Cao Hào Thi 43
CHƯƠNG 5
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
(Random Variables and Probability Distributons)
5. ĐỊNH NGHĨA BIẾN NGẪU NHIÊN (Random Variable)
5.1.1. Định nghĩa
• Biến ngẫu nhiên là những biến mà giá trị của nó được xác định một cách ngẫu nhiên.
• Về mặt toán học, nếu mỗi biến cố sơ đẳng A thuộc tập hợp biến cố ω nào đấy có thể
đặt tương ứng với một đại lượng xác định X = X(A) thì X được gọi là một biến cố
ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên X có thể xem như hàm của biến cố A với miền xác định
là ω.
• Các biến ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các chữ lớn X, Y, Z,… còn các giá trị của
chúng được ký hiệu bằng các chữ nhỏ x, y, z...
5.1.2. Phân loại
Biến ngẫu nhiên được chia làm hai loại: biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục.
a) Biến ngẫu nhiên rời rạc (Discrete Random Variable)
Nếu giá trị của biến ngẫu nhiên X có thể lập thành dãy rời rạc các số x
1
, x
2
, …, x
n
(dãy
hữu hạn hay vô hạn) thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.
b) 3.1.2.2. Biến ngẫu nhiên liên tục (Continuous Random Variable)
Nếu giá trị của biến ngẫu nhiên X có thể lấp đầy toàn bộ khoảng hữu hạn hay vô hạn (a,b)
của trục số 0x thì biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục.
Thí dụ
• Lượng khách hàng đến cửa hàng trong ngày là biến ngẫu nhiên rời rạc.
• Nhiệt độ trong ngày ở Sài Gòn là biến ngẫu nhiên liên tục.
5.2. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỐI VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

X 1 2 3 4 5 6
P
X
(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Trình bày bằng đồ thị :
5.2.3. Hàm xác suất tích lũy (Cumulative Probalility Function).
a) Định nghĩa
Hàm xác suất tích lũy F
X
(x
o
) của biến ngẫu nhiên rời rạc x thể hiện xác suất để X không
vượt quá giới hạn x
o
. F
X
(x
o
) là hàm của x
o
F

∑
≤xox
X
)x(P

∑
≤xox
X
)x(P
: tổng của tất cả các giá trị có thể có của x với điều kiện x≤x
o

b. 0 ≤ F
X
(x
o
) ≤ 1 ∀x
oc. Nếu x
1
< x
2
thì F
X
(x
1
) ≤ F
X

x neáu

F
X
(x≤ 2.5) = P
X
(1) + P
X
(2) = 1/6 + 1/6 = 1/3
• Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc hàm xác suất tích lũy luôn có dạng bậc thang bắt đầu
từ 0 và tận cùng bằng 1.
1
5/6
4/6
3/6
2/6
1/6

F
X
(x

X
(0) = 0,81, P
X
(1) = 0,17, P
X
(2) = 0,02.
Tìm số lỗi trung bình có trong 1 trang sách ?
Giải
µ
x
= E(X) =
∑
x
X
)x(P*x
= 0 * 0,81 + 1 * 0,17 + 2 * 0,02
= 0,21 lỗi /1 trang

b) Kỳ vọng của hàm số của biến ngẫu nhiên
Gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm xác suất P
X
(x)
g(X) là một hàm số của biến ngẫu nhiên X
Kỳ vọng của hàm số g(X) được định nghĩa như sau :

x
)² và được ký hiệu
2
X
σ
.
2
X
σ
= E[(X -
µ
X
)²] =
( )
∑
µ−
x
XX
)x(P*x
2•
Phuơng sai
2
X
σ
có thể tính theo công thức :
2
X

XX
x
X
xPxPxxPx )()(.2)(
22
µµ

2
X
σ
=
22
X
x
X
)x(Px µ−
∑

5.2.6. Độ lệch chuẩn
σ
x
(Standard Deviation)
Độ lệch chuẩn được ký hiệu
σ
x
σ
X
=
2
X

X
σ
= E(X²) -
2
X
µ
= 0,25 - (0,21)² = 0,2059
•
Độ lệch chuẩn
Cao Hào Thi 48

σ
x
=
4538,02059,0
2
==
X
σ

5.2.7. Momen
a) Momen gốc cấp k (Momen of Order k)
m
k
= E [X
k
] =
)x(Px
X
x

X
µ−
∑

•

k = 2:
2
X
σ
= E[(X -
µ
X
)²] = m
2
-
2
1
m

•

M
1
= E [(X -
µ
)] = 0
M
2
= E [(X -

Gọi p là
xác suất thành công
trong mỗi phép thử độc lập => q = (1-p) là
xác suất
thất bại
trong mỗi phép thử độc lập.
Xác suất để có số lần thử thành công là x trong những phép thử độc lập được cho
bởi hàm xác suất như sau :
Px(x) = [n!/ (x!(n - x)!)].[p
x
(1 - p)
n-x
]

với x = 0,1,2,…, n
hay
P
x
(x) =
x
n
C
p
x
q
n-x
với q = 1 - p
Ghi chú
•


X
σ

= npq với q = 1-p

Độ lệch chuẩn
σ
x
=
npq

Thí dụ
Một người đi bán hàng đi tiếp xúc để chào hàng với 5 khách hàng. Xác suất để bán được
hàng trong mỗi lần chào hàng là 0,4.
a)
Tìm phân phối xác suất của số lần bán được hàng.

b)
Tìm số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của số lần bán được hàng.

c)
Tìm xác suất của số lần bán được hàng trong khoảng 2 đến 4 lần.

Giải

a. Xác suất của số lần bán được hàng tuân theo phân phối nhị thức :

P
X
(x) =

(không bán được)
x = 1 => P
X
(1) = 0,259
x = 2 => P
X
(2) = 0,346
x = 3 => P
X
(3) = 0,230
x = 4 => P
X
(4) = 0,077
x = 5 => P
X
(5) = 0,010
(trong 5 lần bán được cả 5)P
X
(x)
0,4
0,2
0
0 1 2 3 4 5 X
số lần thành công
Cao Hào Thi 50
e
x
λ
λ−
với
λ
> 0,
∀λ

x = 0,1,2,…
b) Số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của phân phối Poisson
•

Số trung bình của phân phối Poisson

µ
x
= E(x) =
λ•

Phương sai.
σ
²
x
= E[(x-
µ
x

Cao Hào Thi 51

5.3. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỐI VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
(Probability Distributions For Continuous Random Variables)
Phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục được xác định bởi hàm mật độ xác suất.
5.3.1. Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function)
Gọi X là biến ngẫu nhiên liên tục, gọi x là giá trị bất kỳ nằm trong miền các giá trị có thể
có của X.
Hàm mật độ xác suất f
X
(x) của biến ngẫu nhiên liên tục là hàm có những tính chất sau :
•

f
X
(x)
≥
0 ,
∀
x

•

Xác suất P(a<X<b) để giá trị của biến ngẫu nhiên X rơi vào khoảng (a,b) được xác
định bởi đẳng thức.

P(a<X<b) =
∫
b
a

∞
∞−
= 1dx)x(f
x
==
> Toàn bộ diện tích của hình thang cong là 1
Nếu f
X
(x) là hàm mật độ phân phối thì f
X
(x) cần thỏa mãn 2 điều kiện
9
F
X
(x)
≥
0,
∀
x

9
∫
∞
= 1
dx)x(f
x