CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU

1
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU

Mặt cầu ngoại tiếp.
1. Các định nghĩa, định lí và tính chất cơ bản.

Định nghĩa 1. Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng cho trước là mặt
phẳng qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Tính chất. Nếu M là một điểm bất kì trên mặt phẳng trung trực thì M cách
đều 2 đầu mút của đoạn thẳng đó.

Định nghĩa 2. Trục đường tròn là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
chứa đường tròn và đi qua tâm của đờng tròn đó.
Tính chất. Nếu M là một điểm bất kì trên trục đường tròn thì M cách đều
các điểm của đường tròn.

Từ đó ta có 2 định lí quan trọng:
Định lí1. Trong không gian, tập hợp các điểm cách đều các đỉnh của một đa
giác nội tiếp là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đó.
Định lí 2. Trong không gian, tập hợp các điềm cách đều các cạnh của một
đa giác ngoại tiếp là trục của đường tròn nội tiếp đa giác đó.

Định nghĩa 3. Mặt cầu ngoại tiếp đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh
của đa diện. Khi đó ta cũng nói đa diện nội tiếp mặt cầu.
Ta có các nhận xét sau:
- Các mặt của đa diện đều là các đa giác nội tiếp.
- Nếu O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp đa diện thì O cách đều tất cả các
cạnh của đa diện. Vì vậy, O nằm trên các trục đường tròn ngoại tiếp
các mặt của đa diện.

(Chứng minh. Hiển nhiên nếu lăng trụ nội tiếp mặt cầu thì các mặt bên phải
là hình chữ nhật hay lăng trụ đó là lăng trụ đứng và hai đa giác đáy là hai đa
giác ngoại tiếp. Ngược lại nếu có một lăng trụ thoả mãn tính chất lăng trụ đó
là lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp thì ta xét điểm O là trung điểm
đoạn nối tâm 2 đáy. Khi đó dễ thấy O cách đều tất cả các đỉnh của lăng trụ
hay O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp.)

Từ đó ta thấy nếu lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì tâm đường tròn ngoại
tiếp lăng trụ đó chính là trung điểm của đoạn nối tâm 2 đường tròn ngoại
tiếp hai đa giác đáy. Đây là một nhận xét quan trọng để giải bài toán xát định
tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
3, Trong không gian, tập hợp các điểm nhìn đoạn AB dưới một góc vuông là
mặt cầu đường kính AB.

Ví dụ mở đầu.
a, Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a.
b, Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có OA=a,
OB=b,OC=c và OA,OB,OC đôi một vuông góc.
Giải.
a,
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU


Ta được
2
2
26
3 3 12
aa
OA OB a x x x      

vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp nằm trên AH và cách (BCD) một khoảng
OH=
6
12
a

Bán kính của mặt cầu là R=OA=
2 6 6
3 12 4
aa
a 
.
b,
H
B
A
C
D
O
E
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU

bán kính mặt cầu ngoại tiếp thì cách thông dụng nhất là sử dụng định nghĩa
(tâm mặt cầu ngoại tiếp cách đều các đỉnh của đa diện) hoặc sử dụng tính
chất của tâm mặt cầu ngoại tiếp (tâm mặt cầu ngoại tiếp nằm trên trục của
đường tròn ngoại tiếp các mặt đa diện). Đây là 2 cách thông dụng nhất trong
việc xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp đa diện nội tiếp.

Sau đây ta sẽ đi sâu vào xem xét và giải quyết các bài toán về mặt cầu ngoại
tiếp và một phương pháp mới hơn để xác định tâm và bán kính mặt cầu
ngoại tiếp đa diện bất kì. Ta tạm gọi đó là Phương pháp tạo lăng trụ bao.

Ta tạo các lăng trụ quen thuộc để dễ dàng hơn trong việc xác định tâm hay
tính toán các yếu tố của mặt cầu ngoại tiếp đa diện.
Để hiểu được ý nghĩa của phương pháp này, ta đi xét các ví dụ sau.

Đầu tiên ta giải ví dụ mở đầu (câu b) bằng phương pháp này.
Bài 1.
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU

5
O
W
U
V
T
S
A
B
C

Mở rộng tứ diện SABC thành hình hộp chữ nhật SATB.CWUV. Dễ thấy

1
.E
1
DD
1
B như hình
vẽ. Dễ nhận ra rằng tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD chính là
tâm của hình hộp chữ nhật AB
1
CC
1
.E
1
DD
1
B .
Do đó ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
4 4 8
88
AD AB AC AE AB AC AC AE AE AB
R
AC AB AD
abc
      