A. MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Như chúng ta biết Cơ học lượng tử là một lý thuyết Vật lý nghiên cứu sự vận
động của vật chất trong thế giới vi mô, các hạt trong thế giới đó gọi là vi hạt. Vấn
đề ở đây là các quy luật vận động của vi hạt không tuân theo các quy luật cổ điển.
Chỉ có cơ học lượng tử mới giải quyết một cách sâu sắc các quy luật và chính xác
các hiện tượng này.
Tuy nhiên bên cạnh đó nội dung cơ sở lý thuyết cũng như bài tập vận dụng
của Cơ học lượng tử tương đối khá phức tạp, chỉ có một số ít bài toán có lời giải
chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là: Bài
toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử
hiđrô (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm). Nhưng trong đó Dao động tử
điều hòa là bài toán cơ bản nhất, có lời giải chính xác không những trong cổ điển
mà cả trong cơ học lượng tử và đây cũng là bài toán giải được chính xác trong cơ
học lượng tử. Vì vậy em chọn đề tài này để nghiên cứu.
II. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Trong Cơ học lượng tử, kiến thức về cơ sở lý thuyết khá rộng được phân bổ
thành nhiều chương. Nhưng ở đây ta chỉ xét phần “Dao động tử điều hòa”. Cụ thể
là nghiên cứu về năng lượng của dao động tử điều hòa lượng tử 1 chiều và 3 chiều
và các dạng toán liên quan đến dao động tử điều hòa.
III. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU
Tìm hiểu về Dao động tử điều hòa: khái niệm, các loại Dao động tử điều hòa,
ứng dụng giải các bài tập.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Ở đây ta đi nghiên cứu về năng lượng của dao động tử điều hòa.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Thu thập thông tin, tài liệu từ các nguồn: Internet, tài liệu khác.
- Phân tích và tổng hợp tài liệu.
- Dựa trên kiến thức lĩnh hội được trong quá trình học và các lý thuyết sẵn
có.
- Đưa ra các bài tập vận dụng.

2
2
0
d x k
x
dt m
+ =
trong đó
k
m
là một số dương, ta đặt:
2
k
m
ω
=
Nghiệm của phương trình, có dạng:
sin osx A t Bc t
ω ω
= +
cos( )x a t
ω ϕ
= +
Động năng của hạt tính bằng công thức:

2 2 2 2
sin ( )
2 2
mx ma t
T

= + =
Ứng với một giá trị
ω
, năng lượng có thể có những giá trị liên tục, tỉ lệ thuận
với a.
 Theo cơ học lượng tử:
Ta có toán tử động năng:
2
'
2 2
2
ˆ
( )
2 2
m x
d
T x
m dx
∧
 
 ÷
 
= = −
h
Nếu xét bài toán trong cơ học lượng tử tức là viết phương trình Schrodinger cho
dao động tử ta phải viết toán tử thế năng ở dạng:

2 2 2 2 2
ˆ
( )

1
( ) ( ) ( )
2
n n n
d
m x u x E u x
m i dx
ω
 
 
 
+ =
 
 
 
 
 
h
Lưu ý ta dùng chỉ số n để kí hiệu thứ tự của mức năng lượng (n là số nguyên),
u
n
(x) là nghiệm ứng với mức năng lượng E
n
. Giải phương trình này ta có thể tìm
thấy nghiệm u
n
(x) dưới dạng chuỗi lũy thừa, chuỗi này phải thỏa mãn một số điều
kiện. Từ các điều kiện có thể suy ra giá trị của năng lượng E
n
.

   
h h

2
2 2
2
2
2
1
( )
2
1
( . ) ( ) ( )
2
1 1
ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
d df
im x im xf x
m i dx i dx
d f d df
m x f m x m x f x
m dx dx dx
d
m x m f x H f x
m i dx
ω ω
ω ω ω
ω ω ω

(*)
tương tự:
1 1
ˆ ˆ
( ) ( ) ( )
2 2
a a H H a a
m
ω ω
+ − + −
= − → = +
h h
(**)
Lấy (*) – (**) ta được:
1 1
ˆ ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
a a a a H H
ω ω ω
− + + −
− = + − − =h h h
Ta dùng phương trình (**) để viết lại phương trình Schrodinger:

1
ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
2
n n n n
Hu x a a u x E u x


( ) ( )
{ }
1 1
2 2
ˆ ˆ
( ) ( )( )
a a a U a a a U
H a U a H U E a U
ω ω ω
ω ω
+ − + + − +
+ + +
   
= + = − +
   
   
= = + = +
h h h
h h
Tương tự ta cũng chứng minh nếu U(x) là nghiệm riêng nào đó thỏa mãn
phương trình Schrodinger với trị riêng E thì hàm
( )a U x
−
cũng thỏa mãn phương
trình Schrodinger với năng lượng riêng là
E
ω
−
h

= = − = −
h h h
h h
Kết luận: Khi tác dụng toán tử
a
+
lên một trạng thái u
k
(x) có mức năng lượng
E
k
nào đó ta được một trạng thái
1
( )
k
u x
+
có mức năng lượng E
k
+
ω
h
còn khi tác
dụng toán tử
a
−
lên một trạng thái u
k
(x) có mức năng lượng E
k

0 0
1
( ) ( ) 0
2
d
a u x im x u x
i dx
m
ω
−
 
= − =
 
 
h
0 0
0
0
2 2
0 0 0
( ) ( )
. ( ) .
( )
ln ( ) ons ( ) exp
2 2
du x du x
m m
x u x x dx
dx u x
m m

E
ω
=
h
. Đây chính là giá trị năng lượng ở mức cơ bản.
Các mức năng lượng cao hơn được tìm thấy bằng cách tác dụng toán tử tăng lên
trạng thái cơ bản liên tục thì trị riêng của các trạng thái cao hơn (gọi là trạng thái
kích thích). Như vậy năng lượng của các dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn
(khác với lý thuyết cổ điển) và có giá trị nhỏ nhất bằng
min
1
2
E
ω
= h
năng lượng này
được gọi là năng lượng không. Các mức năng lượng kích thích là:
1
2
k
E k
ω
 
= +
 ÷
 
h
(***)
trong đó k là các số nguyên dương hoặc bằng không k = 0,1,2,3…
Từ (***) nếu dung điều kiện chuẩn hóa có thể tính được:

m m
u x x
m m
u x a u x a x
ω ω
π
ω ω
π
+ +
   
= −
 ÷  ÷
   
   
= = −
 ÷  ÷
   
h h
h h
Năng lượng cơ bản liên quan chặt chẻ với dao động không của dao động tử,
nghĩa là khi nhiệt độ T tiến về không, dao động tử vẫn dao động với mức năng
lượng
min
1
2
E
ω
=
h
. Điều này đã được thực nghiệm xác nhận bằng thí nghiệm tán xạ

ψ ψ
=
Nghiệm của phương trình là:
( , , ) ( ) ( ) ( )
3 3
2 2
x y z x y z
x y z
n n n n n n
n n n x y z
x y z x y z
E n n n n
ψ ψ ψ ψ
ω ω
=
   
= + + + = +
 ÷  ÷
   
h h
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1:Một hạt với năng lượng di chuyển dưới thế năng của dao động tử điều
hòa. Tính xác suất tìm thấy hạt trong vùng cấm cổ điển.So sánh kết quả này
với xác suất tìm thấy hạt ở những mức năng lượng cao hơn.
Bài giải:
Đối với dao động tử điều hòa cổ điển ta có:
Do đó năng lượng là
Trong đó:
Vùng cấm cổ điển là hoặc . Do đó xác suất tìm thấy hạt trong vùng cấm cổ
điển là:

Do đó .Tương tự:
Nên .
Ta áp dụng vào trạng thái
Nên:
Hoặc
Do đó, ta kết luận rằng: tỉ lệ với , Tức là:
Với là hằng số được cho bởi
Ta đã thấy rằng do đó . Chọn.
Cuối cũng ta có được:
Tương tự ta áp dụng vào trạng thái và tìm
Hoặc
Nên ta kết luận rằng tỉ lệ với , tức là:
Với là hằng số
Ta thấy rằng , do đó . Chọn .
Ta có
Lưu ý rằng ta áp dụng vào trạng thái cơ bản , ta được:
Do đó ta …
Bài 3: Cho một dao động tử điều hòa một chiều.
a) Xuất phát từ hệ thức bất định, xác định mức năng lượng thấp nhất có thể có của
dao động tử điều hòa.
b) Tính các giá trị trung bình
2
,x x
của dao động tử điều hòa ở trạng thái cơ bản
(trạng thái có mức năng lượng thấp nhất)
( )
0
x
ψ
.

2
ˆ
2 2
p m
H x
m
ω
∧
= +
Năng lượng trung bình của dao động tử điều hòa được xác định bằng công thức:
2
2 2 2
2 2
ˆ
* *
2 2 2 2
x
p
m p m
E H dx x dx x
m m
ω ω
ψ ψ ψ ψ
∧
 
 ÷
= = + = +
 ÷
 ÷
 

m
ω
∆ +
 
= + + ∆
 
 

2 2
2
2 2
p m
E x
m
ω
∆
≥ + ∆
Áp dụng hệ thức bất định
2
2
2
4
x
p
x
∆ ≥
∆
h
ta có:
2 2

ω
= +
h
;
2
a x
= ∆
( )
2 2
'
2
0
8 2
m
f a
ma
ω
−
= + =
h

2 2
2
2 8
m
ma
ω
=
h


Vậy mức năng lượng thấp nhất có thể có của dao động tử điều hòa một chiều là:
min
2
E
ω
=
h
.
b) Ta có:
*
0 0
n n
x x dx
ψ ψ
+∞
−∞
=
∫
n = 1, 2, 3, 4.
2
ax
2
4
0
( )
a
x e
ψ
π
−

−
−∞ −∞
= =
∫ ∫
Ta có hàm số f(x) =
2
ax
xe dx
+∞
−
−∞
∫
là hàm lẻ vì f(-x) = -f(x), mà cận chạy từ
−∞ → +∞
là cận đối xứng nên f(x) = 0.
.0 0
a
x
x
= =
*
2 2
2
ax ax
2 * 2 2 2 ax
2 2
4 4
0 0
a a a
x x dx e x e dx x e dx

I
I x e dx
a
a
π
+∞
−
−∞
∂
= − = =
∂
∫
2
4 ax
2
3
5
3
4
I
I x e dx
a
a
π
+∞
−
−∞
∂
= − = =
∂

.
Vì hàm
( )
2
3 ax
f x x e
−
=
là hàm lẻ và cận đối xứng.
*
2 2
2
4 * 4 4 ax 4 ax
0 0
2
5
3 1 3 3
4 4 4
a a a
x x dx x e dx x e dx
x a m
a
ψ ψ π
π π ω
+∞ +∞ +∞
∧
− −
−∞ −∞ −∞
 
= = = = = =



= → =

−

2
2
ax
2 ax
1 1 1
.
2 2 2 2 2
a e a
x x e dx
a a a a a m
π
π π ω
+∞
−∞
+∞
−
−
−∞
 
⇒ = + = = =
 
−
 
 


= → =

−

2
2
2
ax
4 3 2 ax
2
3 3 3
.
2 2 4 4
a e
x x x e dx
a a a m
π ω
+∞
−∞
+∞
−
−
−∞
 
 
⇒ = + = =
 
 ÷
−

ˆ
, , , , , ,
2 2
m
H x y z x y z x y z E x y z
m x y z
ψ ω ω ω ψ ψ
 
 
∂ ∂ ∂
 
= − + + + + + =
 
 ÷
∂ ∂ ∂
 
 
 
h
Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
, ,x y z x y z
ψ ψ ψ ψ
=
và thay vào phương trình trên rồi chia cả hai vế
của phương trình vừa nhận được cho
( ) ( ) ( )
x y z
ψ ψ ψ
2 2 2 2

   
 
− ∂
+ + = =
 
∂
 
h h
h
Ta suy ra:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2
1 1
2
2
2
2 2
2 2
2
2
2
2 2
3 3

∂
h
h
h
với E
1
, E
2
, E
3
bằng const và E = E
1
+ E
2
+ E
3
. Các hàm sóng
( ) ( ) ( )
, ,x y z
ψ ψ ψ
là các
phương trình dao động tử điều hòa một chiều.
Đặt
1
m
X x
ω
=
h
,

E n
ω
 
= +
 ÷
 
h

2
2 2 2
2
( ) ( )
Y
n n n
Y A e H Y
ψ
−
=
,
2
2 2
1
2
n
E n
ω
 
= +
 ÷
 

, n
3
= 0, 1, 2, 3… và
1 2 3
, ,
n n n
A A A
là các hệ số chuẩn hóa hàm sóng:
1
1
1
4
1
1
1
2 !
n
n
m
A
n
ω
π
 
=
 ÷
 
h
,
2

m
A
n
ω
π
 
=
 ÷
 
h
Hàm sóng và năng lượng của dao động tử điều hòa ba chiều được xác định như
sau:
1 2 3 1 2 3
( , , ) ( ) ( ) ( )
n n n n n n
x y z x y z
ψ ψ ψ ψ
=
1 2 3 1 2 2
1 2 3
1 1 2 2 3 3
2
n n n n n n
E E E E n n n
ω ω ω
ω ω ω
+ +
 
= + + = + + +
 ÷

 ÷
 
h
với
1 2 3
, , 0,1,2,3 n n n =
Bài 5: Viết toán tử Hamintơn của dao động tử điều hòa một chiều trong biểu
diễn xung lượng.Tìm hàm riêng và trị riêng của nó trong biểu diễn xung lượng.
Bài giải
Toán tử Hamintơn của dao động tử điều hòa một chiều trong
p
ur
- biểu diễn có
dạng:
2
2 2 2 2 2
2
2
ˆ
2 2 2 2
p m p m
H ih
m p m p
ω ω
 
∂ ∂
= + = −
 ÷
∂ ∂
 

0
d
d
ϕ ξ
λ ξ ϕ ξ
ξ
+ − =
Nghiệm
( )
ϕ ξ
được tìm dưới dạng:
( )
( )
2
2 y
e
ξ
ξ
ϕ ξ
−
=
Khi đó hàm
( )
y
ξ
thỏa mãn phương trình:
2
2
2 2 0
d y dy

k k
n k
a a
k k
+
−
=
+ +
, n = 0, 1, 2…
1
2
n
E n
ω
 
= +
 ÷
 
h
Hàm
( )
ϕ ξ
có thể viết dưới dạng:
( ) ( )
2
2
n n n
A e H
ξ
ϕ ξ ξ

 
=
 ÷
 
h
Bài 6: Tìm hàm sóng của hạt trong xung lượng biểu diễn đối với dao động tử
điều hòa ở trạng thái cơ bản
2 2
1
2
2
( )
x
x e
α
ψ α
π
−
 
=
 ÷
 
với
1
2
2
m
ω
α
 

ϕ
π
+∞ +∞
− +
−∞ −∞
+∞
− + +
−∞
= =
=
∫ ∫
∫
h
h
h
Trong đó
1
2
2
A
α
π
 
=
 ÷
 
;
1
2
2

h
Bài 7: a) Tính vị trí và toán tử xung lượng
ˆ
( )
H
X t
và
ˆ
( )
H
P t
trong bức tranh
Heisenberg cho dao động tử điều hòa một chiều.
b) Tìm phương trình chuyển động Heisenberg cho
ˆ
( )
H
X t
và
ˆ
( )
H
P t
.
Bài giải
a) Hàm Hamilton của dao động tử điều hòa có dạng
2
2 2
1
ˆ

ˆ
, ,
2
H p m X P i m X
ω ω
∧
∧
 
 
= =
 
 
 
h
(2)
Ta tính được:
1
ˆ ˆ ˆ
( ) os( ) sin( )
ˆ ˆ ˆ
( ) os( ) sin( )
H
H
X t Xc t P t
m
P t Pc t m X t
ω ω
ω
ω ω ω
= +

ˆ ˆ ˆ ˆ
2
ˆ
( ) 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ), ,
ˆ
( ) 1 1 ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
( ), ,
itH itH itH i H
H
H
itH itH itH i H
H
H
dX t i
X t H e X H e e Pe
dt i i i m
dP t i m
p t H e P H e e Xe
dt i i i
ω
− −
− −
   
= = =
   
−

H
dP t
m X t
dt
ω
= −
Bài 8: Cho
ˆ
( )
H
X t
và
ˆ
( )
H
P t
, hãy tính các giao hoán tử cho dao động tử điều hòa
sau.
1 2
ˆ ˆ
( ), ( )
H H
X t P t
 
 
;
1 2
ˆ ˆ
( ), ( )
H H

hệ thức giao hoán
ˆ ˆ
,X P i
 
=
 
h
và
ˆ ˆ ˆ ˆ
, , 0X X P P
   
= =
   
, ta có.

1 2 1 1 2 2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ), ( ) os( ) sin( ), os( ) sin( )
H H
X t P t Xc t P t Pc t m X t
m
ω ω ω ω ω
ω
 
 
= + −
 
 
 

1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ), ( ) os( ) sin( ), os( ) sin( )
H H
X t X t Xc t P t Xc t P t
m m
ω ω ω ω
ω ω
 
 
= + +
 
 
 

[ ]
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
, os( )sin( ) , sin( ) os( )
os( )sin( ) sin( ) os( )
X P c t t P X t c t
m m
i
c t t t c t
m
ω ω ω ω
ω ω
ω ω ω ω

   [ ]
1 2 1 2
1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
, os( )sin( ) , sin( ) os( )
sin( ) os( ) os( )sin( )
m P X c t t m X P t c t
i m t c t c t t
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω
   
= − −
   
= − −h
Hoặc
[ ]
1 2 1 2
ˆ ˆ
( ), ( ) sin ( )
H H
P t P t i m t t
ω ω
 
= − −
 
h
Bài 9: Xét một dao động tử điều hòa 3chiều đẳng hướng.