1Chương 2. Đánh giá độ tin cậy của những số liệu
phân tích Lâm Ngọc Thụ Cơ sở hóa học phân tích. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2005. Từ khoá: Đánh giá độ tin cậy, Trung bình, trung vị, Sai số hệ thống, Sai số ngẫu
nhiên, Phép đo song song, Biểu đồ kiểm tra.Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục
vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.

Mục lục
Chương 2 Đánh giá độ tin cậy của những số liệu phân tích ................................... 3
2.1 Một số định nghĩa .............................................................................................. 3
2.1.1 Trung bình và trung vị................................................................................... 3
2.1.2 Độ lặp lại ....................................................................................................... 4
2.1.3 Độ đúng......................................................................................................... 5
2.1.4 Độ lặp lại và độ đúng của những dữ kiện thực nghiệm ................................ 6
2.2 Phân loại sai số .................................................................................................. 7

3
Chương 2
Đánh giá độ tin cậy của những số liệu phân tích
Mỗi phép đo đều có sai số, xác định giá trị sai số này thường phức tạp, đòi hỏi nhiều nỗ
lực, sáng tạo và cả trực giác. Những kết quả phân tích được hoàn thành với độ tin cậy chưa
biết sẽ không có giá trị khoa học. Ngược lại, những kết quả phân tích không chính xác cũng
có thể rất quan trọng nếu có thể xác định được giới hạn sai số với độ tin cậy cao.
Không có một phương pháp tổng quát, đơn giản và chính xác nào để đánh giá, cho dù chỉ
là định tính, những kết quả thực nghiệm. Vì vậy, xử lý kết quả thường là một nhiệm vụ không
kém phần phức tạp so với việc thu được những kết quả đó. Công việc đó bao gồm nghiên cứu
tài liệu, chuẩn hoá thiết bị, những thực nghiệm phụ được tiến hành một cách đặc biệt để tìm
những nguyên nhân của những sai số có thể có và phân tích thống kê những dữ kiện thu được.
Muốn tăng độ nhạy lên mười lần có thể phải thêm một công tác phụ trong nhiều giờ,
nhiều ngày, thậm chí nhiều tuần. Do đó, cần phải xác định yêu cầu về độ tin cậy cho mỗi kết
quả phân tích, không nên tiêu phí nhiều thời gian để đạt độ nhạy cao cho những công việc

= x = = 10,11
4

Vì mẫu có số phép đo chẵn nên trung vị là trung bình của cặp số trung tâm:
Trung vị
10,08 + 10,10
= x = = 10,09
2

Trong trường hợp lý tưởng, trung vị và trung bình phải trùng nhau nhưng thường điều đó
không xảy ra, đặc biệt là nếu số lần đo không lớn.
2.1.2 Độ lặp lại
Thuật ngữ độ lặp lại được dùng để đánh giá định lượng sự tản mạn của kết quả. Đại
lượng này đặc trưng cho sự gần nhau theo giá trị tuyệt đối của hai hoặc một số phép đo lớn
hơn được thực hiện trong cùng điều kiện. Độ lặp lại được diễn tả bằng một số cách:
Các cách biểu diễn độ lặp lại tuyệt đối: cách diễn tả độ lặp lại đơn giản nhất là bằng độ
lệch khỏi giá trị trung bình x
i
–
x
, không kể dấu. Để minh họa, chúng tôi dẫn ra những kết
quả phân tích clorua của một mẫu ở bảng 2.1 dưới đây.
Bảng 2.1. Kết quả phân tích clorua một mẫu
Thông số
đo mẫu
Các
kết quả
[%]
Độ lệch khỏi giá trị trung bình
xx−

– x
min
= 24,39 – 24,19 =0,20. 5
Giá trị trung bình của các kết quả là 24,31%; độ lệch của kết quả thứ hai khỏi giá trị trung
bình là 0,12%; độ lệch trung bình của các kết quả khỏi giá trị trung bình là 0,08%. Phép tính
độ lệch trung bình được tiến hành đến chữ số thứ ba sau dấu phẩy mặc dù mỗi kết quả thu
dược chỉ với độ chính xác đến chữ số thứ hai sau dấu phẩy. Sự làm tròn giá trị trung bình và
độ lệch trung bình đến lượng con số hợp lý sau dấu phẩy được thực hiện sau khi phép tính đã
kết thúc. Biện pháp đó cho phép làm giảm sai số khi làm tròn.
Cũng có thể diễn tả độ lặp lại bằng độ lệch khỏi trung vị, 24,36% (xem bảng trên). Số đo
độ lặp lại cũng chính là biên độ biến đổi hoặc biên độ dãy số liệu, ω, nghĩa là hiệu số giữa kết
quả lớn và nhỏ nhất (0,20%).
Độ lệch tiêu chuẩn và độ phân tán được dùng làm hai tiêu chuẩn cho độ lặp lại. Cách xác
định các đại lượng này sẽ được đề cập đến trong các mục tiếp theo của chương này.
Độ lặp lại tương đối
Ngoài độ lặp lại tuyệt đối, để thuận tiện hơn, người ta còn đề nghị khái niệm độ lặp lại
tương đối theo số trung bình hoặc theo trung vị, biểu diễn bằng phần trăm. Ví dụ, đối với
phép đo x
3
:
Độ lệch tương đối khỏi giá trị trung bình
×
≈
0,08 100
= = 0,32 0,3%
24,31


Sai số tương đối
−×
==−≈−
0,05 100
0,21 0,2%
24,36

2.1.4 Độ lặp lại và độ đúng của những dữ kiện thực nghiệm
Độ lặp lại của phép đo có thể dễ dàng xác định bằng cách lặp lại thực nghiệm trong
những điều kiện đồng nhất để đánh giá độ đúng thì không đơn giản như vậy bởi vì để làm
việc đó cần phải biết giá trị thật. Theo dõi mối quan hệ trực tiếp giữa độ đúng và độ lặp lại là
công việc rất hấp dẫn. Sự thận trọng trong xem xét mối quan hệ đó được minh hoạ trên hình
2.1. Trên hình này người ta dẫn ra những kết quả xác định nitơ trong hai hợp chất tinh khiết
của bốn nhà phân tích khác nhau. Những điểm phân bố trên đồ thị xác nhận sai số tuyệt đối
của những phép đo song song trong mỗi mẫu mà mỗi nhà phân tích đã mắc phải.

Hình 2.1
Sai số tuyệt đối của phép xác định vi lượng ni tơ theo phương pháp Ken-đan

Trên mỗi vạch thẳng đứng với dòng (
x
i

- x
t
) là độ lệch tuyệt đối của giá trị trung bình
khỏi giá trị thật
Đáng chú ý là nhà phân tích thứ nhất đạt được độ lặp lại tương đối cao và độ đúng cao.
Ngược lại, nhà phân tích thứ hai đạt độ lặp lại xấu nhưng độ đúng khá. Nhà phân tích thứ ba
đạt độ lặp lại rất cao nhưng giá trị trung bình của các kết quả mắc sai số rất đáng kể. Còn nhà

Sai số cá biệt còn thường gặp ở những người mù màu ở các mức độ khác nhau nên khó
thấy sự chuyển màu. Điều này rất quan trọng trong phân tích.
Sự định kiến cá nhân cũng là nguồn sai số quan trọng phải luôn luôn đề phòng. Người
thực nghiệm vô tình cố gắng có được những chỉ số của thiết bị nhằm nâng cao độ lặp lại của
dãy kết quả hoặc là cố gắng đạt kết quả cao cho càng gần càng tốt với một giá trị định kiến
trước được coi là giá trị thật của phép đo. Để tránh sai số hệ thống loại đó cần luôn nhớ những
khuyết tật của cơ thể con người và cố gắng khách quan hơn khi quan sát.
Sai số thiết bị: Sai số thiết bị do sự không hoàn thiện của thiết bị mà nhà phân tích sử
dụng gây nên hoặc là do ảnh hưởng của những yếu tố bên ngoài lên thiết bị. Ví dụ, thể tích
của những dụng cụ định mức (buret, pipet, bình định mức) thường khác một chút so với thể
tích được xác định khi chuẩn hoá chúng, đặc biệt là nhiệt độ của các dụng cụ này khi sử dụng
khác nhiều với nhiệt độ khi chuẩn hoá. Có thể loại trừ sai số hệ thống loại này bằng cách
chuẩn hóa dụng cụ định mức ở nhiệt độ tương ứng
Sai số phương pháp: Sai số hệ thống thường xuất hiện do sự sai lệch của tính chất thuốc
thử hoặc phản ứng dùng làm cơ sở cho phép xác định khỏi tiêu chuẩn lý tưởng. Nguyên nhân
8
của những sai lệch này có thể là: tốc độ phản ứng nhỏ, phản ứng xảy ra không hoàn
toàn, sự không bền của các chất nào đó, sự không đặc trưng của thuốc thử và sự không xảy ra
các phản ứng phụ cản trở quá trình xác định. Ví dụ, trong phân tích trọng lượng, nhiệm vụ đặt
ra đối với nhà phân tích là tách nguyên tố cần xác định vào dạng kết tủa càng tinh khiết càng
tốt.
Nếu không rửa kết tủa tốt thì kết tủa sẽ bị bẩn bởi các chất lạ và trọng lượng của nó sẽ
tăng lên. Mặt khác, sự rửa cần thiết để tách các chất bẩn có thể dẫn tới sự mất đi một lượng
đáng kể kết tủa do độ tan và do đó xuất hiện sai số hệ thống âm. Trong bất kể trường hợp nào,
sự cẩn thận thực hiện các động tác sẽ làm mất đi sai số hệ thống do phương pháp phân tích
gây nên.
Trong phân tích chuẩn độ thường gặp sai số phương pháp gắn liền với việc thêm dư thuốc
9
Sai số biến đổi: Những hỗn hợp lạ, nếu ảnh hưởng của chúng không bị loại trừ bằng một
phương pháp nào đó, sẽ có thể dẫn tới một trong các dạng của sai số biến đổi tuyến tính. Ví
dụ, một phương pháp xác định đồng đã được biết rộng rãi bao gồm phản ứng của ion đồng (II)
với kali iođua và tiếp sau đó là phép đo lượng iot tách ra. Nếu khi đó có mặt sắt (III) thì nó
cũng đẩy được iot ra từ kali iođua. Nếu không thực hiện biện pháp ngăn ngừa ảnh hưởng của
sắt (III), phép phân tích sẽ cho hàm lượng phần trăm của đồng cao bởi vì iot tách ra tương ứng
với hàm lượng tổng cộng của đồng và sắt trong mẫu. Giá trị của sai số được xác định bằng độ
nhiễm bẩn sắt của mẫu và hiệu ứng tương đối không phụ thuộc vào lượng mẫu phân tích.
Nếu, ví dụ, tăng gấp đôi lượng mẫu thì lượng iot tách ra do đồng cũng như do hỗn hợp sắt
cũng tăng gấp đôi. Sai số tuyệt đối khi đó tăng gấp đôi trong khi đó sai số tương đối vẫn giữ
nguyên
2.3 Biểu hiện của sai số hệ thống
Sai số hệ thống thường khá lớn. Hơn nữa, việc phát hiện chúng cũng khó khăn bởi vì
không có một phương pháp đơn giản và tin cậy nào cho phép phát hiện, có hay không có loại
sai số này.
2.3.1 Phát hiện sai số dụng cụ và sai số cá biệt
Người ta thường phát hiện sai số dụng cụ và bổ chính khi chuẩn hoá thiết bị. Tốt nhất là
chuẩn hoá định kỳ thiết bị bởi vì với thời gian, chỉ số của phần lớn thiết bị sai lệch do bị hao
mòn, ăn mòn hoặc do sự sử dụng cẩu thả.
Có thể giảm phần lớn sai số cá biệt đến cực tiểu bằng sự cẩn thận trong công tác và tự
kiểm tra. Nhiều nhà nghiên cứu đã tự rèn luyện cho mình thói quen kiểm tra các loại chỉ số
của thiết bị, sự ghi chép trong nhật ký và sự tính toán. Sai số liên quan với những khuyết tật
về thể lực của con người có thể tránh được bằng cách lựa chọn đúng phương pháp, tất nhiên là
trong điều kiện đã biết trước.
2.3.2 Phát hiện sai số phương pháp
Phát hiện sai số phương pháp đặc biệt khó khăn. Ngoài ra việc bổ chính ảnh hưởng của
chúng thường cũng rất khó. Có thể phát hiện sai số loại này nhờ các biện pháp dưới đây:

0,9980
18,90
19,58
19,81
19,91
19,96
Thí nghiệm trắng. Thường có thể loại trừ sai số cố định trong các phép đo vật lý bằng
cách tiến hành thí nghiệm trắng, trong đó tất cả các giai đoạn phân tích đều được thực hiện
khi không có chất nghiên cứu. Kết quả thí nghiệm dùng để bổ chính phép đo thật. Thí nghiệm
trắng đặc biệt có lợi khi đánh giá sai số gắn liền với sự lẫn trong mẫu thử những tạp chất cản
trở từ thuốc thử và bình.
Biến đổi lượng mẫu. Có thể phát hiện sai số cố định bằng cách phân tích những lượng
chất khác nhau. Những kết quả phân tích với giả thiết, những lượng mẫu hợp kim khác nhau
chứa chính xác 20% bạc đưọc dẫn ra ở bảng 2.2. Mỗi phép xác định có kèm theo sai số cố
định bằng 2 mg và dẫn tới sự hạ thấp kết quả. Ảnh hưởng của sai số đó giảm dần khi tăng
lượng mẫu.

Bảng 2.3
Ảnh hưởng của sai số biến đổi tuyến tính, bằng 0,5%, đến kết quả xác định trong hợp kim

Lượng cân, g Tìm được 11
g %
0,2000
0,5000

•
•
•
•
•
•
•
•

Hình 2.2
Ảnh hưởng của sai số cố định và sai số biến đổi tuyến tính đến kết quả xác định bạc (xem bảng 2.2 và 2.3)2.4 Ảnh hưởng của sai số ngẫu nhiên
Rõ ràng là xuất phát từ cái tên của nó, sai số ngẫu nhiên xuất hiện là do những sai số
không biết được và không kiểm tra được của phép đo, những sai số đó là nguyên nhân của sự
tản mạn kết quả khi đo lặp lại, như đã được chỉ rõ trên hình 2.1 ở ví dụ dãy thí nghiệm thứ 4.
12
2.4.1 Xem xét ảnh hưởng của sai số ngẫu nhiên lên động tác chuẩn
hoá pipet
Ảnh hưởng của sai số ngẫu nhiên lên động tác chuẩn hoá pipet tương đối đơn giản, bao
gồm việc xác định trọng lượng nước (với độ chính xác đến miligam) chảy ra từ pipet được
minh họa ở bảng 2.4.
Bảng 2.4 Những kết quả đo song song khi chuẩn hoá pipet thể tích 10 ml
Số thí
nghiệm
Thể tích nước

12
13
14
15
16
9,988
9,976
9,980
9,973
9,970
b
9,988
9,980
9,986
17
18
19
20
21
22
23
24
9,978
9,980
9,976
9,986
9,986
9,983
9,978
9,988

khi nước chảy, sự dao động của nhiệt độ phụ thuộc vào cách cầm pipet. Chắc chắn rằng, ngoài
những sai số kể trên còn tồn tại nhiều sai số khác. Rõ ràng là, ngay cả một động tác giản đơn
như chuẩn hoá pipet cũng kèm theo nhiều biến đổi không lớn không kiểm tra được. Mặc dù
chúng ta không vạch rõ ảnh hưởng của mỗi sai số trong số những sai số đó nhưng cũng có thể
diễn tả hiệu ứng tổng cộng của chúng dưới dạng sai số ngẫu nhiên phản ánh qua sự phân tán
số liệu quanh giá trị trung bình.
2.4.2 Sự phân bố số liệu của những phép đo song song
Khác với sai số hệ thống, không thể loại trừ sai số ngẫu nhiên khỏi phép đo. Ngoài ra,
nhà nghiên cứu không có quyền bỏ qua chúng, coi chúng là nhỏ. Chắc chắn là có thể công
nhận rằng, giá trị trung bình của 24 lần đo thể tích được dẫn ra ở bảng 2.4 gần với thể tích thật
hơn so với bất kỳ giá trị riêng biệt nào. Nhưng chúng tôi giả thiết rằng, người ta tiến hành
chuẩn hoá chỉ hai lần và một cách ngẫu nhiên hai lần đo phù hợp với kết quả của thí nghiệm 1
và 7. Giá trị trung bình từ hai giá trị đó bằng 9,992, khác với giá trị trung bình của 24 phép đo
là 0,010 ml. Chúng ta cũng nhận thấy rằng độ lệch trung bình của hai phép đo đó khỏi giá trị
trung bình riêng của chúng chỉ là 0,0010 ml. Trên cơ sở giá trị độ lệch khỏi giá trị trung bình
nhỏ như vậy có thể xuất hiện sự lạc quan quá đáng về sai số ngẫu nhiên. Kết cục nếu xuất
hiện sự cần thiết gửi kiểm tra giá trị thể tích chảy ra từ pipet với độ chính xác ± 0,002 ml có
thể người ta sẽ bỏ qua sự thiếu chính xác nghiêm trọng. Trong trường hợp này, sự không biết
giá trị thật của sai số ngẫu nhiên đã tạo ra cảm giác giả về độ tin cậy vào chất lượng tốt của
pipet. Thực tế có thể chỉ ra rằng nếu sử dụng pipet 1000 lần thì chắc chắn trong 2 – 3 trường
hợp thể tích chất lỏng chảy ra sẽ khác giá trị trung bình bằng

9,982 ml, là 0,002 ml, và hơn
100 trường hợp là 0,01 ml và lớn hơn, bất chấp tất cả mọi biện pháp phòng ngừa của nhà phân
tích.
Để phân tích những sai số nhỏ ảnh hưởng như thế nào đến kết quả của những phép đo
song song, chúng ta xét một tình hình tưởng tượng trong đó sai số ngẫu nhiên được hình thành
từ 4 sai số như vậy. Chúng ta quy ước rằng mỗi loại sai số đó được đặc trưng bằng xác suất
xuất hiện như nhau và có thể ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng gây nên sai số dương hoặc âm
được xác định bằng đại lượng U là đồng nhất đối với tất cả 4 loại sai số.

+ U
1
– U
2
+ U
3
+ U
4

+ U
1
+ U
2
– U
3
+ U
4
+ U
1
+ U
2
+ U
3
– U
4

+ 2U

4


+ U
4
– U
1
+ U
2
+ U
3
– U
4
+ U
1
– U
2
– U
3
+ U
4
0
6
+ U
1
– U
2

–2U 4

– U
1
– U
2
– U
3
– U
4
–4U 1
Tất cả các tổ hợp có thể có của 4 loại sai số có thể dẫn tới sai số ngẫu nhiên đã nói trên
được dẫn ra ở bảng 2.5. Chú ý rằng chỉ có một tổ hợp có thể dẫn tới sai số dương cực đại 4U,
bốn tổ hợp dẫn tới sai số dương 2U và 6 tổ hợp dẫn tới sai số không, quan hệ tương tự như
vậy cũng xảy ra đối với sai số ngẫu nhiên âm. Đó là tỷ số 6 : 4 : 1. Tỷ số này phản ảnh xác
suất sai số của mỗi vùng. Khi số phép đo đủ lớn có thể hy vọng sự xuất hiện sai số được phân
bố theo tần số tương tự như đã được mô tả trên hình 2.3a. Sự phân bố 10 sai số bằng giá trị số
được chỉ rõ ở hình 2.3b. Một lần nữa chúng ta thấy rằng sự xuất hiện "sai số không" với xác
suất lớn nhất trong khi đó sai số cực đại bằng 10U rất hiếm hoi xuất hiện (khoảng 1 lần cho
500 phép đo).
Nếu chúng ta phát triển tiếp theo những bàn luận trên đây cho số rất lớn sai số ở quy mô
ngày càng nhỏ, số đường cong phân bố nhận được được dẫn ra trên hình 2.3c. Đường cong
hình quả chuông đó được gọi là sự phân bố Gauss hay phân bố chuẩn của sai số (khi xây dựng
đường cong Gauss không cần thiết phải giả thiết sự đồng nhất của những sai số riêng biệt.
Đường cong có những đặc trưng:
1. Tần số xuất hiện “sai số ngẫu nhiên không” là cực đại.
2. Đối xứng qua cực đại, nghĩa là xác suất hiện sai số âm và sai số dương bằng nhau.

a) 4 sai s; b) 10 sai s; c) S rt ln sai s

Nhng quan sỏt thc nghim khng nh gi thit cho rng, cú th hỡnh dung sai s ngu
nhiờn ca phộp o phõn tớch di dng tớch ly s ln nhng sai s nh c lp v khụng
kim tra c. iu quan trng l s phõn b phn ln nhng d kin phõn tớch theo ng
cong Gauss cho phộp ng dng phng phỏp thng kờ ỏnh giỏ gii hn sai s ngu nhiờn
theo lp li.
ng c l ng cong phõn b chun hoc phõn b Gauss. ng d l ng phõn b
thc nghim cú th thu c khi t lch khi giỏ tr trung bỡnh ca khong 250 phộp o
16
pH song song trên trục hoành và số phép đo pH tương ứng với mỗi độ lệch quan sát
được trên trục tung.
2.4.3
Những khái niệm cơ bản của thống kê cổ điển

Thống kê cho phép mô tả toán học những quá trình ngẫu nhiên, Ví dụ, ảnh hưởng của sai
số ngẫu nhiên đến kết quả phân tích hoá học. Nhưng điều quan trọng là nhận thức rằng, chỉ có
thể mô tả chính xác bằng các phương pháp thống kê cổ điển khi số quan sát lớn vô hạn. Hình 2.4
Những đường chuẩn phân bố sai số được xây dựng đối với một và chỉ một đại lượng được đo bằng hai phương pháp.
Phương pháp 1 tin cậy hơn do đó đại lượng σ nhỏ hơn.

Cần chú ý đến ba loại trục hoành:
a) Đại lượng đo được x với cực đại ở μ.


2
x
Z
2
2
ee
y
22
−−μ
−
σ
==
−σπ −σπ

(2.2)
Độ lệch tiêu chuẩn: Từ phương trình 2.2 ta thấy rằng, mỗi giá trị độ lệch tiêu chuẩn phải
tương ứng với đường cong phân bố của mình. Tuy vậy, có thể nói rằng, không phụ thuộc vào
đại lượng σ, 86,30% diện tích nằm dưới đường cong trong giới hạn một độ lệch tiêu chuẩn
(±1σ) khỏi giá trị trung bình μ. Do đó 86,30% tất cả mọi giá trị nằm trong giới hạn đó.
Khoảng 95,50% tất cả mọi giá trị sẽ ≤ ±2σ ; 99,70% giá trị ≤ ±3σ. Những giá trị (x – μ),
tương ứng ± 1σ, ± 2σ và ± 3σ được biểu thị bằng những đường thẳng đứng đứt đoạn trên
18
những đường cong phía trên của hình 2.4. Trên đường cong ở phía dưới những giá
trị Z mang đơn vị ± σ được đặt trên trục hoành.
Những tính chất đó của đường cong phân bố chuẩn rất quý giá, vì nó cho phép rút ra
những kết luận về giá trị xác suất của những sai số ngẫu nhiên của một phép đo nếu biết được
độ lệch tiêu chuẩn của phương pháp đo. Vì nếu biết đại lượng σ thì có thể khẳng định được

và (2.4) bởi giá trị trung bình của một số lớn vô cùng phép đo, μ (nó là giá trị thật không chứa
sai số hệ thống) không bao giờ biết được. Để thay thế chúng ta phải dùng giá trị trung bình
của số nhỏ phép đo
x
. Trong phần lớn trường hợp
x
khác μ một chút. Hiệu số này tất nhiên
là do sai số ngẫu nhiên gây nên và giá trị có thể có của đại lượng này chúng ta đang thử xác
định. Điều quan trọng là cần nhấn mạnh rằng, một sai số bất kỳ nào trong xác định x cũng gây
nên một sai số tương ứng trong đại lượng σ (phương trình (2.4)). Do đó đối với số nhỏ phép
đo thì không chỉ giá trị trung bình
x
khác với μ mà còn một điều rất quan trọng khác là sự
đánh giá độ lệch tiêu chuẩn cũng có thể không đáng tin cậy. Như vậy là, chúng ta phải đụng
chạm tới hai sai số, một sai số bao hàm trong giá trị trung bình và một sai số khác bao hàm
trong giá trị độ lệch tiêu chuẩn. Sai số trong đánh giá σ. Sự giảm số biểu lộ ảnh hưởng kép
đến độ lệch tiêu chuẩn. Thứ nhất là số giá trị σ rất lớn và rất nhỏ tăng lên nghĩa là độ lặp lại
của σ bị xấu đi. Thứ hai là độ lệch tiêu chuẩn trở thành sự đánh giá độ lặp lại bị dịch chuyển
về phía âm hơn. Sự dịch chuyển diễn tả sự xuất hiện vói tần số lớn những giá trị σ nhỏ so với
những giá trị σ lớn và sự giảm giá trị σ trung bình khi giảm số phép đo lặp lại.