ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 1
TOÁN CAO CẤP A 3 ðẠI HỌC
Tài liệu tham khảo:
1. Giáo trình Toán cao cấp A3 – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP. HCM.
2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP.HCM.
3. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 3) – ðỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBðHQG TP. HCM.
4. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 4) – ðỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBðHQG TP. HCM.
5. Phép tính Vi tích phân (tập 2) – Phan Quốc Khánh – NXB Giáo dục.
6. Phép tính Giải tích hàm nhiều biến – Nguyễn ðình Trí (chủ biên) – NXB Giáo dục.
7. Tích phân hàm nhiều biến – Phan Văn Hạp, Lê ðình Thịnh – NXB KH và Kỹ thuật.
8. Bài tập Giải tích (tập 2) – Nguyễn Thủy Thanh – NXB Giáo dục.

Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. ðịnh nghĩa
• Cho
2
D ⊂ ℝ
. Tương ứng
:f D → ℝ
,

( , ) ( , )x y z f x y=֏

duy nh
ấ
t,
ñượ
c g

ậ
p h
ợ
p
ñ
i
ể
m M trong
2
ℝ
sao cho
f(M) có ngh
ĩ
a, th
ườ
ng là t
ậ
p liên thông. (T
ậ
p liên thông D
là t
ồ
n t
ạ
i
ñườ
ng cong n
ố
i 2
ñ

sao cho
f(M) có ngh
ĩ
a, th
ườ
ng là mi
ề
n liên thông (n
ế
u M, N thu
ộ
c
mi
ề
n D mà t
ồ
n t
ạ
i 1
ñườ
ng n
ố
i M v
ớ
i N n
ằ
m hoàn toàn
trong D thì D là liên thông-Hình a)).
n liên n
ế
u D
ñượ
c gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i 1
ñườ
ng cong kín (Hình
a);
ñ
a liên n
ế
u
ñượ
c gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i nhi
ề
u
ñườ
ng cong kín r

f(x, y) mà không nói gì thêm thì ta hi
ể
u
MX
ð
D là t
ậ
p t
ấ
t c
ả
(x, y) sao cho f(x, y) có ngh
ĩ
a.
• Hàm s
ố
n bi
ế
n f(x
1
, x
2
,…, x
n
)
ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ

ñ
óng tâm O(0; 0), bán kính R = 2.

VD 3.
Hàm s
ố

2 2
( , ) ln(4 )z f x y x y= = − −
có MX
ð
là
hình tròn m
ở
tâm O(0; 0), bán kính R = 2.

VD 4.
Hàm s
ố

( , ) ln(2 3)z f x y x y= = + −
có MX
ð
là n
ử
a
mp m
ở
biên d: 2x + y – 3 không ch
ứ

ℝ
,
ký hi
ệ
u
0n
M M→
hay
0 0
( ; ) ( ; )
n n
x y x y→
, khi
n → +∞

n
ế
u
( )
2 2
0 0 0
lim , lim ( ) ( ) 0
n n n
n n
d M M x x y y
→∞ →∞
= − + − =
.

• Cho hàm s

ế
u m
ọ
i dãy
ñ
i
ể
m M
n
(M
n
khác M
0
) thu
ộ
c D
d
ầ
n
ñế
n M
0
thì
lim ( , )
n n
n
f x y L
→∞
=
.

n khác nhau thì
0
lim ( )
M M
f M
→
∃
.

VD 5.
Cho
2
2
2 3 1
( , )
3
x y x
f x y
xy
− −
=
+
, tính
( , ) (1, 1)
lim ( , )
x y
f x y
→ −
.


=
+
.
Ch
ứ
ng t
ỏ

( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
f x y
→
không t
ồ
n t
ạ
i.

• Hàm s
ố
f(x, y) xác
ñị
nh trong D ch
ứ
a M
0
, ta nói f(x, y)
liên t
ụ

f(x, y) liên t
ụ
c trong D n
ế
u liên t
ụ
c t
ạ
i m
ọ
i
ñ
i
ể
m
M thu
ộ
c D. Hàm s
ố
f(x, y) liên t
ụ
c trong mi
ề
n
ñ
óng gi
ớ
i n
ộ
i

x y

≠

+
=


=

.
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 2§2. ðẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN

2.1. ðạo hàm riêng
a) ðạo hàm riêng cấp 1

• Cho hàm số f(x, y) xác ñịnh trên D chứa M
0
(x
0
, y
0
). Nếu
hàm số 1 biến f(x, y
0
) (y

/
0 0 0 0
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) lim
x
x
f x x y f x y
f x y
x
∆ →
+ ∆ −
=
∆
.
• Tương tự ta có ñạo hàm riêng theo y tại (x
0
, y
0
) là:
/
0 0 0 0
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) lim
y
y
f x y y f x y

• Vớ
i hàm n bi
ế
n ta có
ñị
nh ngh
ĩ
a t
ươ
ng t
ự
.
VD 4.
Tính các
ñạ
o hàm riêng c
ủ
a
2
( , , ) sin
x y
f x y z e z=
. b) ðạo hàm riêng cấp cao
• Các hàm s
ố
f
x

ủ
a f.
Ký hi
ệ
u:
( )
2
2
//
2
x xx
x
x
f f
f f f
x x x
∂ ∂ ∂
 
= = = =
 
∂ ∂ ∂
 
,
( )
2
2
//
2
y yy
y

f f
f f f
x y x y
 ∂ ∂ ∂
= = = =
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
.

VD 5.
Tính các
ñạ
o hàm riêng c
ấ
p hai c
ủ
a
3 2 3 4y
z x e x y y
= + −
t
ạ
i
( 1; 1)−
.
VD 6.
Tính các
ñạ
o hàm riêng c

ñị
nh ngh
ĩ
a t
ươ
ng t
ự
.

ðịnh lý (Schwarz)

• N
ế
u hàm s
ố
f(x, y) có các
ñạ
o hàm riêng f
xy
và f
yx
liên t
ụ
c
trong mi
ề
n D thì f
xy
= f
yx

có
th
ể
bi
ể
u di
ễ
n d
ướ
i d
ạ
ng:
0 0
( , ) . .
f x y A x B y x y
α β
∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆
,
trong
ñ
ó A, B là nh
ữ
ng s
ố
không ph
ụ
thu
ộ
c
, x y∆ ∆

a f(x, y) t
ạ
i M
0
(x
0
, y
0
)
ứ
ng v
ớ
i
, x y∆ ∆
.
Ký hi
ệ
u df(x
0
, y
0
).
• Hàm s
ố
f(x, y) kh
ả
vi trên mi
ề
n D n
ế

ừ

0 0
( , ) . .
f x y A x B y x y
α β
∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆
, ta suy ra:
0 0 0 0
( , ) ( , ) .
f x x y f x y A x x
α
+ ∆ − = ∆ + ∆0 0 0 0
0
( , ) ( , )
lim
x
f x x y f x y
A
x
∆ →
+ ∆ −
⇒ =
∆
,
t
ươ

x y
df x y f x y dx f x y dy= +
.
Tổng quát:

/ /
( , ) ( , ) ( , ) , ( , )
x y
df x y f x y dx f x y dy x y D= + ∈
.
VD 7.

Tính vi phân c
ấ
p 1 c
ủ
a
2 3 5x y
z x e xy y
−
= + −
t
ạ
i (–1; 1).
VD 8.
Tính vi phân c
ấ
p 1 c
ủ
a

ả
vi t
ạ
i M
0
. b) Vi phân cấp cao

• Vi phân c
ấ
p 2:
( )
2 2
2
// 2 // // 2
( , ) ( , )
( , ) 2 ( , ) ( , )
xy
x y
d f x y d df x y
f x y dx f x y dxdy f x y dy
=
= + +
.

• Vi phân c
ấ
p n:

VD 10. Tính vi phân cấp 2 của
2
( , ) ln( )f x y xy= .

c) Ứng dụng vi phân cấp 1 vào tính gần ñúng giá trị hàm
số

0 0
/ /
0 0 0 0 0 0
( , )
( , ) ( , ). ( , ).
x y
f x x y y
f x y f x y x f x y y
+ ∆ + ∆ ≈
≈ + ∆ + ∆
.
VD 11. Tính gần ñúng
1,02
0,97
arctg
.

2.3. ðạo hàm của hàm số hợp
• Cho hàm số f(u, v), trong ñó u = u(x) và v = v(x) là những
hàm số của x. Nếu f(u, v) khả vi của u, v và u(x), v(x) khả
vi của x thì
/ /
. .

dx
.
VD 13. Cho
2 2 2
( , ) ln( ), sinf x y x y y x= + =
. Tính
df
dx
. 2.4. ðạo hàm của hàm số ẩn
• Cho hai biến x, y thỏa phương trình F(x, y) = 0 (*).
Nếu y = y(x) là hàm số xác ñịnh trong 1 khoảng nào ñó sao
cho khi thế y(x) vào (*) ta ñược ñồng nhất thức thì y = y(x)
là hàm số ẩn xác ñịnh bởi (*).

VD 14.
Xác ñịnh hàm số ẩn y(x) trong phương trình x
2
+ y
2
– 4 = 0.
• ðạo hàm hai vế (*) theo x, ta ñược:
/
/ / /
/
( , )
( , ) ( , ). 0 , ( , ) 0
( , )

y
x y arctg
x
+ =
. Tính
y
′
.
• Cho hàm số ẩn hai biến z = f(x, y) xác ñịnh bởi
F(x, y, z)) = 0, với
/
( , , ) 0
z
F x y z ≠
ta có:
/ / /
/
/
/
/ / /
/
/
/
( , , ) ( , , ). ( , ) 0
( , , )
( , ) ,
( , , )
( , , ) ( , , ). ( , ) 0
( , , )
( , ) .


§3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ
3.1. ðịnh nghĩa
• Hàm s
ố
z = f(x, y)
ñạ
t c
ự
c tr
ị
(
ñị
a ph
ươ
ng) t
ạ
i
ñ
i
ể
m
M
0
(x
0
; y
0
) n
ế

) là c
ự
c ti
ể
u và M
0
là
ñ
i
ể
m
c
ự
c ti
ể
u; f(M) – f(M
0
) < 0 thì f(M
0
) là c
ự
c
ñạ
i và M
0
là
ñ
i
ể
m

c ti
ể
u t
ạ
i O(0; 0).

3.2. ðịnh lý
a) ðiều kiện cần

• N
ế
u hàm s
ố
z = f(x, y)
ñạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i M
0
(x
0
, y
0
) và t
ạ
i


ñượ
c g
ọ
i
là
ñ
i
ể
m d
ừ
ng, có th
ể
không là
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a z.
b) ðiều kiện ñủ.
Gi
ả
s
ử
f(x, y) có

A f x y B f x y C f x y= = =
.
Khi
ñ
ó:
+ N
ế
u AC – B
2
> 0 và A > 0 thì hàm s
ố

ñạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
ñ
i
ể
m M
0
;
AC – B
2
> 0 và A < 0 thì hàm s
ố

0

ñượ
c g
ọ
i là
ñ
i
ể
m yên ng
ự
a).
+ N
ế
u AC – B
2
= 0 thì ch
ư
a th
ể
k
ế
t lu
ậ
n hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị

ướ
c sau:
B
ướ
c 1. Tìm
ñ
i
ể
m d
ừ
ng M
0
(x
0
; y
0
) b
ằ
ng cách gi
ả
i h
ệ
:
/
0 0
/
0 0
( , ) 0
( , ) 0
x

∆ = −
.
B
ướ
c 3.
+ N
ế
u
∆
> 0 và A > 0 thì k
ế
t lu
ậ
n hàm s
ố

ñạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
M
0
và c
ự
c ti
ể

).
+ N
ế
u
∆
< 0 thì k
ế
t lu
ậ
n hàm s
ố
không
ñạ
t c
ự
c tr
ị
.
+ N
ế
u
∆
= 0 thì không th
ể
k
ế
t lu
ậ
n (trong ch
ươ

ủ
a hàm s
ố
z = x
2
+ y
2
+ 4x – 2y + 8.

VD 4.

Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
z = x
3
+ y
3
– 3xy – 2.

VD 5.

Tìm c
ự
c tr

=
. N
ế
u t
ạ
i
ñ
i
ể
m M
0

hàm s
ố
f(x, y)
ñạ
t c
ự
c tr
ị
thì ta nói
ñ
i
ể
m M
0
là
ñ
i
ể

u ki
ệ
n c
ủ
a hàm s
ố
f(x, y) ta dùng
phương pháp khử
ho
ặ
c
nhân tử Lagrange
.

Phương pháp khử

T
ừ
ph
ươ
ng trình
( , ) 0
x y
ϕ
=
, ta rút x ho
ặ
c y th
ế
vào f(x, y)


VD 7.
Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
f(x, y) = xy v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n:
2x + 3y – 5 = 0.

Phương pháp nhân tử Lagrange

Bước 1
. L
ậ
p hàm Lagrange:
( , , ) ( , ) ( , )
L x y f x y x y
λ λϕ


=


ñ
i
ể
m d
ừ
ng M
0
(x
0
; y
0
)
ứ
ng v
ớ
i
λ
0
. Bước 3

Tính
2
0 0

ừ

ñ
i
ề
u ki
ệ
n (1) và (2), ta có:
+ N
ế
u
2
0 0
( , ) 0d L x y
>
thì hàm s
ố

ñạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i M
0
.
+ N
ế

0
không là
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
.

VD 9.

Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
z = 2x + y v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n x


Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

§1. TÍCH PHÂN BỘI HAI (KÉP)

1.1. Bài toán mở ñầu (thể tích khối trụ cong)
• Xét hàm s
ố
z = f(x, y) liên t
ụ
c, không âm và m
ộ
t m
ặ
t tr
ụ

có các
ñườ
ng sinh song song Oz,
ñ
áy là mi
ề
n ph
ẳ
ng
ñ
óng D
trong Oxy.
ðể

i tr
ụ
cong
ñượ
c chia thành n kh
ố
i tr
ụ
nh
ỏ
. Trong
m
ỗ
i
∆
S
i
ta l
ấ
y
ñ
i
ể
m M
i
(x
i
; y
i
) tùy ý. Ta có th

{ }
max ( , ) ,
i i
d d A B A B S= ∈∆
là
ñường kính
c
ủ
a
i
S∆
.
Ta có:
max 0
1
lim ( , )
i
n
i i i
d
i
V f x y S
→
=
= ∆
∑
. 1.2. ðịnh nghĩa

ỗ
i ph
ầ
n là
∆
S
i

(i=1,2,…,n). Trong m
ỗ
i
∆
S
i
ta l
ấ
y
ñ
i
ể
m M
i
(x
i
; y
i
) tùy ý. Khi
ñ
ó
1

m M
i
).
N
ế
u
max 0
1
lim ( , )
i
n
i i i
d
i
I f x y S
→
=
= ∆
∑
t
ồ
n t
ạ
i h
ữ
u h
ạ
n, không ph
ụ


u
( , )
D
I f x y dS=
∫∫
.
ðịnh lý.
Hàm f(x, y) liên t
ụ
c trong mi
ề
n b
ị
ch
ặ
n,
ñ
óng D thì
kh
ả
tích trong D.
• N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i tích phân, ta nói f(x, y) kh
ả
tích; f(x, y) là hàm

=
∆
x
i
.
∆
y
i
hay dS = dxdy.
V
ậ
y
( , ) ( , )
D D
I f x y dS f x y dxdy= =
∫∫ ∫∫
.
2)
( , ) ( , )
D D
f x y dxdy f u v dudv=
∫∫ ∫∫
.

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 5Nhận xét
1)


• Tính chất 3
Nếu chia D thành D
1
và D
2
bởi ñường cong có diện tích
bằng 0 thì:

1 2
( , ) ( , ) ( , )
D D D
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= +
∫∫ ∫∫ ∫∫
. 1.4. Phương pháp tính tích phân kép

1.4.1. ðưa về tích phân lặp
ðịnh lý (Fubini)
• Giả sử tích phân
( , )
D
f x y dxdy
∫∫
tồn tại, với

.

Tương tự,
1 2
{( , ) : ( ) ( ), }D x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤
thì:

2 2
1 1
( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , ) ( , )
x y x y
d d
D c x y c x y
f x y dxdy f x y dx dy dy f x y dx
 
= =
 
 
 
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
.

Chú ý
1) Khi
{( , ) : , } [ , ] [ , ]D x y a x b c y d a b c d= ≤ ≤ ≤ ≤ = ×

(hình chữ
nh

=
∫∫ ∫ ∫
.

T
ươ
ng t
ự
,
1 2
{( , ) : ( ) ( ), }D x y x y x x y c y d
= ≤ ≤ ≤ ≤
thì:
2
1
( )
( )
( , ) ( ) ( )
x y
d
D c x y
f x y dxdy v y dy u x dx
=
∫∫ ∫ ∫
.
3) N
ế
u D là mi
ề
n ph

∫∫
trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau:

1) D gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
ñườ
ng y = 0, y = x và x = a.
2) D gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
ñườ
ng y = 0, y = x
2
và x + y = 2.

VD 2.


=
∫ ∫
2
1
( )
( )
( , )
x y
d
c x y
I dy f x y dx
=
∫ ∫
ThS. on Vng Nguyờn Slide bi ging Toỏn A3DH
Trang 6
VD 3. i th t ly tớch phõn trong cỏc tớch phõn sau:

1)
2
1 2
0

1.4.2. Phng phỏp ủi bin
a) Cụng thc ủi bin tng quỏt
nh lý. Gi s x = x(u, v), y = y(u, v) l hai hm s cú cỏc
ủo hm riờng liờn tc trờn min ủúng gii ni D
uv
trong mp
Ouv. Gi {( , ) : ( , ), ( , ),( , ) }
xy uv
D x y x x u v y y u v u v D= = = .
Nu hm f(x, y) kh tớch trờn D
xy
v ủnh thc Jacobi
( , )
0
( , )
x y
J
u v

=

trong D
uv
thỡ:
( , ) ( ( , ), ( , ))
xy uv
D D
f x y dxdy f x u v y u v J dudv=

.

VD 4. Cho min D
uv
l hỡnh tam giỏc O(0;0), A(2;0), B(0;2)
trong mpOuv. Gi min D
xy
l nh ca D
uv
qua phộp bin
hỡnh g: (x, y) = g(u, v) = (u+v, u
2
v).
Tớnh tớch phõn ca hm
1
( , )
1 4 4
f x y
x y
=
+ +
trờn min
bin hỡnh D
xy
= g(D
uv
).
VD 5. Cho min D
uv
l phn t hỡnh trũn ủn v trong
mpOuv. Gi min D
xy


i bin:
cos
sin
x r
y r


=


=

, vi
0, 0 2r



ho

c


. Khi
ủ
ú, mi




= = = =

.

V

y ta cú:

2 2
1 1
( )
( )
( , ) ( cos , sin )
( cos , sin )
xy r
D D
r
r
f x y dxdy f r r rdrd
d f r r rdr




ta thay
cos
sin
x r
y r


=


=

vo ph

ng
trỡnh c

a biờn D.
3) N

u c

c O n

m trong D v m

i tia t

O c


m trờn biờn D thỡ:
2
1
( )
0
( cos , sin ) ( cos , sin )
r
r
D
f r r rdrd d f r r rdr





=

.
5) N

u biờn D l elip thỡ
ủ
t:
cos
{( , ): 0 2 , 0 1}
sin
r
x ra
D r r

Bi

t mi

n D l mi

n ph

ng n

m ngoi (C
1
): (x 1)
2
+ y
2
= 1
v n

m trong (C
2
): (x 2)
2
+ y
2
= 4.
VD 8.
Tớnh di

n tớch hỡnh ellip:

i h

n b

i:
y = x,
2 2 2 2
3 3x y x y x+ = +
v
0y
.

Cụng thc Walliss

2 2
0 0
( 1)!!
,
!!
sin cos
( 1)!!
. ,
2 !!
n n
n
n
n
xdx xdx
n
n

+ 2Gx + 2Hy+ 2Kz
+ L = 0.
Trong ñó A, B, C, D, E, F không ñồng thời bằng 0.
• Các dạng chính tắc của mặt bậc hai:
1)
2 2 2 2
x y z R+ + = (mặt cầu);
2)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + =
(mặt elipxoit);
3)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ − =
(hyperboloit 1 tầng);
4)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ − = −

2 2
1
x y
a b
+ =
(mặt trụ eliptic);
9)
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
(mặt trụ hyperbolic);
10)
2
2
y px=
(mặt trụ parabolic).