SÁCH HNG DN HC TP
X LÝ TÍN HIU S
(Dùng cho sinh viên h đào to đi hc t xa)
Lu hành ni b HÀ NI - 2006 =====(=====
HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG
HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG

Chng III: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min tn s ω.
Chng IV: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min tn s ri rc ω
k
.
Chng V: Tng hp b lc s có đáp ng xung có chiu dài hu hn FIR.
Chng VI: Tng hp b lc s có đáp ng xung có chiu dài vô hn IIR.
Chng VII: Bin đi Fourier nhanh - FFT.
Chng VIII: Cu trúc b lc s.
Chng IX: Lc s nhiu nhp.
 ln biên son đu tiên, chc tài liu còn mt s các s sót, mong ngi đc thông cm và
đóng góp các ý kin cho tác gi trong quá trình hc tp, trao đi.
Hà Ni, tháng 5 nm 2006
NHÓM BIÊN SON
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

3
CHNG I: BIU DIN TÍN HIU VÀ H THNG RI RC
TRONG MIN THI GIAN RI RC n
GII THIU
Trong chng này, chúng ta s đ cp đn các vn đ biu din tín hiu và h thng trong
min thi gian ri rc n, đây là min biu din tín hiu sau khi đã ly mu tín hiu.  nm đc
kin thc ca chng này, chúng ta s nhc li mt s ni dung chính sau.
a. Khái nim v tín hiu
V mt vt lý: tín hiu là dng biu din vt lý ca thông tin.
Ví d:
- Các tín hiu ta nghe thy là do âm thanh phát ra gây nên s nén dãn áp sut không khí đa
đn tai chúng ta.
- Ánh sáng ta nhìn đc là do sóng ánh sáng chuyn ti các thông tin v màu sc, hình khi
đn mt chúng ta.
V mt toán hc: tín hiu đc biu din bi hàm ca mt hoc nhiu bin s đc lp.

gi là tín hiu tng t.
Nhn xét:
Tín hiu tng t liên tc theo c bin và hàm.
+ nh ngha tín hiu lng t hoá: Nu biên đ ca tín hiu liên tc là ri rc thì tín
hiu đó gi là tín hiu lng t hoá.
Nhn xét:
Tín hiu lng t hoá liên tc theo bin và ri rc theo biên đ.
()
a
x t
( )
ds
x nT
( )
s s
x nT
()
q
x t
s
nT
s
nT
s
T
2
s
T
3
s

T 8
s
T
s
T

Hình 1.1 Minh ho s phân loi tín hiu

- nh ngha tín hiu ri rc: Nu bin đc lp ca biu din toán hc ca mt tín hiu là
ri rc thì tín hiu đó gi là tín hiu ri rc.
Nhn xét:
Tín hiu liên tc là tín hiu liên tc theo bin, xét theo hàm ta có tín hiu ly mu
và tín hiu s.
+ nh ngha tín hiu ly mu: Nu biên đ ca tín hiu ri rc là liên tc và không b
lng t hoá thì tín hiu đó gi là tín hiu ly mu.
Nhn xét:
Tín hiu ly mu ri rc theo hàm, liên tc theo bin.
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

5
+ nh ngha tín hiu s: Nu biên đ ca tín hiu ri rc là ri rc thì tín hiu đó gi là
tín hiu s.
Nhn xét:
Tín hiu s ri rc theo c bin và theo c hàm.
Lu ý: Vic phân loi tín hiu s là c s đ phân loi h thng x lý, chng hn nh ta có
h thng ri rc hay h thng tng t đc phân loi tng ng vi loi tín hiu mà h thng đó
x lý là tín hiu ri rc hay tín hiu tng t.
Các tín hiu đc nghiên cu trong môn hc này, chúng ta ch đ cp đn tín hiu ri rc do
vy chúng ta cn quan tâm đn đnh lý ly mu ca Shannon.
nh lí ly mu: Nu mt tín hiu tng t

Sau khi đã nhc li các kin thc c bn v tín hiu nh trên, chúng ta s nghiên cu các
kin thc ca môn hc “X lý tín hiu s” bt đu vic biu din tín hiu và h thng ri rc trong
min n  chng I này.
Nhng ni dung kin thc đc đ cp trong chng I bao gm:
- Biu din tín hiu
- Các tín hiu c bn
- H thng tuyn tính bt bin.
- Phép chp (Convolution).
- Phng trình sai phân tuyn tính h s hng biu din h thng tuyn tính bt bin.
- Phép tng quan (Correlation).
NI DUNG
1.1. BIU DIN TÍN HIU RI RC
1.1.1. Các cách biu din tín hiu ri rc
Trc khi biu din ta có th chun hoá x(nT
s
) nh sau
1
() (
s
T
s
XnT xn
=
⎯⎯⎯→ )
tc là chun hóa T
s
=1.
a. Biu din theo toán hc
Biu thc toán hc
12

b. Biu din bng đ th
Cách biu din này cho ta cách nhìn trc quan v mt tín hiu ri rc.
Ví d 1.2
Vi tín hiu nh  ví d 1.1, ta có th biu din bng đ th nh sau:

1
3/4
1/2
1/4
Hình 1.2 Biu din tín hiu bng đ th
c. Biu din bng dãy s
() ( ) () ( )
{ }
0
..., 1 , , 1 ,...=− +

xn xn xn xn
Lu ý  đây, ta phi có mc đánh du
0

đ th hin thi đim gc.
Do cách biu din này, ta còn gi tín hiu ri rc là dãy
Ví d 1.3: Biu din bng dãy s tín hiu trong ví d 1.1 và 1.2:

()
0
311
1,,,
424
⎧⎫

n
δ
n

Hình 1.3 Dãy xung đn v
( )
n
δ

Ví d 1.4: Hãy biu din dãy
( )
1n
δ
−1
-1 20
( )
1n
δ
−
n1 3

Hình 1.4 Dãy xung
( )
1n

⎧
+=
⎨
< −
⎩

Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

8

Hình 1.6 Dãy u(n+3)
c. Dãy ch nht:
Trong min n, dãy ch nht đc đnh ngha nh sau:
()
10 1
0 còn lai
N
nN
rect n
n
≤ ≤−
⎧
=
⎨
⎩
(1.3)
( )
N
rect n


d. Dãy dc đn v:
Trong min n, dãy dc đn v đc đnh ngha nh sau:
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

9
ai
()
0
0còn l
nn
rn
n
≥
⎧
=
⎨
⎩
(1.4)

Hình 1.9 Dãy dc đn v r(n)
Ví d 1.7
Hãy biu din dãy r(n-1).
()
( )
110
1
0 còn lai
nn n
rn
n

10
1.1.3. Mt s đnh ngha
a. Dãy tun hoàn:
Ta nói rng mt dãy x(n) là tun hoàn vi chu k N nu tha mãn điu kin sau đây:
x(n) = x (n + N)= x (n + lN) l: s nguyên; N: chu k
Khi cn nhn mnh tính tun hoàn, ngi ta ký hiu du ~ phía trên. Ký hiu:
()
N
x n

.
Ví d 1.9
Biu din dãy tun hoàn
( )
x n

vi N = 4.

Hình 1.12 Dãy tun hoàn
( )
4
x n


b. Dãy có chiu dài hu hn:
Mt dãy đc xác đnh vi s hu hn N mu ta gi là dãy có chiu dài hu hn vi N là
chiu dài ca dãy.
L: Toán t chiu dài
L[x(n)] = [0, 3] = 4


=
=
=

Gii:
()
1
2
1
x
n
En
δ
∞
=−∞
=
∑
=
Dãy có nng lng hu hn
()
2
2
xN
n
E rect n N
∞
=−∞
=
∑
=

2
12
1
lim
(1.7)
Nu ta đnh ngha nng lng ca tín hiu
( )
nx
trong mt khong hu hn NnN
≤≤− là:

()
∑
−=
=
N
Nn
N
nxE
2

(1.8)
Thì có th biu din nng lng tín hiu
E nh sau:
N
N
EE
∞→
≡ lim
(1.9)

312
x nxnxn=+

( )
1
x n
( )
2
x n
( )
3
x n

Hình 1.14 Tng ca hai dãy
f. Tích ca 2 dãy:
Tích ca 2 dãy nhn đc bng cách nhân tng đôi mt các giá tr mu đi vi cùng mt tr
s ca bin đc lp.
Ví d 1.12
Hãy thc hin
() () ( )
312
.
x nxnxn=

Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

13
( )
1
x n

h. Tr:
Ta nói rng dãy
()
2
x n
là dãy lp li tr ca dãy
( )
1
x n
nu có quan h sau đây:
() ( )
210
x nxnn=−
: nguyên
0
n
Ví d 1.14
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

14
Biu din tín hiu x(n) đc mô t nh sau:
() () () () ()
31 1
12
42 4
xn n n n n
δδ δ δ
=+ −+ −+ −3

Gii:

n
n
xn
n
⎧
−≤≤
⎪
=
⎨
⎪
≠
⎩

Hình 1.17 Minh ho x(n) trong ví d 1.14
T ví d 1.14, ta thy rng: Mt dãy x(n) bt k đu có th biu din di dng sau đây:
() () ( )
.
k
x nxkn
δ
∞
=−∞
=
∑
k−
(1.11)
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

15
Trong đó ta chú ý x(k) là giá tr x(n) ti thi đim n = k, do vy v mt bn cht x(k) và x(n)

⎡⎤⎡⎤⎡
+= +
⎣⎦⎣⎦⎣
⎤
⎦( ) ( )
12
..ay n by n=+
(1.13)
c. áp ng xung ca h thng tuyn tính:
Trong (1.11) ta có biu din ca tín hiu đu vào
() () ( )
.
k
x nxkn
δ
∞
=−∞
k
= −
∑

Thc hin bin đi theo toán t T ta xác đnh y(n)
() () () ( ) () ( )
..
kk
yn T xn T xk n k xk T n k
δδ

=−
⎣ ⎦
đc gi là đáp ng xung. (1.15)
áp ng xung đc trng hoàn toàn cho h thng thay cho toán t T.
()
k
hn
1.2.2. Các h thng tuyn tính bt bin
a. nh ngha:
Nu ta có y(n) là đáp ng vi kích thích x(n) thì h thng đc gi là bt bin nu y(n - k)
là đáp ng ng vi kích thích x(n - k).
b. Phép chp:
( )
n
δ
( )
nk
δ
−
( ) ( )(
yn T n hn
δ
⎡⎤
==
⎣⎦
)
( ) ( )
Tnhhnk
δ
⎡⎤

=−∞
=−
∑
(n: -∞ → ∞)
n = 0 ⇒
() () ( )
0.0
k
yxkh
∞
=−∞
k
= −
∑

n = 1 ⇒
() ( ) ( )
1.
k
yxkh
∞
=−∞
1k= −
∑

n=2 ..... C thay vào nh vy v nguyên tc ta phi tính đn giá tr n = ∞.
i vi các giá tr n < 0 ta cng phi tính ln lt
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

17

()
5
10
4
0 còn lai
xn rect n
n
n
hn
n
=
⎧
−≤
⎪
=
⎨
⎪
⎩
4≤

Hãy tìm đáp ng ra ca h thng y(n)?
Gii:
Ta thc hin theo phng pháp tính phép chp bng đ th:
+ i bin n thành bin k
+ Gi nguyên x(k), ly đi xng h(k) thành h(-k)
+ Dch h(-k) sang trái (n<0) hoc sang phi (n>0) theo tng mu, sau đó tính tng giá tr
ca y(n) ng vi tng n c th nh đ th sau.
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

18


Trong mt h thng, ta có th hoán v đu vào x(n) và đáp ng xung h(n) cho nhau thì đáp
ng ra y(n) không thay đi.
- Tính kt hp:
( )() ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12 1 2
** **
y nxnhnhn xnhn hn
⎡⎤⎡⎤
==
⎣⎦⎣⎦
(1.19)
Ý ngha:
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

20
( ) ( )
12
*hn hn
( )
1
hn
( )
2
hn
( ) ( )
1
*x nhn

Nu ta có hai h thng ghép ni tip vi nhau thì đáp ng xung ca h thng tng quát s là

là tng đáp ng xung ca các h thng thành phn.
1.2.3. H thng tuyn tính bt bin và nhân qu
nh ngha: Mt h thng tuyn tính bt bin đc gi là nhân qu nu đáp ng ra ca nó 
thi đim bt k n = n
0
hoàn toàn đc lp vi kích thích ca nó  các thi đim tng lai, n > n
0
.
nh lý: áp ng xung ca h thng tuyn tính bt bin và nhân qu phi bng 0 vi n < 0
(h(n) = 0 vi mi n <0).
- Mt dãy x(n) đc gi là nhân qu nu x(n) = 0 vi n < 0.
Xét phép chp đ xác đnh đáp ng ra y(n) vi tín hiu và h thng TTBB nhân qu.

- Nu x(n) nhân qu:
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

21
−
() () ( )
0
.
k
yn xk hn k
∞
=
=
∑
x(k) ≠ 0 khi k ≥ 0
- Nu h(n) nhân qu: h(n) ≠ 0 khi n ≥ 0:
Vì h(n – k) ≠ 0 ; (n – k) ≥ 0 ⇒

(Tng giá tr tuyt đi ca mi giá tr đáp ng xung)
Ví d 1.17
Xét s n đnh ca các h thng có đáp ng xung sau:
() ()
1
hn un=

()
2
0
00
n
an
hn
n
⎧
≥
=
⎨
<
⎩

Gii:

()
12
0
1
nn
Shn

+
−
−
= ∞ nu a ≥ 1 → H thng không n đnh
1.3. PHNG TRÌNH SAI PHÂN TUYN TÍNH H S HNG
1.3.1. Phng trình sai phân tuyn tính h s bin đi
V mt tín hiu, mt h thng tuyn tính (HTTT) s đc mô t bi mt phng trình sai
phân tuyn tính có dng:
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

22
() ( ) ()( )
00
NM
kr
kr
anynk bnxnr
==
− =
∑∑
−
(1.23)

() () () ( ) ()( )
00
10
NM
kr
kr
anyn anynk bnxnr

yn xkh n
∞
=−∞
=
∑
()
k
an
, h s phng trình đc trng hoàn toàn cho h thng tuyn tính, thay cho
đáp ng xung.
()
r
bn
1.3.2. Phng trình sai phân tuyn tính h s hng
Mt HTTT bt bin v mt toán hc đc mô t bi mt phng trình sai phân tuyn tính
h s hng dng tng quát sau đây:
() (
00
NM
kr
kr
aynk bxnr
==
− =
∑∑
−
(1.25)
k
a
, h s hng.

−
−
(1.26)
r
b
, đc trng cho h thng, thay cho đáp ng xung.
k
a
áp ng ra y(n) đc xác đnh bi phng trình sai phân (PTSP) nh trên tng đng vi
đáp ng ra đc xác đnh theo phép chp:
() () () ()( )
*
k
yn xn hn xkhn k
∞
=−∞
==
∑
(1.27)
đáp ng xung h(n) đc trng cho h thng.
Lu ý:
Nu đu vào là xung đn v
( )
n
δ
thì đu ra ta có đáp ng xung h(n).
( )
hn
( ) ( )
x nn

=⇒≡n

() ( ) ()
1hn Ahn n
δ
=−+

Tìm h(n) vi h thng nhân qu. Thay vào:
n = 0:
( ) ( ) ( )
0100hAh
δ
=−+ =+1
h(0) = 1 (Do h(-1)=y(-1)=0)
n = 1:
() ( ) ( )
101.1hAh A
δ
=+=0+
h(1) = A
n = 2:
() () ( )
212.hAh AA
δ
=+=0+
h(2) = A
2
n = 3:
( ) ( ) ( )
2

(n) + y
p
(n) (1.28)
Tìm y
0
(n):
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

24
=
a
n
Phng trình thun nht là phng trình sai phân mà đu vào x(n) = 0, theo (1.25) nó s có
dng: (1.29)
()
0
0
N
k
k
ayn k
=
−=
∑
Ta thng tìm nghim di dng hàm m y
0
(n) = α
n
, thay vào ta có:
12 1

aa a a
αα α α
−−
−
++ +++
= 0 (1.31)
Phng trình này s có n nghim, nu các nghim này là nghim đn ta có s có dng
nghim ca phng trình thun nht nh sau:
0112233 11
1
( ) ...
N
nnn n n
NN NN kk
k
yn A A A A A A
α αα α α α
−−
=
=+ +++ + =
∑
(1.32)
Các h s A
1
và A
2
đc xác đnh nh các điu kin đu.
Tìm y
p
(n):


- Nu dng đu vào
()
n
xn
β
=
mà β trùng vi dng nghim α
k
ca phng trình đc trng
ta phi đt
() ..
n
p
yn Bn
β
=

Sau đó ta xác đnh B bn cách thay y
p
(n) vào phng trình (1.25)
Xác đnh nghim tng quát y(n):
n đây ta s có:
y(n) = y
0
(n) + y
p
(n) =
1
1

Các h s A
1
và A
2
s đc xác đnh nh các điu kin đu.
Ta s tìm hiu c th cách gii phwong trình sai phân tìm nghim tng quát thông qua ví d
1.19 nh sau.