Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
50
Chơng II
Biến ngẫu nhiên v quy luật phân phối xác suất
A. Biến ngẫu nhiên một chiều
I. Định nghĩa v các phép toán cơ bản
1. Định nghĩa
Cho (, A , P). Nếu X là một ánh xạ đo đợc từ vào thì X đợc gọi là một biến ngẫu nhiên
(hoặc một đại lợng ngẫu nhiên).
Nói cách khác: X là một hàm số thực, hữu hạn, xác định trên sao cho với mỗi x thì
{}
< xX )(: A .
Ghi chú:
Để cho gọn ta sẽ ký hiệu (X S) thay cho
{}
S

)(: X chẳng
hạn
{}
xXxX = )(:)( .
Thí dụ:
Tung 2 đồng xu đối xứng đồng chất. Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp. Hãy chứng tỏ X là một
biến ngẫu nhiên
Bài giải
a. Ta xây dựng không gian xác suất (, A , P) ứng với phép thử này.














Nh ta đã biết các biến cố này bao gồm:
16=2=)1+1(=C+C+C+C+C
444
4
3
4
2
4
1
4
0
4
phần tử.
Vì tính chất đều đặn và đối xứng của hai đồng xu nên ta có thể đặt các xác suất nh sau:
1234
( )( )( )( )PPPP====
4
1
.
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD

<= <=


<




>



Do tất cả các tập hợp viết ở vế phải đều là các tập thuộc
A nên theo định nghĩa X là một biến ngẫu nhiên.

Nhận xét:
Vì X là một ánh xạ từ
vào R nên dùng nó ta có thể chuyển từ không gian mẫu cũ sang không gian
mẫu mới do đó có thể chuyển các biến cố mang nội dung về chất thành các biến cố mang nội dung về
lợng, cụ thể là các biến cố sơ cấp thành các số thực. Chẳng hạn ở không gian
thì biến cố {
2
,
3
} là
biến cố có nội dung chỉ có 1 lần xuất hiện mặt sấp nhng khi chuyển sang không gian mới biến cố này
tơng đơng với biến cố X nhận giá trị 1.
Dựa trên xác suất đã xây dựng trên không gian cũ, nếu ta xây dựng đợc độ đo xác suất cho không
gian mới này thì các thao tác sau này sẽ đơn giản hơn và lúc đó ta có thể trừu xuất khỏi không gian xác
suất cũ.

Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
52
Chứng minh
Để đơn giản ta xét trờng hợp C > 0. Khi đó:
()







<=<
C
x
XxCX
A. Do X là biến ngẫu nhiên.
b. Phép cộng
Định nghĩa:
Nếu X và Y là hai hàm thực xác định trên
thì X + Y cũng là hàm thực xác định trên sao cho:
(X + Y)(
) = X() + Y().
Định lý:
Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên thì X + Y cũng là một biến ngẫu nhiên.
Chứng minh
Ta xét tập
[]


và Y() < x - r
o
.
Vậy [(X < r
0
)(Y < x r
0
)] nhng [(X < r
0
)(Y< r r
0
)] A nên A.

c. Phép nhân hai biến ngẫu nhiên
Định nghĩa:
Tích X.Y của hai hàm số thực X và Y là một hàm số thực sao cho với mỗi
thì
(XY)( ) = X().Y().
Định lý 1:
Nếu X là một biến ngẫu nhiên thì X
2
cũng là một biến ngẫu nhiên.
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
53
Chứng minh
Nếu x 0 thì (X
2
< x) = A .
Nếu x > 0 thì (X

Định nghĩa: Thơng
Y
X
của hai hàm thực X và Y xác định trên sao cho với mỗi m Y() 0
thì :
XX( )
( )
YY( )
=
.
Định lý: Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên với (Y = 0) =
thì
Y
X
cũng là một biến ngẫu nhiên.
Chứng minh
Ta có thể phân tích
() ()
00 >






<<





<
<
>
=
YxYXYxYX
.
Do X và Y là hai biến ngẫu nhiên nên các tập (X<xY), (Y<0), (X<xY), (Y>0) đều thuộc
A suy ra
tập hợp vừa viết cũng thuộc
A.
Vậy
Y
X
là một biến ngẫu nhiên.

e. Hàm của biến ngẫu nhiên
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
54
Ta thừa nhận mệnh đề sau: Nếu X là một biến ngẫu nhiên trên (, A, P) và G là một hàm đo đợc
trên R thì
G
0
X cũng là biến ngẫu nhiên trên (, A, P).

II. Hm phân phối xác suất
1. Định nghĩa
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là
F
X

<=


<






ớ
ớ
ớ

là các tập đều thuộc
A. Từ đó
()
{}
{}
4
234
P( ) 0 v i x 0
1
v i 0 x 1
4
()
3
, , v i 1 x 2
4
P( ) 1 v i x 2

ớ
.
Tóm lại nếu trừu xuất khỏi không gian xác suất cũ ta có thể viết biểu thức của F(x) nh sau:
()









>
<
<

=<=
2 x với1
2x1 với
4
3
1x0 với
4
1
0x với
xXP)x(F
0
.


X x
2
). Vì thế P(X < x
2
) = P(X < x
1
) + P(x
1
X x
2
)
(do (X < x
1
)(x
1
X < x
2
) =) suy ra F(x
2
) = F(x
1
) + P(x
1
X < x
2
).
Mà P(x
1
X < x
2

} (n = ,1) với
12

lim
n
x
xx x


>>



=



,
tức là một dãy giảm tùy ý và đặt A
n
= {X < x
n
} khi đó ta có:
12
1

lim
n
nn
n

nn
nn
PA PA

= . Do đó
0)A(Plim
n
n
=

. Nhng:
lim ( ) lim ( ) lim ( )
nnn
nn n
PA PX x Fx

=<=
. Vậy lim ( ) 0
n
n
Fx

= .
Do
{}
(
)
= ,1nx
n
là một dãy giảm lấy tùy ý nên ta có: 0)x(Flim



<<<<




=+




.
Ta đặt B
n
= {X < x
n
} khi đó:





==

=


n


n
n
.
Vậy
1)x(Flim
n
=

.
Do
{}
(
)
= ,1nx
n
là một dãy tăng lấy tùy ý nên ta kết luận
1)x(Flim
n
=
+
.
Ghi chú
Hai giới hạn này sau này ta sẽ ký hiệu gọn là F(- ) = 0 và F(+) = 1.

Tính chất 4: Hàm phân phối F(x) liên tục bên trái, có nghĩa là tại mọi điểm x
0
ta đều có
0
0
lim ( ) ( )

on
n
n21
xxlim
x xx
.
Ta đặt
{}
{}



<=
<=
o
nn
xXC
xXC
. Khi đó





==

=


n

=
)x(Flim
n
n
.
Vậy
)x(Flim
n
n
= F(x
0
).
Do
{}
(
)
= ,1nx
n
là một dãy tăng tùy ý hội tụ về phía trái của x
0
nên ta suy ra:
0
0
lim ( ) ( )
xx
F
xFx


=

1
x(Flim
n

=
F(x+0) - F(x).
Mặt khác
1
lim
n
Px X x
n




<+





=

1
lim
n
PxXx
n


<+






=
P(X = x).
Từ các kết quả trên ta suy ra:
a.
()(0)- ()PX x Fx Fx== + .
b. Hàm F(x) liên tục tại x khi và chỉ khi P(X = x) = 0.

III. Biến ngẫu nhiên rời rạc
1. Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên X đợc gọi là rời rạc nếu miền giá trị của nó là một tập hữu hạn hoặc đếm đợc.
Nếu Im(X) = {x
i
, i I} với I =(1, 2, , n) hoặc I = N thì tập hợp các xác suất P(X = x
i
) với i I lập
thành một
quy luật phân phối xác suất của X.
Khi đó:
I)(i
xx với
x x với)xx(P
)xX(P
i

i
) (i I) lập thành một nhóm đày đủ nên ta suy ra


==
Ii
i
1)xX(P.
Ghi chú:
Đồ thị của hàm phân phối F(x) của một biến ngẫu nhiên rời rạc X sẽ có dạng bậc thang. Tại các
điểm mà là các giá trị có thể có của X thì đồ thị này có bớc nhẩy. Nh ta đã thấy ở ghi chú trong mục
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
58
trên, độ dài của bớc nhảy chính bằng xác suất để X nhận giá trị tơng ứng. Cụ thể tại giá trị x
i
thì:
()()()
ii i
PX x Fx Fx
+
==
.
Thí dụ:
Nếu X là "số lần xuất hiện mặt sấp khi tung hai đồng xu đối xứng và đồng chất" thì ta đã có biểu
thức của hàm phân phối xác suất nh sau:





i
nào đó là ứng với độ cao của bậc
thang dới (do tính chất liên tục của F(x)).

2. Bảng phân phối xác suất
Để thực hiện một cách trực quan luật phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, ngời ta
thờng liệt kê các giá trị có thể có của X kèm theo các xác suất tơng ứng đễ nhận mỗi giá trị có thể có
đó trong một bản với dạng sau:
X x
1
x
2
x
i

P(x) P(x
1
) P(x
2
) P(x
i
)
Bảng này gọi là bảng phân phối xác suất của X với 2 điều kiện cơ bản là





=


= .
4
2
4
1
4
3
=)F(0-)F(0=0)=P(x
-+
= .
4
1
4
3
-1=F(2)-)F(2=2)=P(x
+
= .
Vậy bảng phân phối xác suất của X nh sau:
X 0 1 2
P(X)
4
1

4
2

4
1
4
2
4
1
)1(P)0(P)8,1(F =+=+= . 4
3
4
2
4
1
)1(P)0(P)2(F =+=+=
.
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
60
Nh vậy với mọi x sao cho 1 < x 2 ta đều có F(x) =
4
3
.
Thí dụ 2: Một ngời phải tiến hành một thí nghiệm cho tới khi nào thành công thì thôi. Hãy lập bảng
phân phối xác suất của số lần phải tiến hành biết rằng xác suất thành công ở mỗi lần đều là p (0 < p < 1)
và các lần tiến hành độc lập với nhau.
Bài giải
Ta gọi A
i
là biến cố "ở lần tiến hành thứ i ngời đó thu đợc thành công" ( i = 1, 2, 3, ) thì
{

Do các lần tiến hành độc lập nên
1
A và A
2
là hai biến cố độc lập.
Vậy
p)p-1(=)A(P)A(P=)2=x(P
2
1
.

Tổng quát:
Vì
)AA AAA()nX(
n
1-n
321
== nên
pp)-()A(P)A(P) A(P)A(P)A(P)nX(P
1-n
n
1-n
1
321
=== .

Từ đó ta có bảng phân phối xác suất của X nh sau:
X 1 2 n
P(x) p (1-p)p (1-p)
n-1

(2)


=


=
==
1
1
1
1
i
n
i
p)p-()nX(P . Đây là tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội là
(1 - p), vì thế:


=

1
1
1
i
n
p)p-( 1
p
p
p)-(1-1

tục trong đoạn [0 ; R] vì mọi giá trị của đoạn này đều là giá trị có thể có của X.

2. Một số tính chất của hàm mật độ
Tính chất 1:

1dx)x(f =

+

.
Chứng minh:
() ( ) ( ) 1 0 1fxdx F F
+

=+==

.
Tính chất 2:

=<
x
x
dx)x(f)xxx(P
2
1
21
với [x
1
,x
2

1
1
1
()()0
x
PX x f xdx
x
== =


Vậy xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận một giá trị cụ thể x
1
nào đó luôn bằng 0. Vì x
1
là
một giá trị bất kỳ cho nên ta có thể viết P(X = x) = 0 với mọi x. Từ đó ta suy ra:
a. Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, để có ý nghĩa. Ta phải đề cập tới xác suất để nó nhận một giá trị
nào đó nằm trong một khoảng nào đấy.
b. Theo ghi chú b) ở cuối mục II ta suy ra hàm phân phối xác suất F(x) của biến ngẫu nhiên liên tục
là một hàm liên tục tại mọi x.

Hệ quả 2: Nếu X là một biến ngẫu nhiên liên tục thì từ hệ quả 1 ta thấy:
)xXx(P)xXx(P)xXx(P)xXx(P
21212121
<
<
=


=



Ngời ta chứng minh đợc rằng 1) và 2) là điều kiện cần và đủ để một hàm số f(x) nào đó trở thành
hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục X nào đấy.

Thí dụ:
Một biến ngẫu nhiên liên tục X đợc gọi là tuân theo quy luật phân phối mũ với tham số ( > 0 )
nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
63




>
=
0xvới0
0xvới
x-
e
)x(f

a. Hãy xác định hàm phân phối F(x).
b. Hãy chứng tỏ rằng:
12 1 2
()().()PX x x PX x PX x>+ = > > với mọi x
1
, x
2

12 12
()1-()PX x x Fx x>+ = +
12
-( )
1-[1- ]
xx
e
+
=
12
-( )
x
x
e
+
= .
Tơng tự trên ta có:
1
-
1
()
x
PX x e

>=
2
-
2
()
x

()
()
()
PX x x
PX x x X x
PX x
>+
>+ > =
>
.
Từ đó theo kết quả b ta đợc:
12
12 1 2
1
().()
() ()
()
PX x PX x
PX x x X x PX x
PX x
>>
>+ > = = >
>
.
Ghi chú: Một biến ngẫu nhiên X đợc gọi là "không có trí nhớ" nếu
()()PX s tX t PX s>+ > = > với mọi s, t 0.
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
64
Chẳng hạn nếu X là tuổi thọ của một loại sản phẩm và nếu nó thỏa mãn hệ thức vừa nêu thì có nghĩa

sao cho với mỗi thì V() = ( X(), Y()).

II. Hm phân phối
1. Hàm phân phối đồng thời
a. Định nghĩa
Hàm phân phối xác suất đồng thời của một biến ngẫu nhiên hai chiều
V = (X, Y) đợc định nghĩa nh sau:
)y x,-()]yY)(xX[(P)y,x(F +<
<

<
<
=
.
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
65

M(x, y)
y
x
Nh vậy F(x, y) cho ta biết lợng xác suất đợc phân cho những điểm thuộc hình chữ nhật mở nh ở
hình vẽ dới đây:


> y
1

ii. Liên tục bên trái đối với mỗi đối số.
iii. 1)y,x(Flim
y
x
=
+
+
(hoặc viết gọn là
1),(F
=
+

+

).
iv.
0)-,x(F)y,-(F ==
(hiểu theo cách viết gọn nh trên).
v. Nếu a
i
< b
i
(i = 1, 2) thì
)a,F(a)a,F(b-)b,F(a-)b,b(F)]bya)(bXa[(P
212121212211
+
=


)y(F)yY(P)(F
2
=
<
=

+
y,
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
66
là các hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên thành phần tơng ứng X và Y. Các hàm này gọi là các
hàm phân phối biên của V. Đây là loại hàm phân phối một chiều đã đợc xét ở phần A và chúng cho ta
biết sự phân phối xác suất theo chiều nằm ngang và theo chiều thẳng đứng, tức là lợng xác suất phân bố
cho các điểm thuộc vào các nửa mặt phẳng nh ở các hình vẽ dới đây.
Thí dụ:
Cho các biến ngẫu nhiên hai chiều V = (X, Y) có hàm phân phối xác suất nh sau:





III. Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc
1. Định nghĩa

Nếu X và Y đều là các biến ngẫu nhiên một chiều rời rạc thì hệ V = (X, Y) gọi là biến ngẫu nhiên hai
chiều rời rạc.
Nếu
{
}
(
)
1,
i
x
in= và
{}
()
1,
j
y
jm= là các giá trị có thể có tơng ứng của X và Y thì ta sẽ ký hiệu:
[( )( )] ( , )
ii iiij
PX x Y y Pxy P=== =
.
Các xác suất P
ij
này (i = 1,n; j = 1,m) gọi là các xác suất đồng thời của hệ V= (X, Y). Vì các biến cố
[(X = x
i

1j
ij
==

====
.
Ngoài ra ta có thể phân tích biến cố:

=
====
m
1j
iii
)]yY)(xX[()xX( .
Nên
])yY)(xX[(PP)x(P)xX(P
m
j
iiiii

=

======
1

tức là

=

=

Y
x
1
x
2
x
i
x
n


i

y
1

y
2y
i
P
ij
P
*j

y
m

Từ kết quả trên ta lập đợc bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y nh sau:
X
Y
0 100 200 300 400

0 0,512 0 0 0 0 0,512
1 0 0,256 0,128 0 0 0,384
2 0 0 0,032 0,064 0 0,096
3 0 0 0 0 0,008 0,008

0,152 0,256 0,160 0,064 0,008 1

2. Các loại phân phối
a. Phân phối đồng thời
Hàm phân phối đồng thời của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc đợc xác định nh sau:
B
BBB (0,2)
3
= 0,008 3 400
B
B B (0,2)
2
(0,8) = 0,032 2 300

B BB (0,2)

B
B
B
B
B
B
B
B
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
69
)y,x(P)]yY)(xX[(P)y,x(F
ii
yyxx
ji


<<
=<<=
Ghi chú: Quy luật phân phối đồng thời cũng có thể biểu thị bằng hình thức bảng phân phối xác suất hai
chiều.
b. Các phân phối biên
Các hàm phân phối biên của X và của Y đợc xác định nh sau

<

=<=
xx
1
i

Y
y
1
y
2
y
i
y
n

P(y) P(y
1
) P(y
2
) P(y
i
) P(y
n
)

Thí dụ:
Với X là "số lần bán đợc hàng" thì bằng cách kết hợp cột đầu và cột cuối của bảng phân phối xác
suất hai chiều đã thiết lập ở trên, ta có bảng phân phối xác suất (phân phối biên) của X nh sau:
X 0 1 2 3
P(X) 0,152 0,384 0,096 0,008
Tơng tự nếu kết hợp dòng đầu và dòng cuối của bảng ta đợc bảng phân phối xác suất của Y nh
sau:
Y 0 100 200 300 400
P(Y) 0,152 0,256 0,160 0,064 0,008


P
j
i
ij
.
Nếu X có n giá trị có thể có thì ta sẽ có n phân phối có điều kiện của Y đối với X.
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
70
Tơng tự hàm phân phối có điều kiện của X khi Y = y
j
sẽ là

<

==<==
xx
p
P
)yYxX(P)yYx(F
i
j
ij
ii
.
Nếu Y có m giá trị có thể có thì ta sẽ có m phân phối có điều kiện cảu X đối với Y.
Ghi chú: Các quy luật phân phối có điều kiện cũng có thể biểu thị dới dạng bảng phân phối.
Chẳng hạn bảng phân phối xác suất của Y khi (X = x
i
) có dạng nh sau:


y
m1
1
111
=====


=

==

i
i
ij
m
j
ii
ij
m
j
ij
m
j
P
P
P


3
1
=

Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
71
300
096,0
064,0
=
)2=X(P
)2=X)(300=Y[(P

4
2
=

400
096,0
0
=
)2=X(P
)2=X)(400=Y[(P
0=)2Xy(P =


Thí dụ:
Cho V = (X, Y) có hàm phân phối xác suất đồng thời nh sau:



+
=
lại trái nếu 0
0yx, với ee-e-
)y,x(F
y x-y-x
1
.
Hãy xác định hàm mật độ xác suất đồng thời.
Bài giải
Vì f(x, y) là đạo hàm hỗn hợp của F(x, y) nên ta lần lợt tìm
a.




=


lại trái u nế
0yx, nếu e.e-e
x
)y,x(F
-x-y-x
0

+
lại trái nếu
0yx, ếu n e
)y,x(f
y)-(x
0
.
Ghi chú: Vì là đạo hàm hỗn hợp nên đơng nhiên ta có thể lấy đạo hàm của F(x, y) theo y trớc, theo x
sau:

2. Các loại phân phối
a. Phân phối đồng thời
Phân phối này thờng đợc thể hiện qua hàm mật độ đồng thời với các tính chất chủ yếu sau đây:
Tính chất 1:

+

+

==++

1dxdy)y,x(f);(F.
Tính chất 2:


=
D
dxdy)y,x(f]D)y,x[(P .
Thí dụ:
Biến ngẫu nhiên hai chiều V = (X, Y) có mật độ xác suất phân phối đều trong hình chữ nhật

=
10
10
y
x
D
.
Bài giải
a. Hàm f(x,y) có dạng





=
K y)(x, với 0
K y)(x, với C
)y,x(f
Theo tính chất 1 nêu trên của hàm mật độ,
ta có
1=

)K(
Cdxdy
hoặc là
1=

)K(
dxdyC










20
10
y
x
K
.
Quy luật phân phối này có thể đợc biểu thị bằng hình sau:

b. Các biểu thức của F(x, y) tơng ứng với từng miền xác định nh sau:
i. Nếu x 0 hoặc y 0 thì F(x, y) = 0.
ii. Nếu 0 < x 1 và 0 < y 2.
00
00

1
0
==

.
iv. Nếu 0 < x 1 và y > 2.
xdydx
2
1
)y,x(F
2
0
x
0
==

.
v. Nếu 1 < x < + và 2 < y < +
1dydx
2
1
)y,x(F
2
0
1
0
==

.
M(x,


=
2 y và 1x với
y2 và 1x0 với x
2y 0 và x1 với y
2y0 và 1 x 0 i vớ xy
0 y hoặc0 x với
)y,x(F
1
2
1
2
1
0
.
c. Để tính P(VD) trong đó D là hình 0 x 1 và 0 y 1 ta có thể tiến hành theo hai cách.
i. Nếu dùng hàm mật độ, ta có:
2
1
dydx
2
1
dydx
2
1
dxdy)y,x(f)DV(P
1
0
1
0

><
<+<<
<<

=


=
2y 1;x
2y 1;x0
2y 0 ;x1
2y0 1;x0
0y hoặc0x
yx
)y,x(F
)y,x(f
0
0
0
2
1
0
2
.
Tức là