27

Chơng IV: Dao động tử điều hoà

4.1. Dao động tử điều hoà một chiều
Một vi hạt có khối lợng
m
chuyển động trong trờng có thế
năng
2
2
x
K
V =
.
Toán tử Hamilton của hạt là
2
2
22


x
K
m
p
H +=
. (1)
Từ đó, phơng trình Schrodinger mô tả chuyển động của hạt có
dạng:
( )
( ) ( )



2



m
pi
xa
,









+
0


2



m
pi
xa

ta chứng minh đợc hệ thức giao hoán giữa
a

và
+
a

:
28

[ ]
.1

,

=
+
aa
(5)
Từ biểu thức định nghĩa của
a

và
+
a

, ta suy ra

2


1


0
aaH

h
. (6)
Nh vậy bài toán tìm trị riêng của
H

trở thành bài toán tìm trị
riêng của toán tử
aaN


+
=
.
Giả sử
n

là hàm riêng của toán tử
N

tơng ứng với trị riêng
n
:

nn

nnn
annaNa


11

1


==
. (8)
Hệ thức trên cho thấy rằng
n
a


là hàm riêng của toán tử
N

ứng
với trị riêng
1

n
, nghĩa là:
1


=
nn

a

+

là hàm riêng của toán tử
N

ứng với trị riêng
1
+
n
:
1

+
+
=
nn
a

.
Tơng tự,
21

++
+
=
nn
a


(

00
+=+=
hh
. (10)
Từ đó:

0)
2
1
(

0
+= nH
nn

h
. (11)
Suy ra trị riêng
n
phải thoả mn điều kiện
2
1
n
. Mọi trạng
thái riêng của
H

tơng ứng với trị riêng


===
+
aaN
, (13)
( )
1100001
.1

1



===+===
++++++
aaaaaaaaNN
(14)
Nh vậy, chỉ số
n
, đánh dấu hàm riêng
n

, là số nguyên.
Trở lại phơng trình trị riêng
nnn
nNH

)
2
1

(16)
Ta có nhận xét rằng các mức năng lợng của dao động tử điều
hoà cách đều nhau; khoảng cách giữa các mức là
0

h
.
Để tìm hàm riêng của dao động tử điều hoà, ta đặt
222
0
2
xx
m




h
. (17)
Khi đó, các toán tử
a

và
+
a

có dạng









2
1
2


2

00
xm
x
m
pi
xa
h
, (18)











2


2

00
xm
x
m
pi
xa
h
. (19)
Phơng trình Schrodinger mô tả chuyển động của hạt trở thành
0
22
1

2
2
00
=









,
hay, một cách tơng đơng
0
2
1
0
=










+



. (21)
Phơng trình này có nghiệm
2
00
2
.)(




4
1
2
2
0
2
00
22
2
..)(
xx
eeBeBx













===
. (24)
Từ biểu thức của
0


n
a
n
+
=
. (25)
Nếu viết theo biến

thì:
2
2
)(














=
eA
n
nn












eHe
n
n
. (27)
Vậy hàm riêng của dao động tử điều hoà là
2
2
).(.)(



= eHA
nnn
. (28)
Trong đó hệ số chuẩn hoá
( )
2
1
!2