Ch ’u ’ong 2
D
¯
A
.
I L
’
U
.
’
ONG NG
˜
ˆ
AU NHI
ˆ
EN V
`
A PH
ˆ
AN PH
´
ˆ
OI X
´
AC SU
´
ˆ
AT
1. D
¯
A

nh ngh
˜
ia 1 D
¯
a
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen l`a ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng bi
´
ˆen ¯d
’
ˆoi bi
’
ˆeu thi
.

u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen.
• V´ı du
.
1 Tung mˆo
.
t con x´uc x
´
˘
ac. Go
.
i X l`a s
´
ˆo ch
´
ˆam xu
´
ˆat hiˆe
.
n trˆen m
˘
a
.
t con x´uc x
´

.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen r
`
’
oi ra
.
c
a) D
¯
a
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen r
`
’
oi ra
.
c
✷ D
¯
i

ˆeu n´o ch
’
i nhˆa
.
n mˆo
.
t s
´
ˆo
h
˜
’
uu ha
.
n ho
˘
a
.
c mˆo
.
t s
´
ˆo vˆo ha
.
n ¯d
´
ˆem ¯d
’
u
’

, x
2
, . . . , x
n
.
Ta k´ı hiˆe
.
u ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X nhˆa
.
n gi´a tri
.
x
n
l`a X = x
n
v`a x´ac su
´
ˆat ¯d
’
ˆe X nhˆa

c sinh v
´
˘
ang m
˘
a
.
t trong mˆo
.
t
bu
’
ˆoi ho
.
c...l`a c´ac ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen r
`
’
oi ra
.
c.

’
u
’
o
.
ng
ng
˜
ˆau nhiˆen r
`
’
oi ra
.
c, n´o g
`
ˆom 2 h`ang: h`ang th
´
’
u nh
´
ˆat liˆe
.
t kˆe c´ac gi´a tri
.
c´o th
’
ˆe x
1
, x
2

, p
2
, . . . , p
n
c
’
ua c´ac gi´a tri
.
c´o th
’
ˆe ¯d´o.
27
28 Ch ’u ’ong 2. D
¯
a
.
i l
’
u
’
ong ng
˜
ˆau nhiˆen v`a phˆan ph
´
ˆoi x´ac su
´
ˆat
X x
1
x

.
n s
´
ˆo x
1
, x
2
, . . . , x
n
th`ı
c´ac bi
´
ˆen c
´
ˆo X = x
1
, X = x
2
, . . . , X = x
n
lˆa
.
p th`anh mˆo
.
t nh´om c´ac bi
´
ˆen c
´
ˆo ¯d
`

i X l`a s
´
ˆo ch
´
ˆam xu
´
ˆat hiˆe
.
n trˆen m
˘
a
.
t con
x´uc x
´
˘
ac th`ı X l`a ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen r
`
’
oi ra

’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen liˆen tu
.
c v`a h`am mˆa
.
t ¯dˆo
.
x´ac su
´
ˆat
a) D
¯
a
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen liˆen tu
.
c
✷ D

.
c´o th
’
ˆe c
’
ua
n´o l
´
ˆap ¯d
`
ˆay mˆo
.
t kho
’
ang trˆen tru
.
c s
´
ˆo.
• V´ı du
.
4
- Nhiˆe
.
t ¯dˆo
.
khˆong kh´ı
’
’
o m

`
’
oi gian gi
˜
’
ua hai ca c
´
ˆap c
´
’
uu c
’
ua mˆo
.
t bˆe
.
nh viˆe
.
n.
b) H`am mˆa
.
t ¯dˆo
.
x´ac su
´
ˆat
✷ D
¯
i
.

i x ∈ (−∞, +∞) th
’
oa m˜an
P (X ∈ B) =

B
f(x)dx
v
´
’
oi mo
.
i tˆa
.
p s
´
ˆo th
’
u
.
c B.
✸ T´ınh ch
´
ˆat H`am mˆa
.
t ¯dˆo
.
x´ac su
´
ˆat c´o c´ac t´ınh ch

.
ta c´o P (x ≤ X ≤ x +x) ∼ f(x).x
Do ¯d´o ta th
´
ˆay x´ac su
´
ˆat ¯d
’
ˆe X nhˆa
.
n gi´a tri
.
thuˆo
.
c lˆan cˆa
.
n kh´a b´e (x, x +x) g
`
ˆan nh
’
u
t
’
i lˆe
.
v
´
’
oi f(x).
1. D

’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X, k´ı hiˆe
.
u F(x),
l`a h`am ¯d
’
u
’
o
.
c x´ac ¯di
.
nh nh
’
u sau
F (x) = P (X < x)
* N
´
ˆeu X l`a ¯da
.
i l
’
u
’


x
i
<x
p
i
(v
´
’
oi p
i
= P (X = x
i
))
* N
´
ˆeu X l`a ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen liˆen tu
.
c c´o h`am mˆa
.

am (x
1
≤ x
2
=⇒ F (x
1
) ≤ F (x
2
)).
iii) lim
x→−∞
F (x) = 0; lim
x→+∞
F (x) = 1.
iv) F

(x) = f(x), ∀x.

´
Y ngh
˜
ia c
’
ua h`am phˆan ph
´
ˆoi x´ac su
´
ˆat
H`am phˆan ph
´

.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen r
`
’
oi ra
.
c X c´o b
’
ang phˆan ph
´
ˆoi x´ac su
´
ˆat
X 1 3 6
P 0,3 0,1 0,6
T`ım h`am phˆan ph
´
ˆoi x´ac su
´
ˆat c
’
ua X v`a v˜e ¯d
`
ˆo thi
.
c
’
ua h`am n`ay.

F (x) =









0 ; x ≤ 1
0, 3 ; 1 < x ≤ 3
0, 4 ; 3 < x ≤ 6
1 ; x > 6
• V´ı du
.
6 Cho X l`a ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen liˆen tu
.
c c´o h`am mˆa
.

Khi x < 0 th`ı F (x) =
x

−∞
f(t)dt = 0
Khi 0 ≤ x ≤ 1 th`ı F (x) =
x

−∞
f(t)dt =
x

0
6
5
tdt =
3
5
x
2
.
Khi x > 1 th`ı
F (x) =
x

−∞
f(t)dt =
1

0




0 ; x < 0
3
5
x
2
; 0 ≤ x ≤ 1
1 −
2
5x
3
; x > 1
2. C
´
AC THAM S
´
ˆ
O D
¯
˘
A
.
C TR
’
UNG C
’
UA D
¯

u X l`a ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen r
`
’
oi ra
.
c c´o th
’
ˆe nhˆa
.
n c´ac gi´a tri
.
x
1
, x
2
, . . . , x
n
v
´
’

.
u
E(X) (hay M(X)), l`a s
´
ˆo ¯d
’
u
’
o
.
c x´ac ¯di
.
nh b
’
’
oi
2. C´ac tham s
´
ˆo ¯d
˘
ac tr
’
ung c
’
ua ¯da
.
i l
’
u
’

.
x´ac su
´
ˆat f(x). K`y vo
.
ng
c
’
ua ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X ¯d
’
u
’
o
.
c x´ac ¯di
.
nh b
’
’
oi

1
12
2
12
3
12
2
12
2
12
1
12
1
12
Ta c´o
E(X) = 5.
1
12
+ 6.
2
12
+ 7.
3
12
+ 8.
2
12
+ 9.
2
12

.
f(x) =

2.e
−2x
n
´
ˆeu 0 < x < 2
0 n
´
ˆeu x /∈ (0, 2)
T`ım E(X).
Gi
’
ai
E(X) =
∞

−∞
xf(x)dx =
2

0
x.(
1
2
x)dx =
x
3
6

˜
ˆau nhiˆen ¯dˆo
.
c lˆa
.
p th`ı E(XY ) = E(X).E(Y ).

´
Y ngh
˜
ia c
’
ua k`y vo
.
ng
Ti
´
ˆen h`anh n ph´ep th
’
’
u. Gi
’
a s
’
’
u X l`a ¯da
.
i l
’
u

2
, . . . , k
n
.
Gi´a tri
.
trung b`ınh c
’
ua ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X trong n ph´ep th
’
’
u l`a
x =
k
1
x
1
+ k
2
x

x
2
+ . . . + f
n
k
n
v
´
’
oi f
i
=
k
i
n
l`a t
`
ˆan su
´
ˆat ¯d
’
ˆe X nhˆa
.
n gi´a tri
.
x
i
.
32 Ch ’u ’ong 2. D
¯

.
y v
´
’
oi n ¯d
’
u l
´
’
on
ta c´o
x ≈ p
1
x
1
+ p
2
x
2
+ . . . + p
n
x
n
= E(X)
Ta th
´
ˆay k`y vo
.
ng c
’

’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen.
Do ¯d´o c´o th
’
ˆe n´oi k`y vo
.
ng c
’
ua ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen ch´ınh l`a gi´a tri
.
trung b`ınh (theo
x´ac su
´
ˆat) c
’
ua ¯da

nh ngh
˜
ia 7 Ph
’
u
’
ong sai (¯dˆo
.
lˆe
.
ch b`ınh ph
’
u
’
ong trung b`ınh) c
’
ua ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau
nhiˆen X, k´ı hiˆe
.
u Var(X) hay D(X), ¯d

˜
ˆau nhiˆen r
`
’
oi ra
.
c nhˆa
.
n c´ac gi´a tri
.
c´o th
’
ˆe x
1
, x
2
, . . . , x
n
v
´
’
oi
c´ac x´ac su
´
ˆat t
’
u
’
ong
´

ˆau nhiˆen liˆen tu
.
c c´o h`am mˆa
.
t ¯dˆo
.
x´ac su
´
ˆat f(x) th`ı
V ar(X) =
+∞

−∞
[x − E(X)]
2
f(x)dx
 Ch´u ´y Trong th
’
u
.
c t
´
ˆe ta th
’
u
`
’
ong t´ınh ph
’
u

2
) − [E(X)]
2
• V´ı du
.
9 Cho ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen r
`
’
oi ra
.
c X c´o b
’
ang phˆan ph
´
ˆoi x´ac su
´
ˆat sau
X 1 3 5
P 0,1 0,4 0,5
T`ım ph

ung c
’
ua ¯da
.
i l
’
u
’
ong ng
˜
ˆau nhiˆen 33
• V´ı du
.
10 Cho ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆaunhiˆen X c´o h`am mˆa
.
t ¯dˆo
.
f(x) =

cx

0
cx
3
dx = c

x
4
4

3
0
=
81
4
c.
Suy ra c =
4
81
.
ii) E(X) =
3

0
x
4
81
x
3
dx =
4

81

x
6
6

3
0
= 6
Vˆa
.
y V ar(X) = E(X
2
) − [E(X)]
2
= 6 − (2, 4)
2
= 0, 24.
✸ T´ınh ch
´
ˆat
i) Var(C)=0; (C khˆong ¯d
’
ˆoi).
ii) V ar(cX) = c
2
.V ar(X).
iii) N
´
ˆeu X v`a Y l`a hai ¯da

ˆay X−E(X) l`a ¯dˆo
.
lˆe
.
ch kh
’
oi gi´a tri
.
trung b`ınh nˆen V ar(X) = E{[X−E(X)]
2
}
l`a ¯dˆo
.
lˆe
.
ch b`ınh ph
’
u
’
ong trung b`ınh. Do ¯d´o ph
’
u
’
ong sai ph
’
an ´anh m
´
’
uc ¯dˆo
.

on vi
.
¯do c
’
ua ph
’
u
’
ong sai b
`
˘
ang b`ınh ph
’
u
’
ong ¯d
’
on vi
.
¯do c
’
ua ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng

u
`
’
oi ta d`ung mˆo
.
t ¯d
˘
a
.
c tr
’
ung m
´
’
oi ¯d´o l`a ¯dˆo
.
lˆe
.
ch tiˆeu chu
’
ˆan.
34 Ch ’u ’ong 2. D
¯
a
.
i l
’
u
’
ong ng

ng ng
˜
ˆau nhiˆen X, k´ı hiˆe
.
u l`a σ(X),
¯d
’
u
’
o
.
c ¯di
.
nh ngh
˜
ia nh
’
u sau:
σ(X) =

V ar(X)
2.4 Mode
✷ D
¯
i
.
nh ngh
˜
ia 9 Mod(X) l`a gi´a tri
.

n n`ao ¯d´o c
’
ua n´o.
D
¯
´
ˆoi v
´
’
oi ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen r
`
’
oi ra
.
c mod(X) l`a gi´a tri
.
c
’
ua X
´

.
c
’
ua X ta
.
i ¯d´o h`am
mˆa
.
t ¯dˆo
.
¯da
.
t gi´a tri
.
c
’
u
.
c ¯da
.
i.
 Ch´u ´y Mˆo
.
t ¯da
.
i l
’
u
’
o

ong th`ı mod(X) l`a
¯di
’
ˆem m`a nhi
`
ˆeu sinh viˆen ¯da
.
t ¯d
’
u
’
o
.
c nh
´
ˆat.
• V´ı du
.
12 Cho ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen liˆen tu
.

Gi
’
ai
mod(X) l`a nghiˆe
.
m c
’
ua ph
’
u
’
ong tr`ınh
f

(x) =
1
2
e
−
x
2
4
−
x
2
4
e
−
x
2

ua ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X l`a gi´a tri
.
c
’
ua X chia phˆan
ph
´
ˆoi x´ac su
´
ˆat th`anh hai ph
`
ˆan c´o x´ac su
´
ˆat gi
´
ˆong nhau. K´ı hiˆe
.
u med(X).
Ta c´o P (X < med(X)) = P (X ≥ med(X)) =
1

Trong
´
’
ung du
.
ng, trung vi
.
l`a ¯d
˘
a
.
c tr
’
ung vi
.
tr´ı t
´
ˆot nh
´
ˆat, nhi
`
ˆeu khi t
´
ˆot h
’
on c
’
a k`y vo
.
ng,

ac tr
’
ung c
’
ua ¯da
.
i l
’
u
’
ong ng
˜
ˆau nhiˆen 35
• V´ı du
.
13 T`ım med(X) trong v´ı du
.
(12).
Gi
’
ai
med(X) l`a nghiˆe
.
m c
’
ua ph
’
u
’
ong tr`ınh

’
u c´ac v´ı du
.
(12), (13) v`a t´ınh thˆem k`y vo
.
ng ta c´o E(X) = 1, 772; mod(X) =
1, 414 v`a med(X) = 1, 665. Tuy nhiˆen n
´
ˆeu phˆan ph
´
ˆoi ¯d
´
ˆoi x
´
’
ung v`a ch
’
i c´o mˆo
.
t mode th`ı
c
’
a ba ¯d
˘
a
.
c tr
’
ung ¯d´o tr`ung nhau.
2.6 Moment

ˆap k c
’
ua ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X l`a s
´
ˆo α
k
= E{[X − E(X)]
k
}.
⊕ Nhˆa
.
n x´et
i) Moment c
´
ˆap 1 c
’
ua X l`a k`y vo
.
ng c
’

3
1
.
2.7 H`am moment sinh
✷ D
¯
i
.
nh ngh
˜
ia 12 H`am moment sinh c
’
ua ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X l`a h`am x´ac ¯di
.
nh
trong (−∞, +∞) cho b
’
’
oi
φ(t) = E(e

c
✸ T´ınh ch
´
ˆat
i) φ

(0) = E(X).
ii) φ

(0) = E(X
2
).
iii) T
’
ˆong qu´at: φ
(n)
(0) = E(X
n
), ∀n ≥ 1.
36 Ch ’u ’ong 2. D
¯
a
.
i l
’
u
’
ong ng
˜
ˆau nhiˆen v`a phˆan ph


(t) =
d
dt
φ

(t) =
d
dt
E(Xe
tX
) = E

d
dt
(Xe
tX
)

= E(X
2
e
tX
).
Suy ra φ

(0) = E(X
2
). ✷
 Ch´u ´y

(t). Khi ¯d´o h`am moment sinh c
’
ua X + Y cho b
’
’
oi
φ
X+Y
(t) = E(e
t(X+Y )
) = E(e
tX
e
tY
) = E(e
tX
)E(e
tY
) = φ
X
(t)φ
Y
(t)
(¯d
’
˘
ang th
´
’
uc g

ˆoi x´ac su
´
ˆat c
’
ua ¯da
.
i
l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X.
3. M
ˆ
O
.
T S
´
ˆ
O QUI LU
ˆ
A
.
T PH
ˆ
AN PH

o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen r
`
’
oi ra
.
c X nhˆa
.
n mˆot trong c´ac gi´a tri
.
0,1,2,...,n
v
´
’
oi c´ac x´ac su
´
ˆat t
’
u
’
ong
´
’
ung ¯d
’
u
’

ˆo n v`a p. K´ı hiˆe
.
u X ∈ B(n, p) (hay X ∼ B(n, p)).
 Cˆong th
´
’
uc
V
´
’
oi h nguyˆen d
’
u
’
ong v`a h ≤ n − x, ta c´o
P (x ≤ X ≤ x + h) = P
x
+ P
x+1
+ . . . + P
x+h
(2.2)
• V´ı du
.
14 T
’
y lˆe
.
ph
´

´
ˆe ph
’
ˆam.
Gi
’
ai
Ta th
´
ˆay m
˜
ˆoi l
`
ˆan ki
’
ˆem tra mˆo
.
t s
’
an ph
’
ˆam l`a th
’
u
.
c hiˆe
.
n mˆo
.
t ph´ep th

ˆam th`ı trong m
˜
ˆoi ph´ep th
’
’
u. Ta c´o
p = p(A) = 0, 03.
D
¯
˘
a
.
t X l`a t
’
ˆong s
´
ˆo ph
´
ˆe ph
’
ˆam trong 100 s
’
an ph
’
ˆam th`ı X ∈ B(100; 0, 03).
i) P (X = 3) = C
3
100
(0, 03)
3

(0, 97)
98
+ C
3
100
(0, 03)
3
(0, 97)
97
= 0, 647.
 Ch´u ´y Khi n kh´a l
´
’
on th`ı x´ac su
´
ˆat p khˆong qu´a g
`
ˆan 0 v`a 1. Khi ¯d´o ta c´o th
’
ˆe ´ap du
.
ng
cˆong th
´
’
uc x
´
ˆap x
’
i sau

(2.3) ¯d
’
u
’
o
.
c go
.
i cˆong th
´
’
uc ¯di
.
a ph
’
u
’
ong Laplace.
ii)
P (x ≤ X ≤ x + h) ≈ ϕ(u
2
) − ϕ(u
1
) (2.4)
trong ¯d´o
ϕ(u) =
1
√
2π
u

’
uc t´ıch phˆan Laplace.
 C´ac tham s
´
ˆo ¯d
˘
a
.
c tr
’
ung
N
´
ˆeu X ∈ B(n, p) th`ı ta c´o
i) E(X) = np.
ii) V ar(X) = npq.
iii) np − q ≤ mod(X) ≤ np + p.
Ch
´
’
ung minh. X´et ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜

’
u c´o c`ung x´ac su
´
ˆat x
’
ay ra bi
´
ˆen c
´
ˆo A
l`a p.
Ta c´o th
’
ˆe bi
’
ˆeu di
˜
ˆen X nh
’
u sau:
X =
n

i=1
X
i
38 Ch ’u ’ong 2. D
¯
a
.

ˆo A x
’
ay ra
0 n
´
ˆeu ng
’
u
’
o
.
c la
.
i
V`ı X
i
, i = 1, 2, . . . , n l`a c´ac ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen ¯dˆo
.
c lˆa
.

i=1
E(X
i
) = np
V ar(X) =
n

i=1
V ar(X
i
) = npq
✷
• V´ı du
.
15 Mˆo
.
t m´ay s
’
an xu
´
ˆat ¯d
’
u
’
o
.
c 200 s
’
an ph
’

n
˘
ang tin ch´ac c
’
ua m´ay ¯d´o trong mˆo
.
t ng`ay.
Gi
’
ai
Go
.
i X l`a s
´
ˆo ph
´
ˆe ph
’
ˆam c
’
ua m´ay trong mˆo
.
t ng`ay th`ı X ∈ B(200; 0, 05).
S
´
ˆo ph
´
ˆe ph
’
ˆam trung b`ınh c

’
u X l`a ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen c´o phˆan ph
´
ˆoi nhi
.
th
´
’
uc v
´
’
oi tham s
´
ˆo (n, p) v`a a = np
trong ¯d´o n kh´a l
´
’
on v`a p kh´a b´e.
Ta c´o
P (X = k) =

n
)
n
(1 −
a
n
)
k