Chuyên đề 11:

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Tóm tắt giáo khoa
Đònh nghóa
y f )(x
: Cho hàm số
=
[]
xác đònh trên khoảng (a;b)
[ ]
)
2
()
1
(
21
:);(
2
,
1

f xfxfxxbaxx <⇒<∈∀⇔
đn
b)(a; trên (tăng) biếnđồng

•
•
[]

)(
2
xf
a
bO
)(f
(f
2
x
)
1
x
a
b
1
x
2
x
)(:)( xfyC
=

1. Điều kiện cần của tính đơn điệu:
Đònh lý 1: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)
•

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

•
•
[ ]
b)(a; trên (giảm) biếnnghòchb)(a;x 0(x)
'
f f ⇒∈∀<
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

•
[ ]
b)(a; trên đổi khôngb)(a;x 0(x)
'
f f ⇒∈∀=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

∈∀≥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

[]
b)(a; trên (giảm) biếnnghòch
b)(a; của điểm hạnhữu
sốmột tại raxảy chỉ thức đẳng
b)(a;x 0(x)
'
f
f ⇒
∈∀≤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥

⎡
∈∀≥⇔ b)(a;x 0(x)
'
fb)(a; trên (tăng) biếnđồng
•
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈∀≤⇔ b)(a;x 0(x)
'
fb)(a; trên (giảm) biếnnghòch f

•
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈∀=⇔ b)(a;x 0(x)
'
fb)(a; trên đổi không f

x a
b

)
(
'
xf
Bước 3: Dựa vào đònh lý điều kiện đủ để kết luận.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
1)
xxy −= 4
2)
1
2
3
+
+
=
x
x
y
3)
1
2
2
−
=
x
x
y


2
3
3
1
)( +−+++−== axaxxxfy
(1). Tìm a để hàm số nghòch biến trên R
Bài 3: Tìm m để hàm số
4)3(
2
)1(
3
3
1
−++−+−= xmxmxy
đồng biến trên khoảng (0;3)
Bài 4: Cho hàm số
3
2
)32(
2
)1(
3
3
1
)( −−+−+== xmxmxxfy
(1)
a) Với giá trò nào của m, hàm số (1) đồng biến trên R
b) Với giá trò nào của m, hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1;+∞)
Bài 5: Cho hàm số
1

2
. Đònh m để hàm số đồng biến trong khoảng (1;
+∞
)
Bài 8: Chứng minh rằng: với mọi
xtgxx
3sin2 >+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∈
2
;0
π
x

Bài 9: Chứng minh rằng:
3
3
x
xtgx +>
với mọi
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

=−+−−+

Tìm a để hàm số nghòch biến trong khoảng (-2;0)
Bài 12: Cho hàm số (1) 1
23
++−= xmxxy
Tìm các giá trò của m để hàm số (1) nghòch biến trong khoảng (1;2)
Bài 13: Cho hàm số
2
1
1
x mx
y
x
+−
=
−

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (-
∞
;1) và (1;+
∞
).
Bài 14: Cho hàm số
2
2
2
x xm
y
x

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;+
∞
) 71
ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
********
Cơ sở để giải quyết vấn đề này là dùng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số và dựa vào
chiều biến thiên của hàm số để kết luận về nghiệm của phương trình , bất phương trình, hệ phương trình .
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
----------
I. Đònh nghóa : Cho hàm số y = f(x) xác đònh trong khoảng (a,b).
a) f tăng ( hay đồng biến ) trên khoảng (a,b) ⇔
∀
x
1
, x
2

∈
(a,b) : x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) < f(x

f(u) < f(v) u < v (với u, v ⇔
∈
(a,b) )

3) Tính chất 3: Giả sử hàm số y = f(x) giảm trên khoảng (a,b) ta có :

f(u) < f(v) u > v (với u, v ⇔
∈
(a,b) )

4) Tính chất 4:

Nếu y = f(x) tăng trên (a,b) và y = g(x) là hàm hằng hoặc là một hàm số giảm
trên (a,b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khỏang (a,b)

*Dựa vào tính chất trên ta suy ra :

Nếu có x
0

∈
(a,b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất trên (a,b)

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 : Giải các phương trình sau :

3
++=
++
++

Bài 3 : Giải các hệ :
1) với x, y
⎩
⎨
⎧
π=+
−=−
2y8x5
yxgycotgxcot
∈
(0,
π
)
2)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
+−=−
2yx
)2xy).(xy(22
22
yx


73