TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 24 tháng 06 năm 2010
BTVN HÀM ĐA THỨC
Câu 1 : Cho hàm số
3 2
(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m= + − + − + +
(C)
1.1 Tìm m để hàm đồng biến trên
( )
0;+∞
1.2 Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn:
a)
2
CT
x <
b) Hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -1
c)
1 2
1
3
x x− >
, với
1 2
;x x
là hoành độ các điểm cực trị
d) Có ít nhất 1 hoành độ cực trị thuộc khoảng (-2; 0)
Câu 2 : Cho hàm số
3 2
3 2y x x mx= − − +
. Tìm m để hàm số có:

.

Câu 3 : Cho hàm số
4 2 4
2 2y x mx m m= − + +
3.1. Tìm m để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại
3.2. Tìm m để hàm số có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác:
a. Vuông cân
b. Đều
c. Tam giác có diện tích bằng 4.
3.3. Viết phương trình parabol đi qua 3 điểm cực trị.
3.4. Tìm m để parabol đi qua 3 điểm cực trị đi qua điểm
( )
2;1M
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Câu 4 : Cho hàm số
3
3 2y x x= − + +
(C)
4.1. Tìm điểm trên trục hoành sao từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C);
4.2. Tìm m để hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = mx;
4.3. Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(-1; 3);
4.4. Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua đt 2x – y + 2 = 0;
4.5. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau:
a)
3
3 1 0x x m− + + − =

BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào QuangPage 2 of 26
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
HDG CÁC BTVN
Câu 1 : Cho hàm số
3 2
(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m= + − + − + +
(C)
1.3 Tìm m để hàm đồng biến trên
( )
0;+∞
1.2 Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn:
a.
2
CT
x <
b. Hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -1
c.
1 2
1
3
x x− >
, với
1 2
;x x

( )
2
2
2
3
1 73
2 6
' 0 6
4
0
1
1
3
2
x
f xx
x
x x
x
= = ⇔
+ −
− ±
+ − ⇔
+
= =
Lập bảng biến thiên của hàm f(x) trên
( )
0;+∞
, từ đó ta đi đến kết luận:
1 73 3 73

(*)
Với điều kiện (*), gọi
1 2
x x<
là 2 nghiệm phân biệt của y’ = 0. Hàm số đạt cực trị tại các điểm
1 2
;x x
.
a. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
2
2 2
2 1 4 5
3
CT
m m m
x x x x
− + − −
= = ⇒ =
Do đó:
2
2 1 4 5
2
3
2
CT
m
x
m m− + − −
⇔ <<
Page 3 of 26

m
 
∈ −∞ − ∪
 ÷
 
b. Hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -1
⇔
y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;x x
đều lơn hơn -1
( ) ( )
2
2
1 2
1 2
' 4 5 0
' 4 5 0
(1 2 ) 5
2 2
3 4
1 1 0
(1 2 )
3
2
2
0
3
2
m m

3
2 m
x x
m
x x
−

+ = −



−

=


Ta có:
( ) ( )
2 2
1 2 1 21 2 1 2
1
4
1
3 9
x x x x x x x x⇔ = + −− >− >

( ) ( )
2
2
4 1 2 4 2 1 16 12 5 0

x x
x x
− < < <


⇔ − < < ≤


≤ − < <

Ta có:
Page 4 of 26
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
( ) ( )
2
2
1 2
1 2
1 2
4 5 0
' 4 5 0
2 1
2 0
3
2 0
10
(1) 1
2


− < <
 
⇔ ⇔ ⇔ − < < −
 
− −
+ + >
 
+ + >
 
−
>
 

>


( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
1 2
1 2
4 5 0
' 4 5 0
2
0 2 0
2 1

−
⇔ ⇔ ⇔ ≥
 
> −
+ + + >
 
 
−
−
+ + >

+ + >


( )
2
2
1 2
1 2
4 5 0
' 4 5 0
3 5 0
2 10 6 0
5
2 1
(3) 1
0
3
0
3

−
>

>


Tóm lại các giá trị m cần tìm là:
[
)
5
; 1 2;
3
m
 
∈ − − ∪ +∞
÷

 
Câu 2 : Cho hàm số
3 2
3 2y x x mx= − − +
. Tìm m để hàm số có:
2.1. Cực trị và các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x – 1
2.2. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với y = - 4x + 3
2.3. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng x + 4y – 5 = 0 một góc
45
o
.
2.4. Các điểm cực trị đối xứng qua tâm
5 17

' 3 6 0y x x m⇔ = − − =
có 2 nghiệm phân biệt

' 9 3 0 3m m⇔ ∆ = + > ⇔ > −
(*)
Với điều kiện (*), gọi
1 2
x x<
là 2 nghiệm phân biệt của y’ = 0. Hàm số đạt cực trị tại các điểm
1 2
;x x
; gọi hai
điểm cực trị là
( ) ( )
1 21 2
; ; ;A B xy yx
Thực hiện phép chia y cho y’ ta được:
1 1 2
' 2 2
3 3 3 3
m m
y x y x
     
= − − + + −
 ÷  ÷  ÷
     
⇒

( )
( )

=

=
⇒
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d:
2
2 2
3 3
m m
y x
   
= − + + −
 ÷  ÷
   

2.1. Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x – 1
⇔
xảy ra 1 trong 2 trường hợp:
TH1: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y = x – 1
2 3
2 1
3 2
m
m
 
− + = ⇔

⇔ = −
÷
 

 ÷  ÷
   
+ +
⇔ = −
 
⇔ + = − ⇔ =
 ÷
 
⇔ = −
⇔
Vậy các giá trị cần tìm của m là:
3
0;
2
m
 
= −
 
 
2.2. Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với y = - 4x + 3

2
2 4
3
3
2 3
3
m
m
m

P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Ta có:
3
39
1 1
1
1
5
10
4 4
4
tan 45
1
1 1 5
1
1
1
4
4 4 3
2
k
m
k k
k
k
k k k m




3 3
M
 
−
 ÷
 

M d
⇔ ∈
217 5
2 2 3
3 33 3
m m
m
   
− + + − ⇔ =
 ÷  ÷
⇔
   
− =
(thỏa mãn)
Vậy m = 3
2.5. Theo định lí viet ta có:
1 2
1 2
2
3
x x
m
x x

2
2
m
m
m

 
− + = −
 ÷


 
⇔ ⇔ = −


−


+=
(thỏa mãn (*))
Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn bài toán
2.6. Các điểm cực trị A, B nằm về 2 phía đối với đường thẳng y = 4x + 5.

( )
( )
2
1 2 1 2
2
3 4 2 1 0
3


− <
⇔


Vậy
15
4
m >
là các giá trị cần tìm.
Page 7 of 26
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
2.7. Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1
2
221 2 1
2
2 1
3
AB y y
m
x x x x

 
= + − =

 
÷

Với m thỏa mãn đk (*)
2
2 0
3
m
⇒ + >
2
2 2AB AB⇒ > ⇒ >
Vậy khi hàm số có cực trị thì khoảng cách cực trị luôn lớn hơn
2
2.8. Áp dụng định lí viet, kết hợp điều kiện ta có hệ:

1
1 2
1 2 2
1 2
1 2
5
2
2
1 5 15
3 2 3 4 4
3 4
3
x
x x
m m

3.2. Tìm m để hàm số có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác:
a. Vuông cân
b. Đều
c. Tam giác có diện tích bằng 4.
3.3. Viết phương trình parabol đi qua 3 điểm cực trị.
3.4. Tìm m để parabol đi qua 3 điểm cực trị đi qua điểm
( )
2;1M
Lời giải:
3.1. Ta có:
3
2
0
' 4 4 0
( ) 0
x
y x mx
g x x m
=

= − = ⇔

= − =

Vì hệ số a = 1 > 0 nên nếu hàm số có 1 cực trị thì đó là điểm cực tiểu, do đó điều kiện để hàm có cực tiểu mà
không có cực đại là y’ = 0 đổi dấu tại duy nhất 1 điểm
⇔
0 0
g
m m∆ = ≤ ⇔ ≤

ABC⇔ ∆
vuông cân tại A
2 2 2
BC AB AC⇔ = +

4 4
0
4 2 2
1
m
m m m m m
m
=

⇔ = + ⇔ = ⇔

=

Kết hợp điều kiện, suy ra giá trị cần tìm
1m
=
b.
ABC∆
đều
4
4BC AB AC m m m⇔ = = ⇔ + =
4
3
0
3

ABC
S AM BC m m
m m m
∆
= = =
⇔ = ⇔ = ⇔ =
Vậy
5
16m =
3.3. Chia y cho y’ ta được:
( )
2 4
1
. ' 2
4
y x y mx m m= + − + +
Do hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của y’ = 0 nên phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là
parabol:
( )
2 4
: 2
m
P y mx m m= − + +
3.4.
( )
P
đi qua điểm
( )
2;1M
4

x
+
− − =
+

4.6. Chứng minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
Lời giải:
4.1. Điểm M thuộc trục hoành Ox
( )
;0M a⇒
. Nhận thấy đường thẳng x = a không là tiếp tuyến của (C), xét
đường thẳng đi qua M có hệ số góc k có dạng:
( )
y k x a= −
tiếp xúc với (C)
( )
3
2
3 2
3 3
x x k x a
x k

− + + = −

⇔

− + =



( ) ( )
( )
2
2
6 4 3
3 2 8 3 2 0
3 12 4 0
3
6 0
1 0
6 4 3
3
a
a a
a a
f
a

+
>


∆ = − − + >

− − >


⇔ ⇔ ⇔
 


x m

− + + =

⇔

− + =


có nghiệm
Suy ra:
( )
3 2
3 2 3 3x x x x− + + = − +

( )
( )
2
2 1 1 0
1
x x x
x
⇔ + − + =
⇔ = −
Thay vào ta được m = 0. Vậy m = 0 thì (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 0.
4.3. Gọi
( ) ( )
0 0
;A x y C∈
,