PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I/ PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
Bài 1: Cho ΔABC có trong tâm G và M là điểm tùy ý trong k
o
gian.
a/ CMR: MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= 3MG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2
.
b/ Tìm quỹ tích các điểm M sao cho MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= k
2
.
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm ΔBCD và O là trung điểm của AG; M là điểm tùy ý.
a/ CMR:

= k
2
.
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hai điểm M, N nằm trên hai cạnh B’C’ và CD sao cho MB’
= CN. CMR: AM ⊥ BN.
Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng :
a/
''2ACAC AC+=
uuuur uuuur uuur
b/
'' 2'ACAC CC−=
uuuur uuuur uuuur

II/ VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
Bài 1: Trong không gian Oxyz. Hãy viết tọa độ của các vectơ:
a/ b/ c/
1
2aee
→→
=− +
3
→ →
312
2bee
→→
=−
12
273ceee
→→→→
=−+

a/ (2;1;3)u
→
=− b/
16
(;0;
5
3
v
→
=− ) c/
1
(;0;)
2
m
π
→
=

d/ e/
(
0; 2;5p
→
=−
)
(0;0; 2)q
→
=−
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho 3õ vectơ: . (2;5;3); (0;2;1); (1;7;2)abc
→→→
=− = − =

, M
2
, M
3
lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên
các trục Ox, Oy, Oz. Gọi
'
1
M
,
'
1
M
, M
3
’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng
Oxy, Oyz, Ozx. Tìm tọa độ của các điểm M
1
’, M
2
’, M
3
’. Áp dụng cho M(–1,2,3).
Bài 6: Cho điểm M có tọa độ (x; y; z). Tìm tọa độ của điểm:
a/ N đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy. b/ P đối xứng với M qua trục Ox.
c/ Q đối xứng với M qua gốc tọa độ O. Áp dụng với M(–2; 5; 1).
Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm: A(0; 2; –1); B(1; 1; 3) và C(–1; 2; –2).
a/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ΔABC.
b/ Tính diện tích ΔABC.
Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: A(1; 0; 1); B(2; 1; 2); D(1; –1; 1); C’(4; 5; –5).

ab
→→
,
a/ b/ (4;3;1); ( 1;2;3)ab
→→
==− (2;4;5), (6;0; 3)ab
→→
==−
Bài 13: Cho ΔABC với A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1).
a/ Tính các góc của ΔABC.
b/ Tìm tọa độ trong tâm G của ΔABC.
c/ Tính chu vi và diện tích tam giác đó.
Bài 14: Tìm điểm M trên trục Oy, biết M cách đều 2 điểm A(3; 1; 0) và B(–2; 4; 1).
Bài 15: Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm M cách đều 3 điểm A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0) và C(3; 1; –1).
Bài 16: Tính diện tích của hình bình hành ABCD có
(6;3; 2)
AB
= −
uuur
và
(3; 2;6)
AD
=−
uuur
.
Bài 17: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ trong mỗi tr.hợp sau:
,,abc
ur ur ur
a/ b/ (4;2;5); (3;1;3); (2;0;1)abc
→→→

Bài 23: Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1) và .
2OC i j k
=++
uuur r ur ur
a/ CMR: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b/ Tính chu vi và diện tích của ΔABC.
c/ Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
d/ Tính độ dài đường cao của ΔABC hạ từ đỉnh A.
e/ Tính các góc của ΔABC.
Bài 24: Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(–2; 1; –1).
a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b/ Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
c/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A.
Bài 25: Cho A(1; –2; 2), B(1; 4; 0), C(–4; 1; 1) và D(–5; –5; 3).
a/ CMR: tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc.
b/ Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài 26: Cho tứ diện PABC, biết P(1; –2; 1), A(2; 4; 1), B(–1; 0; 1) và C(–1; 4; 2). Tìm tọa độ hình chiếu
vuông góc của P trên (ABC).

2
Bài 27: Cho A(4; 2; 6), B(10; –2; 4), C(4; –4; 0) và
( )
2OD k i= −
uuur ur r
.
a/ CMR: ABCD là hình thoi. b/ Tính diện tích của hình thoi.
Bài 28: Cho
5
2; ;1
2

b/ Tính diện tích hình bình hành đó.
Bài 29: Cho A(1; 0; 1), B(–2; 1; 3) và C(1; 4; 0).
a/ Tìm hệ thức giữa x, y, z để điểm M(x; y; z) thuộc mp(ABC).
b/ Tìm trực tâm H của ΔABC.
c/ Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
III/ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
A/ Phương trình của mặt phẳng.
Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát của mp(α) đi qua 3 đ A(2; –5; 1), B(3; 4; –2) C(0; 0; –1).
Bài 2: Cho điểm M(2; –1; 3) và mp(α) có p.trình 2x –y + 3z –1 = 0.
a/ Lập pt tổng quát của mp(β) đi qua M và song song với mp(α).
b/ Hãy lập phương trình tham số của mp(β) nói trên.
Bài 3: Hãy lập pt mp(α) đi qua 2 điểm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) và song song vơi trục Oz.
Bài 4: Lập pt mp(α) đi qua điểm M(2; –1; 2) và vuông góc với các mp: 2x – z + 1 = 0 và y = 0.
Bài 5: Lập pt mp(α) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với các mp: 2x – y + 3z – 1 = 0 và x + 2y + z = 0.
Bài 6: Lập pt mp(α) đi qua hai điểm A(1; –1; –2) B(3; 1; 1) và vuông góc với mp x – 2y + 3z – 5 = 0.
Bài 7: Cho mpα có phương trình tham số :
xt
yt
zt
=+
=− +
=− − +
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
1
2
52


3
Bài 1: Xác đònh m để hai mặt phẳng: Song song với nhau? Trùng nhau? Cắt nhau?
a/ (P): 2x –my + 3z –6 + m = 0; (Q): (m+3)x –2y + (5m +1)z–10 = 0
b/ (P): (1– m)x + (m + 2)y + mz + 1 = 0;
(Q): 4mx – (7m + 3)y –3(m + 1)z + 2m = 0
Bài 2: Cho 3 mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0; (Q): x + 3y –z + 2 = 0 và (R): –2x + 2y+ 3z + 3 = 0.
a/ Chứng minh (P) cắt (Q).
b/ Viết p.trình mp(S) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và qua điểm M(1; 2; 1).
c/ Viết p.trình mp(T) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và song song với mp(R).
d/ Viết p.trình mp(U) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và vuông góc với mp(R).
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Đi qua M(2; 1; –1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình: x – y + z – 4 = 0 ; 3x – y
+ z – 1 = 0.
b/ Qua giao tuyến của hai m.phẳng: y + 2z – 4 = 0; x + y – z – 3 = 0 đồng thời song song với mp: x +
y + z = 0.
c/ Qua giao tuyến của hai m.phẳng: 3y – y + z –2 = 0; x + 4y –5 = 0 đồng thời vuông góc với mp: 2x
– z + 7 = 0.
Bài 4: Tìm điểm chung của ba mặt phẳng:
a/ x + 2y – z – 6 = 0; 2x – y + 3z + 13 = 0; 3x – 2y + 3z + 16 = 0
b/ 4x + y + 3z – 1 = 0; 8x – y + z – 5 = 0; 2x – y – 2z – 5 = 0
Bài 5: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; –2; 1), C(–4; 1; 1) và D(1; 1; –3).
a/ Viết phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD).
b/ Tính góc giữa (ABC) và (ABD).
c/ Tìm pt mp(P) chứa CD và // với vectơ
v
ur
= (m; 1–m; 1+m). Đònh m để mp(P) vuông góc với
mp(ABC).
d/ Đònh m, n để mp(P) trùng với mp: 4x + ny + 5z + 1 – m = 0.


4
a/ Song song với đường thẳng a:
xt
yt
zt
=+
=− −
=− −
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
15
22
1
b/ Lần lượt song song với các trục Ox, Oy, Oz.
Bài 3: Lập p.trình tham số và p.trình tổng quát của đường thẳng d:
a/ Đi qua hai điểm A(1; 0; –3), B(3, –1; 0).

5
0
0
b/ Đi qua điểm M(2; 3;–5) và // với đ.thẳng: .
327
323
xy z
xyz
−+ −=

.
Bài 7: Viết p.trình tổng quát của đ.thẳng d dưới dạng giao của hai m.phẳng song song với các trục Ox, Oy
biết p.trình tham số của d là:
a/
22
13
43
x t
y
zt
=+
⎧
⎪
=− +
⎨
⎪
=− +
⎩
t
b/
1
24
32
x t
yt
zt
=− +
⎧
⎪
=−

3x yz− +−
==

a/ Trên mpOxy b/ Trên mpOxz c/ Trên mpOyz
Bài 10: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d:
2
230
xyz
xz
50− ++=
⎧
⎨
−+=
⎩
trên mp: x + y + z – 7 = 0.
Bài 11: Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau:
a/ Đi qua điểm (–2; 1; 0) và vuông góc với mp: x + 2y – 2z = 0
b/ Đi qua điểm (2; –1; 1) và vuông góc với hai đường thằng:
(d
1
): ; (d
10
20
xy
xz
++=
⎧
⎨
−=
⎩

20
xz
yz
−−=
⎧
⎨
−=
⎩
0