Ta cú biu thc ca a thc Hermite l:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
n n 2 n 4
n
n n 1 n n 1 n 2 n 3
H 2 2 2 ...
1! 2!


= +
Hay vit di dng vi phõn:
( ) ( )
22
e