Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
1
Chơng 1
Biến cố ngẫu nhiên v xác suất
Trong thực tế chúng ta thờng gặp những hiện tợng ngẫu nhiên, tức là những hiện
tợng mà mặc dù với mọi khả năng có thể có ta cố gắng giữ cho những điều kiện cơ bản

của các lần thí nghiệm về các hiện tợng ấy không thay đổi, nhng ta vẫn không thể
khẳng định đợc kết quả của từng thí nghiệm riêng lẻ sẽ nh thế nào. Sở dĩ nh vậy vì
ngoài nhóm những điều kiện cơ bản ra còn có rất nhiều các nguyên nhân không lờng
trớc đợc, gây tác động khác nhau trong quá trình tiến hành các lần thí nghiệm, làm cho
kết quả của các lần thí nghiệm có thể thay đổi từ lần này sang lần khác, khiến cho mọi cố
gắng của chúng ta để dự đoán kết quả chính xác ở mỗi lần thí nghiệm riêng lẻ đều vô
hiệu.
Tuy nhiên, trên cơ sở quan sát rất nhiều hiện tợng thực tế ngời ta thấy rằng nếu nh
ở mỗi thí nghiệm riêng lẻ sự xuất hiện của một sự kiện nào đó còn mang tính chất ngẫu
nhiên thì qua một số lớn lần lặp lại
cùng thí nghiệm ấy, khả năng xuất hiện khách quan
của sự kiện đó lại biểu hiện khá rõ nét. Vì vậy một lý thuyết toán học đã đợc xây dựng
nên nhằm nghiên cứu một cách chính xác tính quy luật của các hiện tợng ngẫu nhiên
khi
ta lặp lại nhiều lần cùng các điều kiện cơ bản làm nảy sinh ra các hiện tợng đó, đợc gọi
là Lý thuyết xác suất
.

A- Các định nghĩa về xác suất
I. Phép thử v không gian các biến cố sơ cấp
Trong lý thuyết xác suất, khi thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản nào đó ngời
ta gọi là thực hiện một phép thử
. Nếu kết quả của phép thử mà không thể khẳng định trớc

;y=
6,1
}
Thí dụ 5. Nếu phép thử là "tung một đồng xu cho tới khi nào đợc mặt sấp thì dừng" thì:
, }NNNS,NNS,NS,S{=
Thí dụ 6.
Nếu phép thử là "đo khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn tới tâm bia với
bán kính của bia là một đơn vị độ dài thì
=
[0,1[.
Nhận xét
:
a. Số lợng các phần tử của
trong các thí dụ 1, 2, 3, 4 là hữu hạn.
b. Số lợng các phần tử của
trong thí dụ 5 là vô hạn nhng đếm đợc (tức là ta có thể
đánh số đợc
1

= S,
2

= NS,
3

= NNS, ).
Các tập hữu hạn hay vô hạn đếm đợc gọi là các tập hơp rời rạc
.
c. Số lợng các phần tử của
trong thí dụ 6 (số các điểm của đoạn [0,1[) là vô hạn

đợc gọi là biến cố không thể có.
Các khái niệm vừa nêu có thể minh họa trong hình sau
2. Mối quan hệ giữa các biến cố

Stone đã chứng minh đợc rằng: giữa các tập hợp và các biến cố có một sự đẳng cấu.
Vì vậy ta có thể dùng mối quan hệ giữa các tập hợp để mô tả mối quan hệ giữa các biến
cố. Cụ thể:
a. Nếu B
A thì biến cố B gọi là kéo theo biến cố A. Nh vậy các phần tử của
thuộc B cũng sẽ thuộc A (Hình 1.1). Nói cách khác biến cố B xảy ra cũng làm cho biến cố
A xảy ra. Hình 1.1
A

Hình 1.2
Thí dụ 4: Nếu A ={3, 6}= biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3 thì B = \{3,
6}={1, 2, 4, 5} là biến cố đợc mặt có số chấm không chia hết cho 3.
Ghi chú
: Biến cố đối lập của biến cố A thờng đợc ký hiệu là
A
.
d. Nếu C = A
B thì C gọi là biến cố tổng của hai biến cố A và B. Nh vậy C sẽ xảy ra
khi ít nhất có một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra (Hình 1.3)
ta cũng có thể ký hiệu C = A + B Hình 1.3
Thí dụ 5: Nếu A={3, 6}= Biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3
*
(*)Tất cả các thí dụ trong mục này sẽ đợc xét trong phép thử tung một hạt súc sắc khi đó

={1,2,3,4,5,6}

A B

e. Nếu C = A
B thì C gọi là biến cố tích của hai biến cố A và B. Nh vậy C sẽ xảy ra
khi A và B đều xảy ra. (Hình 1.4)
Ta cũng có thể ký hiệu C = A.B

Hình 1.4
Thí dụ 6: Nếu A ={3,6} = Biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3
B ={2,4,6} = Biến cố đợc mặt có số chấm là chẵn.
thì C = A
B ={6}= Biến cố đợc mặt 6 chấm( vừa là chẵn vừa là bội của 3)
Tơng tự biến cố tích

n
1=i
i
A của n biến cố thành phần A
i
là biến cố sẽ xảy ra khi tất cả
các biến cố A
i
đều xảy ra (i=
n,1
)
f. Nếu A
B = thì A và B gọi là hai biến cố xung khắc. Nh vậy A và B sẽ không thể
cùng xảy ra trong phép thử (Hình 1.5)


: Hai biến cố A và B ở hình 1.4 là không xung khắc (phần giao không trống).
Nhận xét 2
: Hai biến cố đối lập A và
A
sẽ thoả mãn cả hai hệ thức:






=
=
)(AA
)(AA
2
1

Nh vậy có thể nào cũng có một (hệ thức 1) và chỉ một (hệ thức 2) trong hai biến cố
này cùng xảy ra trong phép thử.
Ghi chú
: Các biến cố A
i
(i = n,1 ) gọi là xung khắc từng đôi. Nếu bất kỳ cặp biến cố nào
trong chúng cũng là hai biến cố xung khắc.
g. Các biến cố A
i
(i= n,1 ) gọi là một hệ đầy đủ n biến cố (hoặc tạo nên một phân hoạch
của
) nếu :

Thí dụ 8:
Nếu A = {1, 2} = Biến cố đợc mặt có số chấm không quá 2

A
n
A
1

A
2
. A
i
.

Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
7
B = {3} = Biến cố đợc mặt có số chấm là 3
C ={4, 5, 6} = Biến cố đợc mặt có số chấm tối thiểu là 4 thì A, B, C là một hệ
đầy đủ 3 biến cố.
Nhận xét
: Hai biến cố đối lập A và A lập thành một hệ đầy đủ 2 biến cố.
Ghi chú
: Vì giữa các tập hợp và các biến cố có sự đẳng cấu nên các tính chất của các phép
toán về tập hợp cũng đúng cho các phép toán về biến cố, chẳng hạn các phép toán hợp và
giao các biến cố có tính chất giao hoán và kết hợp.
Cụ thể ta có:




=
=
==
==


n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
AA
AA
11
113. -Đại số các biến cố
Trong thực tế có nhiều trờng hợp chúng ta muốn thực hiện vô hạn lần các phép toán
về các biến cố và kết quả vẫn phải đợc một biến cố. Vì vậy đối với một họ




A.
Vì


A nên =

A.
.
Nếu A

A, B

A thì A

B

A.
Vì A

A nên A

A; B

A nên B

A. Do đó A B


Cặp ( , A ) đợc gọi là một không gian đo. Nó dùng để mô hình hoá một phép thử ngẫu
nhiên cùng với các sự kiện mà ta muốn xét gắn với phép thử ấy.
Thí dụ 9: Nếu

={
1

,
2
, ,
n
} và ta xét - đại số A là tập hợp tất cả các tập con của

(kể cả

và ) thì đây là - đại số lớn nhất có thể xây dựng đợc từ

và gồm 2
n

phần tử.

III. Định nghĩa tiên đề về xác suất
Nh ta đã nêu ở phần mở đầu chơng, mỗi biến cố ngẫu nhiên A có một khả năng
xuất hiện khách quan. Vì thế trong lý thuyết xác suất ngời ta lợng hoá khả năng xuất
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
9
hiện khách quan của một biến cố A bằng một con số. Con số này gọi là
xác suất của A và


) =
i
i1
PA()

=

.
Tiên đề (P3) còn gọi là
tính chất

- cộng tính của độ đo xác suất P. Bộ ba ( , A, P)
đợc gọi là
một không gian xác suất.
Ghi chú 1
: Từ tính chất - cộng tính ta có thể suy ra tính chất hữu hạn cộng tính của độ
đo xác suất P, tức là P(

n
1=i
i
A
) =

=
n
i
i
)A(P


=


=
n
i
i
i
p
p
1
1
0
(i=
n,1
)
Khi đó:
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
10
a. Nếu A = {
1
i
,
2
i
, ,
m
i

1
j
,
2
j
,
s
j
}
Trong đó:
k
i

l
j
với mọi k l thì AB =
và A
B = {
1
i
,
2
i
, ,
m
i
,
1
j
,

k1
p
=

+

=
n
l
jl
p
1
= P(A) + P(B)
Nh vậy các tiên đề của Can-mô-gô-rốp đợc thoả mãn.

Ghi chú 3: Hệ tiên đề Can-mô-gô-rốp không đầy đủ, tức là với cùng một tập hợp ta có
thể xác định xác suất P trên tập hợp
A theo những cách khác nhau.
Chẳng hạn nếu ta tung hạt xúc sắc thì
={
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,

; P(
4
) = P(
5
) = P(
6
) =
12
1
.
Nh vậy tính không đầy đủ của hệ tiên đề Can-mô-gô-rốp không phải là một nhợc
điểm, mà trái lại nó là một u điểm vì nó cho phép ta tuỳ theo điều kiện cụ thể của vấn đề
đang xét mà xác định xác suất thích hợp cho các biến cố thuộc
- đại số A.
2. Một số tính chất của xác suất suy ra từ định nghĩa tiên đề

Tính chất 1
: P() = 0.
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
11
Chứng minh:
Xét dãy biến cố {A
i
} (i = 1, 2, ) sao cho A
i
= với mọi i. Khi đó A
i
A
j

P()
Rõ ràng chỉ có một số thực thoả mãn đẳng thức này đó là số 0.
Tính chất 2: P(

n
1=i
i
A)=
n
i
i1
PA()
=

với A
i
A
j
= (ij)
Chứng minh:
Xét dãy các biến cố {A
i
} (i=1, 2, , n, ) sao cho A
i
A
j
= (với i j ) và A
i
=
khi i > n. Khi đó

=
n
i
i
)A(P
1
+


+= 1ni
i
)A(P
=

=
n
i
i
)A(P
1
+ 0 =

=
n
i
i
)A(P
1
.
Tính chất 3: P(A) + P( A) = 1.

0
Mặt khác theo tính chất 3 thì P(A) = 1- P(
A)
Mà P(
A)

0 theo tiên đề (P1) nên P(A)

1.

Tính chất 5: Nếu B A thì P(B)

P(A) và P(A\B) = P(A) - P(B).
Chứng minh:
Vì B A nên A = B (A\B). Do B (A\B) = nên P(A) = P(B) + P(A\B) (*).
Do P(A\B)
0 nên P(A) P(B).
Kết quả thứ hai đợc suy ra từ hệ thức (*).

Tính chất 6: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B).
Chứng minh:
Ta có thể phân tích (xem hình 1.7)
A
B =A B AB AB

P(A
B) = P(A) - P(AB) + P(AB) + P(B) - P(AB)
= P(A) + P(B) - P(AB)
Ghi chú
: Mở rộng tính chất này ta có:
P(

n
1=i
i
A )=

=
n
i
i
)A(P
1
-

<
n
ji
ji
)AA(P +

<<
n
kji
kji

1i
i
A

=
) =


=
1
1
n
i
i
)A(P
-


=
1
1
n
i
ji
)AA(P
+ +(-1)
n-2
P(A
1
A

i
A

=
) + P(A
n
) - P(A
n

1n
1i
i
A

=
)
= P(

1n
1i
i
A
-
=
) + P(A
n
) - P(

1n
1i

= A
1

B
2
= A
1
A
2 B
n
= A
1
A
2
A
n-1
A
nthì ta có:
B
n
A
n
(n 2)
B

1
)(
n
n
BP




=
1
)(
n
n
AP
( Vì B
n

A
n
nên P(B
n
)

P(A
n
)).

Tính chất 8: Nếu P là một độ đo xác suất xác định trên - đại số A của không gian đo
(



=1n
n
A ).
c. P liên tục dới, có nghĩa là với bất kỳ một dãy đơn điệu giảm A
1

A
2

A
n


thuộc
A sao cho
n
n
A

lim
=


=1n
n
A

A thì

=1n
n
A
= thì
)(lim
n
n
AP

=0.
Ghi chú
: Tính chất d) này còn gọi là tiên đề liên tục.
Chứng minh:
a) => b)
Vì A
1
A
2
A
n
nên ta có thể viết:



=1n
n
A = A
1
+ (A
2



=1n
n
A ) tồn tại.
Vì thế chuỗi bên vế phải của đẳng thức trên phải hội tụ.
Do đó ta có:
P(


=1n
n
A
) =
()
)\( )\()(lim
1nn121
n
AAPAAPAP


+
+
+
=
)(lim
n
n
AP



)(lim
'
n
n
AP

= P(
'
lim
n
n
A

) = P(


=1n
'
n
A
)
Tức là
)\(lim
n1
n
AAP

= P[



)(lim
n
n
AP

= P(A
1
) -
)\(lim
nn
n
AAP


= P(A
1
) - P[


=1n
n1
)A\(A ]
Cũng do A
1
A
2
A
n
nên

) - [ p(A
1
) - P(


=1n
n
A )] = P(


=1n
n
A ).
Tức là P(
n
n
A

lim
) =
)(lim
n
n
AP

.
c) => d)

Mệnh đề này là hiển nhiên, do các kết quả trên ta có:
)(lim

A+


+= 1ni
i
A

Do giả thiết các biến cố là xung khắc từng đôi và vế phải coi nh chỉ gồm hai biến cố
(trờng hợp hữu hạn) nên:
P(


=1i
i
A ) = P(

n
1=i
i
A ) + P(


+= 1ni
i
A )
Nếu đặt B
n
=



A
1+i
, A
2+i
, sẽ không xảy ra vì các biến cố của dãy {A
i
} (i= ,1 )
Theo giả thiết là xung khắc từng đôi. Từ đó các biến cố B
1+i
, B
2+i
, sẽ là không thể
có, vì thế


=ni
i
B = .
Do


=1i
i
A A nên P(


=1i
i
A ) tồn tại.
Vậy ta có thể viết

1
+ 0
=


=
1i
i
AP )(
.

3. Nguyên lý xác suất nhỏ và lớn

Xác suất P(A) nhằm nêu lên khả năng xảy ra của A chứ không khẳng định về hiện
thực của biến cố đó. Tuy nhiên biết đợc khả năng xảy ra của A ta có thể nhận định đợc
tình hình xảy ra của A một cách hợp lý. Cụ thể qua thực nghiệm và quan sát thực tế ngời
ta rút ra nguyên lý xác suất nhỏ sau đây:
Một biến cố có xác suất nhỏ thì thực tế ta có thể coi nó là không thể xảy ra trong một
phép thử.
Tuy nhiên với mức xác suất nhỏ là bao nhiêu thì biến cố sẽ đợc coi là hầu nh không
thể có? Điều này sẽ do từng trờng hợp cụ thể quyết định. Về vấn đề này tác giả Guy
Lefort cũng có ý kiến nh sau: Trong thực hành phải coi sự kiện rất ít khả năng xảy ra
là một sự kiện thực tế không thể xảy ra (nếu không thì chúng ta không bao giờ dám qua
đờng vì thực tế có một xác suất, tuy rất nhỏ, nhng không phải là số 0, để chúng ta bị xe
cán). Nhng một sự kiện rất ít khả năng xảy ra không phải là không thể xảy ra và những
quyết định của chúng ta khi áp dụng quy tắc trên có thể mắc những sai lầm mà chúng ta
cần lu ý.
Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
18

Ta lập
-đại số các biến cố A là tập hợp tất cả các tập con của (kể cả và ). Đây là
- đại số lớn nhất có thể xây dựng đợc từ .
Do các
i

(i= n,1 ) là đồng khả năng nên ta xác lập độ đo xác suất P sao cho
P(
1
) = P(
2
) = = P(
n
) =
n
1

Khi đó với A = {
1
i
,
2
i
,
m
i
)

A
P(A) = P(

m
=
thửphépcủangănảkhồngđcụckếtSố
rayảxAcholợithuậncụckếtcácSố

Rõ ràng định nghĩa này có nhợc điểm là không chặt chẽ về mặt lô-gích khi dựa vào
tính đồng khả năng để định nghĩa xác suất (là con số xác định khả năng xảy ra của biến
cố). Tuy nhiên đối với những hiện tợng có tính chất đối xứng và số kết cục của phép thử
là hữu hạn thì định nghĩa này vẫn phát huy đợc tác dụng.
Thí dụ 1: Tính xác suất để trong k ngời không quen biết nhau (2k 365) sẽ có ít nhất 2
ngời có ngày sinh nhật trùng nhau biết rằng họ đều không sinh vào những năm nhuận.
Bài giải
Với giả thiết là bất kỳ một ngày nào đó trong 365 ngày của năm đều có thể là ngày
sinh của mỗi ngời thì số kết cục đồng khả năng của phép thử (số ngày sinh nhật có thể
của k ngời) sẽ là
n = 365 x 365 x x365=365
k

Gọi A là biến cố tất cả các ngày sinh của k ngời là khác nhau thì số kết cục thuận lợi
cho A là
m = 365(365-1) [365 - (k-1)]
= A
k
365
=
)!-365(
)!365(
k

Vậy P(A) =

1=<

))A(P)A(f(P
lim
K

Điều này có nghĩa là khi K tăng vô hạn thì hầu nh chắc chắn f(A) sẽ nhận giá trị rất gần
với P(A). Vì thế nếu K khá lớn thì ta có thể coi
f(A)
P(A)
Nh vậy cách xác định xác suất theo quan điểm thống kê này mang tính chất thực
nghiệm. Mặt khác muốn xác định P(A) một cách tơng đối chính xác ta phải lặp lại một
số lớn lần phép thử. Điều này đòi hỏi nhiều công sức và đôi khi không thực hiện đợc,
chẳng hạn nh khi phép thử đòi phải phá huỷ các đơn vị đợc điều tra (thí dụ nh khi ta
muốn xác định tỷ lệ p các hộp hỏng của một kho đồ hộp).
Sau đây là một thí dụ về cách xác định xác suất thông qua tần suất.
Để xác định xác suất sinh con gái, ta có thể căn cứ vào số liệu thống kê của Thụy Điển
vào năm 1935 mà nhà toán học H. Cramer đã cung cấp nh sau:
Tháng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Cả năm
Tổng số
sinh
7280 6957 7883 7884 7892 7609 7585 7393 7203 6903 6552 7132 88.273
Số con trai

3743 3550 4017 4173 4117 3944 3964 3797 3712 3512 3392 3761 45.682
Số con gái 3537 3407 3866 3711 3775 3665 3621 3596 3491 3391 3160 3371 42.591
Tần suất
sinh con gái
0,486 0,489 0,490 0,471 0,478 0,482 0,462 0,484 0,485 0,491 0,482 0,473
0,4825

ra đời trong các năm đều nằm trong khoảng từ 0,497 tới 0,484.
Rõ ràng các kết quả thu đợc đều phù hợp với nhau. 3. Định nghĩa hình học về xác suất
Nếu nh tập hợp các biến cố sơ cấp là một tập hợp trong không gian Ơ-clit và có
độ đo hình học hữu hạn (chiều dài, diện tích, thể tích) thì với A



ta có:
P(A) =
miềncủaođộĐ
AmiềncủaođộĐ
=
)(mes
)A(mes


Cách xác định xác suất nh vừa nêu gọi là cách xác định xác suất theo quan điểm hình
học.
Thí dụ 2: Giả sử phép thử G là lấy ngẫu nhiên một điểm trong đoạn [0, 1[.
Nh vậy

là tập hợp các điểm của [0,1[, còn - đại số các biến cố A là tập hợp các đoạn
[a, b[
[0, 1[. Khi đó A = [a, b[ là biến cố điểm đợc lấy rơi vào đoạn [a,b[.
Ta xác định độ đo xác suất P trên không gian đo ( ,
A) này nh sau:
P(A)=P([a,b[)=b-a

ab
1
)( =

=
n
i
ii
baP
1
[),([
Ghi chú
Nếu b trùng với a thì biến cố A=[a,b[ sẽ là biến cố lấy đợc điểm cách 0 một
đoạn đúng bằng a. Khi đó P(A) = a a = 0, nhng A không hẳn là biến cố không thể có.
Tuy nhiên trong thực tế điều này rất hiếm xảy ra trong một phép thử (xem nguyên lý xác
suất nhỏ).
Thí dụ sau đây cho thấy phần nào tác dụng của cách xác định xác suất theo quan điểm
hình học.
Thí dụ 3: (Bài toán Buffon)
Kẻ trên mặt phẳng các đờng thẳng song song và cách đều nhau một khoảng có độ dài
là 2a. Tung ngẫu nhiên một chiếc kim có độ dài 2l (l < a) lên mặt phẳng. Tính xác suất để
chiếc kim cắt một đờng thẳng nào đó.
Bài giải
Trớc tiên ta hiểu tính chất: ngẫu nhiên của phép thử ở đây là
a. Tâm của chiếc kim sẽ rơi một cách ngẫu nhiên vào các điểm của các đoạn thẳng có
độ dài 2a và vuông góc với các đoạn thẳng đã vẽ.
b. Xác suất để góc tạo bởi chiếc kim và các đờng thẳng đã vẽ nằm trong khoảng
(
1
,

dl




= -



a
cosl
0
=
.a
l2

Ghi chú: Nếu ký hiệu P(A) là p thì từ kết quả này ta suy ra:

=
p.a
l2

Với l và a xác định khi tung n lần (với điều kiện n khá lớn) mà có m lần kim cắt đờng
thẳng thì theo định nghĩa thống kê về xác suất ta có thể lấy p

n
m
và do đó:

/A). Độ đo
xác suất này đợc xác định trên không gian đo (
A ; A A) trong đó:

A A = {B A; B A }
Nói cách khác, từ không gian xác suất (
, A, P) ta đã chuyển sang không gian xác suất
(
A ; A A; P(

/A)) trong đó P(

/A) đợc định nghĩa nh là tỷ số của hai xác suất
không điều kiện.
Thí dụ 1: Xét phép thử Tung hạt xúc sắc đều đặn và đồng chất và gọi A là biến cố
Đợc mặt có số chấm lớn hơn 3. Khi đó ta có:
= {
31
,,
2654
,, }
A = {
654
,,
}
Trong đó
i

là biến cố Đợc mặt i chấm (i=

654
,, }=
6
3

P(A
B) = P{
4

,
6

} =
6
2

Từ đó ta có thể nghiệm lại rằng:
P(B/A) =
)A(P
)BA(P


Nhận xét:
Độ đo xác suất mới P(

/A) cũng thoả mãn các tiên đề của Can-mô-gô-rốp, cụ
thể :
(P1) P(B/A) =
)A(p
)BA(p

1
Ap
ABP
i
i


=

=
)(
)(
1
Ap
ABP
i
i


=
=


=
1
)(
)(
i
i
AP


p(A), do đó
P(B/A) =
)A(P
)BA(P


1.