Chương 1
Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
Bài 1. Phép thử: 12 hành khách lên 3 toa. Sô TH
có thể: 3
12
a) A = {I: 4, II: 5}. Số TH thuận lợi cho A: C
4
12
C
5
8
.
P (A) =
C
4
12
C
5
8
3
12
= 0, 05216
b) B = {mỗi toa có 4 người lên}. Số TH thuận lợi
cho B: C
4
12
C
4
8
. P (B) =
C

5
7
*TH2: 1T. Số TH: 6 · C
4
7
Số TH thuận lợi cho
A: C
5
7
+ 6 · C
4
7
. P

A

=
C
5
7
+ 6 ·C
4
7
C
5
13
=
7
39
= 0, 1795. P (A) = 1 − P

: x, y ≥ 0, x + y ≤ l}
Gọi A = {(x, y) ∈ R
2
: x, y, l −x −y lập thành tam
giác}. Ta có
x < y + l −x −y; y < x + l −x −y; l −x −y < x + y
hay
A = {(x, y) ∈ R
2
: x <
l
2
, y <
l
2
, x + y >
l
2
}
x
y
O
l
2
l
l
2
l
A
Dễ t hấy P (A) =

4
. P (AB) =
0, 6 ·0 , 7 ·0, 8 · 0, 1 = 0, 0336
A = A
1
A
2
A
3
A
4
+ A
1
A
2
A
3
A
4
+ A
1
A
2
A
3
A
4
+
A
1

A
3
.
P (A) = 0, 4 · 0, 7 · 0, 2 = 0, 056
b) B = {có đúng 1 người bắn trúng} = A
1
A
2
A
3
+
A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
P (B) = 0, 6·0, 3·0, 2+0, 4·0, 7·0, 2+0, 4·0, 3·0, 8 =
0, 188
c) C = {cả 3 đều bắn trúng} = A
1
A
2
A

P (A
i
) =
1 ·3!
4!
=
1
4
P (A
i
A
j
) =
1 ·1 · 2!
4!
=
1
12
, i < j
P (A
i
A
j
A
k
) =
1 ·1 ·1 ·1
4!
=
1

1
A
3
) − P (A
1
A
4
) − P (A
2
A
3
) −
P (A
2
A
4
) −P (A
3
A
4
) +P (A
1
A
2
A
3
) +P (A
1
A
2

+ 4 ·
1
24
−
1
24
=
5
8
= 0, 625
1
cách 2: D = A
1
+ A
2
+ A
3
Bài 8. (sửa “có ≥ 1 người lấy đúng mũ”: tương tự
bài 7, đáp án:
177
280
= 0, 6321)
Bài 9. tương tự bài 2, đáp án: 1 −
C
4
23
+ 5C
3
23
C

1
A
2
A
3
+
A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
P (A) = 0, 7 ·0, 8 ·0, 1 + 0, 7 · 0, 2 ·0, 9 + 0, 3 · 0, 8 ·
0, 9 + 0, 7 ·0, 8 ·0, 9 = 0, 902
Bài 12. *H
1
= {lần 1: Đ}, H
2
= {lần 1: T}
P (H
1
) =
4
9

) =
4
9
·
15
56
+
5
9
·
2
7
=
5
18
= 0, 2778
Bài 13. * A
1
= {bi 1 và 2: Đ}, A
2
= {bi 1 và 2: T},
A = {bi 1 và 2 cùng màu} = A
1
+ A
2
P (A) = P (A
1
) + P (A
2
) =

=
7/33
5/11
=
7
15
=
0, 4667
Bài 14. a) * H
1
= {hộp I sang hộp II: 2Đ}
H
2
= {hộp I sang hộp II: 1Đ, 1T}
H
3
= {hộp I sang hộp II: 2T}
P (H
1
) =
C
2
6
C
2
10
=
1
3
, P (H

2
3
C
2
12
=
13
22
, P (A|H
2
) =
C
2
8
+ C
2
4
C
2
12
=
17
33
, P (A|H
3
) =
C
2
7
+ C

·
17
33
+
2
15
·
31
66
=
529
990
= 0, 5343
b) B = {2 bi lấy ở hộp II: 2Đ}. Tương tự a)
P (B|H
1
) =
6
11
, P (B) =
223
495
Cần tính P (H
1
|B) =
P (H
1
) P (B|H
1
)

1
= {sp thuộc nm I}, H
2
= {sp thuộc
nm II}, H
3
= {sp thuộc nm III}
P (H
1
) = 0, 4, P (H
2
) = 0, 3, P (H
3
) = 0, 3
* A = {sp là phế phẩm}
P (A|H
1
) = 0, 1, P (A|H
2
) = 0, 2, P (A|H
3
) =
0, 15
P (A) = P (H
1
) P (A|H
1
) + P (H
2
) P (A|H

(1 −p)
4
+ C
1
4
p (1 −p)
3
+
C
2
4
p
2
(1 − p)
2
= 1 − 4p
3
+ 3p
4
Tương tự P (A
2
) = C
0
2
(1 −p)
2
+ C
1
2
p (1 −p) =

2
p
2
= p
2
+ (1 −p)
2
Dễ t hấy P (B) ≤ P (C) (đpcm)
* Trong các gia đình 3 con: tương tự P (B) =
C
1
3
p (1 −p)
2
+ C
2
3
p
2
(1 −p) = 3p (1 −p), P (C) =
C
0
3
(1 −p)
3
+ C
3
3
p
3

9
A
10
+ A
1
A
2
A
3
A
4
. . . A
9
A
10
P

A

=
1
2
9
, P (A) = 1 −
1
2
9
= 0, 998
Bài 19. Phép thử: n con thỏ vào n lồng. Số TH có
thể: n!

n−1
n!
Bài 20. Phép thử: chọn 5 người. Số TH có thể: C
5
26
a) A = {≥ 1 bác sĩ}
A = {không có bác sĩ}. Số TH thuận lợi cho A:
C
18
5
P

A

=
C
5
18
C
5
26
, P (A) = 1 −P

A

= 0, 8697
b) B = {1 bác sĩ, 1 hộ lí, 3 y tá}. Số TH thuận lợi
cho B: 8 · 6 ·C
3
12

3
) =
4
16
* A = {sp là chính phẩm}
P (A|H
1
) = 0, 95, P (A|H
2
) = 0, 9 1, P (A|H
3
) =
0, 85
P (A) = P (H
1
) P (A|H
1
) + P (H
2
) P (A|H
2
) +
P (H
3
) P (A|H
3
) =
7
16
·0, 95+

i
n
p
i
(1 −p)
n−i
= C
i
12
0, 5
12
B = {7 lần lấy được 7 bi đỏ} (trong 12 bi, có hoàn
lại)
P (B|H
i
) =

i
12

7
P (B) =
12

i=0
P (H
i
) P (B|H
i
) =

0, 0272636
=
0, 00895481
Bài 23. P (A + B + C) = P (A) + P (B) +
P (C) −P (AB) −P (AC) −P (BC) + P (ABC) =
P (A)+P (B)+P (C)−P (A) P (B)−P (A) P (C)−
P (B) P (C)+P (A) P (B) P (C) = 0, 4+0, 5+0, 6−
0, 4 ·0, 4 −0, 4 ·0, 6 −0, 5 ·0, 6 + 0, 4 ·0, 5 ·0, 6 = 0, 88
Chú ý. Có thể dùng CT P (A + B + C) = 1 −
P

A + B + C

= 1 − P

A B C

Bài 24. * H
1
= {xe lấy được là xe ca}, H
2
= {xe
lấy được là xe con}
P (H
1
) =
4
7
, P (H
2

) P (A|H
1
)
P (A)
=
4/7 ·0, 8
0, 7786
= 0, 5871
Bài 25. A = {một người ủng hộ dự luật}, p =
P (A) = 0.75
B = {đa số trong 11 người ủng hộ dự luật} = {A
xảy ra ≥ 6 lần}
P (B) =
n

k=6
C
k
n
p
k
(1 −p)
n−k
=
11

k=6
C
k
11

* Phép thử: lấy 1 bi trong hộp chọn được, n = 4
lần thử, A = {lấy được bi đen}
P (A|H
1
) =
3
6
= 0, 5, P (A|H
2
) =
2
4
=
0, 5, P (A|H
3
) =
2
5
= 0, 4
* B = {≥ 2Đ}
P (B|H
1
) = C
2
4
·0, 5
2
·0, 5
2
+ C

4
= 0, 6875
P (B|H
3
) = C
2
4
·0, 4
2
·0, 6
2
+ C
3
4
·0, 4
3
·0, 6 + C
4
4
·
0, 4
4
= 0, 5248
* P (B) = P (H
1
) P (B|H
1
) + P (H
2
) P (B|H

πR
2
=
3
√
3
4π
= 0, 4134
* B = {≥ 1 điểm nằm trong ∆ABC} = {A xảy
ra ≥ 1 lần}
B = {A không xảy ra}. P

B

= (1 −p)
5
=
0, 0694
P (B) = 1 −P

B

= 0, 9306
Bài 28. Đặt A
i
= {quả cầu lấy từ hộp i là đỏ},
i = 1, 2, . . .
P (A
1
) =

) = P (A
1
) P (A
2
|A
1
) + P

A
1

P

A
2
|
A
1

=
m
m + k
·
m + 1
m + k + 1
+
k
m + k
·
m

P (X = i) = C
i
n
p
i
(1 −p)
n−i
, i =
0, n
X
0 1 2 3
P
1
8
3
8
3
8
1
8
b) F (x) = P (X < x) =

i:x
i
<x
p
i
=



, 2 < x ≤ 3
1, x > 3
c) EX =

i
x
i
p
i
=
3
2
, DX =

i
x
2
i
p
i
−(EX)
2
=
3
4
Bài 2. a) A
i
= {người I ném t rúng lần i},
B
i

2
|A
1
B
1
A
2

= p
2
; . . .
P

A
i
|
A
1
B
1
. . . A
i−1
B
i−1

= p
1
P

B

B
1
. . . A
i−1
B
i−1
A
i
B
i
⇒ P (X = i) =
P

A
1

P

B
1
|
A
1

. . . P

A
i
|
A

. . . A
i−1
B
i−1
A
i

=
(1 −p
1
)
i−1
(1 − p
2
)
i−1
p
1
+ (1 −p
1
)
i
(1 −p
2
)
i−1
p
2
=
(1 −p

i
x
i
p
i
=
∞

i=1
i ·p
i−1
(1 −p) =
1
1 −p
DX =

i
x
2
i
p
i
− (EX)
2
=

∞

i=1
i

Bài 4. P (X = i) =
C
i
8
C
5−i
5
C
5
13
, i =
0, 5
X
0 1 2 3 4 5
P
1
1287
40
1287
280
1287
560
1287
350
1287
56
1287
Bài 5. a) A
i
= {bộ phận thứ i hỏng}, i = 1, 2, 3

0, 3 ·0 , 25 = 0, 14
{X = 3} = A
1
A
2
A
3
⇒ P (X = 3) = 0, 2 · 0, 3 ·
0, 25 = 0, 015
⇒ P (X = 1) = 1 − 0, 42 − 0, 14 − 0, 015 = 0, 425
X
0 1 2 3
P 0,42 0,425 0,14 0,015
b) Tương tự bài 1
F (x) =
















i
i!
= 0, 559507
B = {có 3 ngày mà số tai nạn > 4} = {A xảy ra
3 lần}
P (B) = C
3
4
p
3
(1 −p) = 0, 308614
Bài 7. a) NX: F (x) liên tục tại ∀x = a, −a
* ĐK liên tục tại a: lim
x→a
+
F (x) = lim
x→a
−
F (x) =
F (a) ⇒ 1 = A + B
π
2
* Tương tự tại −a: 0 = A−B
π
2
⇒ A =
1
2
, B =
1

1
π
·
π
6
−

1
2
+
1
π
·
−π
6

=
1
3
c) f (x) =





1
π
√
a
2

−∞
p (x) dx = 1 ⇒ 2c = 1 ⇒ c =
1
2
b) Dãy thử Bernoulli: quan sát giá trị của X; số
lần thử n = 5
A = {0 ≤ X ≤
π
4
}; p = P (A) =

π
4
0
p (x) dx =
1
2
√
2
Số lần X ∈

0,
π
4

có khả năng nhất = số lần A
xảy ra với khả năng cao nhất = k
0
np + p − 1 = 5 ·
1

4
= 0 , 467401; σ ( X) =
0, 683667
Bài 9. X = chiều cao của 1 người; X ∼ N (160, 36)
Dãy thử Bernoulli: đo chiều cao của từng người;
số lần thử n = 4
A = {chiều cao trong khoảng (168, 162)} =
{158 < X < 162 }
p = P (A) = P (158 < X < 162) =
Φ

162 −160
6

− Φ

158 −160
6

= Φ

1
3

−
Φ

−
1
3

6
≈ 1
b) Dãy thử Bernoulli: quan sát X; số lần thử n =
100
A = {X > 3}; p = P (A) = P (X > 3) = 1 −
P (X ≤ 3) = 1 −
3

i=0
e
−λ
λ
i
i!
= 0, 352768
Y = số lần thấy X > 3 = số lần A xảy ra ⇒ Y ∼
B (n, p)
Cần tính EY = np = 35, 2768
Bài 11. X = số sv giỏi, ImX = {0, 1 , 2, 3}
P (X = i) =
C
i
3
C
6−i
17
C
6
20
, i =

3
2
πR
2
=
3
√
3
2π
=
0, 826993
B = {≥ 2 lần lấy được điểm trong lục giác} = {A
xảy ra ≥ 2 lần}
P (B) =
6

i=2
C
i
6
p
i
(1 −p)
6−i
= 0, 999204
b) X = số lần lấy được điểm trong lục giác = {số
lần A xảy ra} ⇒ X ∼ B (n, p)
Cần tính EX = np = 4, 96196
Bài 13. a)


1 −Φ

73 −75
2

= 1 − Φ (−1) = Φ (1) = 0, 841345
Y = số tấm có khối lượng > 73 kg = số lần A xảy
ra ⇒ Y ∼ B (n, p)
Cần tính EY = np = 252, 4034
Bài 15. X = số viên đạn chưa dùng đến; ImX =
{0, 1, 2, 3, 4}
A
i
= {viên thứ i trúng}; P (A
i
) = 0, 6
{X = 4} = A
1
A
2
⇒ P (X = 4) = P (A
1
A
2
) =
P (A
1
) P (A
2
) = 0, 6 ·0, 6 = 0, 36

A
5
P

A
1
A
2

= 1 − P (A
1
A
2
) = 1 − 0, 6
2
= 0, 64
P (X = 1) = P

A
1
A
2

P

A
3

P (A
4

P (X = i) = P (H
1
) P (X = i|H
1
) +
P (H
2
) P (X = i|H
2
) =
5
6
·
C
i
4
C
2−i
5
C
2
9
+
1
6
·
C
i
4
C

Φ (−0, 5) = 0, 668712
B = {có ≥ 3 chuyến có thời gian > 175 phút và
< 200 phút} = {A xảy ra ≥ 3 lần}
P (B) =
12

i=3
C
i
12
p
i
(1 −p)
12−i
= 0, 999486
Bài 18. EX =

∞
−∞
xf
1
(x) dx =
1
2 ln 3
, EY =

∞
−∞
yf
2

nạn của một khách hàng; số lần thử n = 400
A = {khách hàng bị tai nạn}, p = P (A) = 0, 1
X = số khách hàng bị tai nạn = số lần A xảy ra;
X ∼ B (n, p)
B = {hãng bị lỗ} = {400 ·100.000 < X ·800.000}
= {X > 50}
P (B) = P (X > 50) =
400

i=51
C
i
400
p
i
(1 −p)
400−i
=
0, 0436444
Bài 21. a) X = tổng số quả cầu lấy ra; ImX =
{M, M + 1, . . .}
A
i
= {quả thứ i đỏ}; P (A
i
) = p
Dễ thấy {X = i} = BA
i
với B = {có M − 1 quả
đỏ trong i − 1 quả}

i−M
b) EX =

i
x
i
p
i
=
∞

i=M
i ·C
M−1
i−1
p
M
(1 −p)
i−M
=
M
p
Bài 22. X = số nhỏ nhất trên n tấm thẻ; ImX =
{1, 2, . . . N − n + 1}
Dãy thử Bernoulli: lấy n thẻ trong N thẻ; số TH
có thể: C
n
N
{X = i} {số nhỏ nhất là i} = {chọn được số i và
n −1 số > i}

Γ (N + 2)
C
n
N
Γ (N − n + 1) Γ (n + 2)
=
(N + 1)!
N!
n!(N−N)!
(N − n)! (n + 1)!
=
N
n + 1
1
Bài 23. Dãy thử Bernoulli: kiểm tra 1 sp; số lần thử
n = 100
A = {sp là phế phẩm}; p = P (A) = 0, 02
a) X = số phế phẩm = số lần A xảy ra ⇒ X ∼
B (n, p)
b) Trung bình có EX = np = 2 (phế phẩm)
c) B = {số phế phẩm < 3} = {X < 3} ⇒ P (B) =
P (X < 3) =
2

i=0
C
i
100
p
i

e
−x
dx, (α > 0) có t/c Γ (α + 1) =
αΓ (α) , Γ (1) = 1 ⇒ Γ (n + 1) = n!

j≥i
P (Y = i, X = j) =

j≥i
P (X = j) P (Y = i|X = j) =

j≥i
e
−λ
λ
j
j!
· C
i
j
p
i
(1 −p)
j−i
Math
= e
−pλ
(pλ)
i
Γ (i + 1)

3
√
y) =

3
√
y
−∞
f (x) dx
g (y) = G

(y) =

3
√
y
−∞
∂
∂y
f (x) dx +
f (
3
√
y)
∂
∂y
3
√
y =
1

(
3
√
y−a
)
2σ
2
Chương 3
Véctơ ngẫu nhiên
Bài 1.
1
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
Y
X
1 2 3 4

1 0,1 0,15 0,06 0,09 0,4
2
0,1 0,1 0,05 0,05 0,3
3
0,05 0,125 0,05 0,075 0,3

0,25 0,375 0,16 0,215

=
0, 1
0, 3
=
1
3
1
tìm hệ số tương quan ρ
XY
: E (XY ) = 4, 49; EX =
2, 34; EY = 1, 9; cov (X, Y ) = 0, 044; E

X
2

=
6, 63; E

Y
2

= 4, 3; DX = 1, 1544; DY = 0, 69; ρ
XY
=
0, 0493
P (X = 3|Y = 2) =
P (X = 3, Y = 2 )
P (Y = 2)
=
0, 05

0, 21; P (X + Y = 5) = 0, 125 + 0, 05 + 0, 09 =
0, 265; P (X + Y = 6) = 0, 05 + 0, 05 = 0 , 1;
P (X + Y = 7) = 0, 075
X + Y
2 3 4 5 6 7
P 0,1 0,25 0,21 0,265 0,1 0,075
e) P (X = 1, Y = 2 ) = 0, 1; P (X = 1) ·
P (Y = 2) = 0, 3 ·0, 25 = 0, 075
P (X = 1, Y = 2) = P (X = 1) · P (Y = 2) ⇒
X, Y không độc lập
Bài 2.
f (x, y) =





1
S
A
=
1
(b −a) (d −c)
, a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d
0, còn lại
11
O
x
y
a




















1, x > b, y > d
x −a
b −a
, a < x ≤ b, y > d
y − c
d −c
, x > b, c < y ≤ d
(x −a) (y − c)
(b −a) (d −c)
, a < x ≤ b, c < y ≤ d
0, còn lại

f (x, z − x) dx =

∞
−∞
f
1
(x) f
2
(z − x) dx =



6 (e
−2z
− e
−3z
) , z > 0
0, z ≤ 0
b) X, Y độc lập ⇒ P (X < 0, 5|Y < 0, 5) =
P (X < 0, 5) =

0,5
−∞
f
1
(x) dx = 0, 77687
c) X, Y độc lập ⇒ P (X < 3, Y < 2) =
P (X < 3) · P (Y < 2) =

3

−∞
f (x, y) dy = 1 ⇒
5A
4
= 1 ⇒ A =
4
5
b)
f
1
(x) =

∞
−∞
f (x, y) dy =



2
(
12x
2
+3x+2
)
15
0 < x < 1
0 ngược lại
EX =

∞




2
(
6y
2
+3y+ 4
)
15
0 < y < 1
0 ngược lại
P (Y > 0, 5) =

∞
0,5
f
2
(y) dy = 0, 65
P (X < 0, 5|Y > 0, 5) =
0, 1875
0, 65
= 0, 288462
Bài 5. a) f (x, y) =





c,

−∞
f (x, y) dx =






16 −y
2
8π
, −4 < y < 4
0, ngược lại
ϕ (x|y) =
f (x, y)
f
2
(y)
=







2
5

16 −y

Bài 6. a) Tương tự 4a), 5a):

R
2
f (x, y) dxdy =
104A
3
= 1 ⇒ A =
3
104
= 0, 0288462
b) Tương tự 5c): f
1
(x) =

∞
−∞
f (x, y) dy =





6x
2
+ 3x + 2
26
, 0 ≤ x ≤ 2
0, ngược lại
EX =

(y) =
6x
2
+ 3x + 2
26
·
3y
2
+ 6y + 16
52
=
3 (4x
2
+ 2xy + y
2
)
104
= f (x, y) ⇒
X, Y không độc lập
Bài 7. a)

R
2
f (x, y) dxdy = 1 ⇒ a > 0 và

∞
−∞
dx

∞

f (x, y) dy = 1 ⇒
A
20
= 1 ⇒ A = 20
b) F (x, y) =

u<x,v<y
f (u, v) dudv =

x
−∞
du

y
−∞
f (u, v) dv =

π + 2 arctg
x
4

π + 2 arctg
y
5

4π
2
2
có thể kiểm tra f (x, y) = f
1

2
f
1
(x) =

∞
−∞
f (x, y) dy =





2
√
R
2
− x
2
πR
2
, |x| < R
0, |x| ≥ R
F
1
(x) =

x
−∞
f

arctg
x
√
R
2
−x
2
2πR
2
, |x| < R
0, x ≤ −R
Tương tự với f
2
(y) , F
2
(y)
b) Với |x| < R thì ψ (y|x) =
f (x, y)
f
1
(x)
=





1
2
√

4

=

π
4
−∞
f
1
(x) dx =
1
2
c) ψ (y|x) =
f (x, y)
f
1
(x)
=





sin (x + y)
cos x + sin x
, 0 ≤ y ≤
π
2
0, ngược lại
d) EX =

du

0
−∞
f (u, z − u + v) dv =

0
−∞
du

0
−∞
f (x + u, z − x − u + v) dv =

0
−∞
du

0
−∞
f
1
(x + u) f
2
(z − x − u + v) dv =






1
2
b) h (x, z) =
∂
2
H
∂x∂z
=



4e
−2z
, 0 < x < z
0, ngượ c lại
c) Khi x > 0 thì
ξ ( z|x) =
h (x, z)
f
1
(x)
=





4e
−2z
2e

c) P (Y = 1|X = 0) =
P (Y = 1, X = 0)
P (X = 0)
=
0, 2
0, 4
= 0, 5. Tương tự P (Y = 2|X = 0) =
0, 1
0, 4
=
0, 25; P (Y = 3|X = 0) = 0, 25
Y |X = 0
1 2 3
P 0,5 0,25 0,25
d) Im (X + Y ) = {0, 1, 2, 3, 4}
{X + Y = 0} = {X = −1, Y = 1} ⇒
P (X + Y = 0) = 0, 1
{X + Y = 1} = {X = −1, Y = 2}+ {X = 0, Y =
1} ⇒ P (X + Y = 1) = P (X = −1, Y = 2) +
P (X = 0, Y = 1) = 0, 05 + 0, 2 = 0, 25
Tương tự P (X + Y = 2) = 0, 05 + 0, 1 +
0, 2 = 0, 35; P (X + Y = 3) = 0, 1 + 0, 1 = 0, 2;
P (X + Y = 4) = 0, 1
X + Y
0 1 2 3 4
P 0,1 0,25 0,35 0,2 0,1
d) ImZ = {0, 1}
{Z = 0} = {X
2
= 0} = {X = 0} ⇒ P (Z = 0) =

, 0 < x < 4
0, ngược lại
f
2
(y) =



y
12
, 1 < y < 5
0, ngược lại
d) P (X + Y < 3) =

x+y<3
f (x, y) dxdy =

∞
−∞
dx

3−x
−∞
f (x, y) dy =

∞
−∞
dx

0

3
− 3x + 2
576
, 1 < z ≤ 5
0, còn lại
Bài 14. a) f (x, y) =



c, (x, y) ∈ D
0, (x, y) /∈ D

R
2
f (x, y) dxdy = 1 ⇒

∞
−∞
dx

∞
−∞
f (x, y) dy = 1 ⇒
c
2
= 1 ⇒ c = 2
f
1
(x) =


12
EX =
1
3
, EY =
1
3
cov (X, Y ) = E (XY ) − EX · EY = −
1
36
DX = E

X
2

− (EX)
2
=

∞
−∞
x
2
f
1
(x) dx −
(EX)
2
=
1

2
(y) =



λ
2
e
−λ
2
y
, y > 0
0, y ≤ 0
g (z) =

∞
−∞
f (x, z −x) dx =

∞
−∞
f
1
(x) f
2
(z − x) dx
Nếu λ
1
= λ
2

2
thì
g (z) =



λ
2
ze
−λz
, z > 0
0, z ≤ 0
EZ = EX + EY =
1
λ
1
+
1
λ
2
b) P (X = i) = e
−λ
1
λ
i
1
i!
, P (Y = i) = e
−λ
2

j!
· e
−λ
2
λ
i−j
2
(i −j)!
= e
−λ
1
−λ
2
(λ
1
+ λ
2
)
i
Γ (i + 1)
=
e
−λ
1
−λ
2
(λ
1
+ λ
2


1
2
−∞
dx

∞
1
2
f (x, y) dy =
1
4
b) f
1
(x) =





3x
2
+ 1
2
, 0 < x < 1
0, ngược lại
f
2
(y) =



R
2
(x + y) f (x, y) dxdy =

∞
−∞
dx

∞
−∞
(x + y) f (x, y) dy =
5
4
c) E (XY ) =
3
8
, EX = EY =
5
8
cov (X, Y ) = E (XY ) − EX · EY = −
1
64
DX = DY =
73
960
ρ
XY
=
cov (X, Y )

10
, 0 ≤ y ≤ 2
0, ngược lại
Kiểm tra được f (x, y) = f
1
(x) f
2
(y) ⇒ X, Y độc
lập
Bài 18.
E (X −3Y ) =

R
2
(x −3y) f (x, y) dxdy =

∞
−∞
dx

∞
−∞
(x −3y) f (x, y) dy = −
33
4
Bài 19. f
1
(x) =



X, Y độc lập ⇒ f (x, y) = f
1
(x) f
2
(y)
g (z) =

∞
−∞
f (x, z −x) dx =

∞
−∞
f
1
(x) f
2
(z − x) dx =









z − 4, 4 < z ≤ 5
6 −z, 5 < z < 6
0, còn lại

8
Z = X + Y ⇒ ImZ = {1, 2, 3}
{Z = 1} = {X + Y = 1} = {X = 0, Y =
1} ⇒ P (Z = 1) = P (X = 0, Y = 1) = P (X = 0) ·
P (Y = 1) =
3
7
·
3
8
=
9
56
{Z = 2} = {X + Y = 2} = {X = 0, Y = 2} +
{X = 1, Y = 1} ⇒ P (Z = 2) = P (X = 0, Y = 2)+
P (X = 1, Y = 1) =
3
7
·
5
8
+
4
7
·
3
8
=
27
56

2
≤ R
2
0, ngược lại
U = khoảng cách từ điểm lấy đến O =
√
X
2
+ Y
2
EU = E

√
X
2
+ Y
2

=

R
2

x
2
+ y
2
f (x, y) dxdy =

∞

+ Y
2
< u
2

=

x
2
+y
2
<u
2
f (x, y) dxdy
Xét 0 ≤ u ≤ R
Đặt g (x, y) =



1
πR
2
, x
2
+ y
2
< u
2
0, ngược lại
F

(u) =











0, u < 0
u
2
R
2
, 0 ≤ u ≤ R
1, u > R
f
U
(u) = F

U
(u) =



2u
R







2z
3
3R
4
, 0 < R ≤ z
2 (−z
3
+ 6R
2
z − 4R
3
)
3R
4
, R < z < 2R
0, còn lại
Bài 25. X = khối lượng 1 s/p; X ∼ N (8, 5
2
)
Y = khối lượng hộp rỗng; Y ∼ N (200, 10
2
)
X
1

)
X
1
, . . . , X
9
là khối lượng 9 người; (X
1
, . . . , X
9
độc
lập, cùng phân bố với X)
Z = X
1
+ . . . + X
9
∼ N (9 ·58, 9 ·5
2
) =
N (5 22, 15
2
)
A = {thang máy ngừng hoạt động} = {Z >
550} ⇒ P (A) = P (Z > 550) = 1 − P (Z ≤ 550) =
1 −Φ

550 −522
15

= 1 − 0, 969026 = 0, 030974
Bài 27. a) X, Y là thời gian 2 người đến; X, Y ∼

2
(y) dy =

0
−∞
f
1
(z + x) dx +

0
−∞
f
2
(z + y) dy −

0
−∞
f
1
(z + x) dx ·

0
−∞
f
2
(z + y) dy =





A = {x/h mặt 1 chấm}; p = P (A) =
1
6
X = số lần x/h mặt 1 chấm = số lần A xảy ra
P (1900 ≤ X ≤ 2150) ≈ Φ

2150 −np
√
npq

−
Φ

1900 −np
√
npq

= Φ (3, 674235) − Φ (−2, 4 4949) =
0, 999881 −0, 007153 = 0, 992728
Bài 2. Phép thử: trả lời 1 câu hỏi; số lần thử n = 100
A = {trả lời đúng}; p = P (A) =
1
5
X = số câu trả lời đúng = số lần A xảy ra
P (20 ≤ X ≤ 30) ≈ Φ

30 −np
√
npq


= 1 − (1 − p)
n
≈ 1
b) C = {60 đến 100 s/p có khối lượng > 11 g} =
{60 ≤ Y ≤ 100}
P (C) = P (60 ≤ Y ≤ 10 0) ≈ Φ

100 −np
√
npq

−
Φ

60 −np
√
npq

= Φ (13, 21277) − Φ (5, 471173) =
2, 23533 ·10
−8
Bài 4. f (x) =



λe
−λx
, x > 0
0, x ≤ 0
EX =

P (210 ≤ Y ≤ 240) ≈ Φ

240 −np
√
npq

−
Φ

210 −np
√
npq

= Φ (1, 432439) − Φ (−0, 85325) =
0, 923991 −0, 196761 = 0, 72723
Bài 5. Phép thử: kiểm tra 1 máy; số lần thử n = 185
A = {máy hỏng}, p = P (A) = 0, 05
a) B = {6 máy hỏng} = {A xảy r a 6 lần}
P (B) = C
6
n
p
6
(1 −p)
n−6
= 0, 0825042
b) Y = số máy hỏng = {số lần A xảy ra}
18
P (5 ≤ Y ≤ 20) ≈ Φ


đúng 0,043 6444)
Chương 5
Mẫu và phân bố mẫu
Bài 1. a)
0,0666667
0,133333
0.266667
0,06666670,0666667
0,333333
0,0666667
x
y
O
2 3 4 6 8 9
b)
x = 5, s
2
= 8 , 133333, s = 2, 8519, s

2
=
8, 714286, s

= 2, 951997
Bài 2. a)
x
y
3 4 5 6 7 8 9 10
0,0666667
0,1

thống kê
Bài 1. X = thời gian gia công; X ∼ N (a, σ
2
); σ =
2, n = 30
a) KTC của EX với độ t/c γ = 0, 98:

x −z
0
σ
√
n
,
x + z
0
σ
√
n

x = 14, 06667; Φ (z
0
) =
1 + γ
2
= 0, 99 ⇒ z
0
=
2, 326348
KTC: (13, 2172; 14, 91 613)
b) H : EX = 15, K : EX < 15, α = 0, 02

x −t
0
s

√
n
,
x + t
0
s

√
n

s

= 2, 915476, t
0
= t
n−1
1−γ
= t
8
0,03
= 2, 633814
KTC: (2, 440393; 7, 55 9607)
c) H : EX = 3, K : EX > 3, α = 0, 05
t
qs
=

s

√
n
x = 16, 09; s

2
= 0, 119166 ⇒ s

= 0, 345205
t
qs
= −13 , 1806; t
0
= t
n−1
2α
= t
24
0,02
= 2, 492159
t
qs
< −t
0
⇒ bác bỏ H: định mức thời gian chạy
là 17 giờ là nhiều quá
Bài 4. X = lượng điện sử dụng; X ∼ N (a, σ
2
);

2
= 84, 55556; χ
2

1 −γ
2
, n −1

=
χ
2
(0, 015; 29) = 47, 91471; χ
2

1 + γ
2
, n −1

=
χ
2
(0, 985; 29) = 15, 00192
KTC: (52, 94129; 169 , 0895)
c) H : EX = 167, K : EX > 167, α = 0, 02
t
qs
=
x −a
0
s

ƯLKC của DX: s

2
= 0, 001812
b) ƯLK của EX với độ t/c γ = 0, 9 9:

x −t
0
s

√
n
,
x + t
0
s

√
n

s

= 0, 042566; t
0
= t
n−1
1−γ
= t
30
0,01

x = 4
s

2
= 0, 25
ƯLKC của σ: s

= 0, 5
b) KTC của EX với độ t/ c γ = 0, 96:

x −t
0
s

√
n
,
x + t
0
s

√
n

t
0
= t
n−1
1−γ
= t

qs
=
x −y

(n
1
− 1) s

X
2
+ (n
2
− 1) s

Y
2
×

n
1
n
2
(n
1
+ n
2
− 2)
n
1
+ n

√
n
,
x + t
0
s

√
n

x = 3590, 862
s

2
= 110, 8374 ⇒ s

= 10, 52794
t
0
= t
n−1
1−γ
= t
28
0,01
= 2, 763262
KTC: (3585, 46; 3596 , 264)
b) H : EX = 3600, K : EX < 3600, α = 0, 01
t
qs

− p
0

p
0
(1 −p
0
)
√
n = −1, 75
Φ (z
0
) = 1 − α = 0, 95 ⇒ z
0
= 1, 644854
z
qs
< −z
0
⇒ bác bỏ H: s/v năm nay giỏi hơn năm
ngoái
Bài 10. X = khối lượng bao xi măng; X ∼
N (5 0; 0, 01), σ =
√
0, 01 = 0, 1
H : EX = 50, K : EX < 50, α = 0, 05
z
qs
=
x −a

= 3, 015374
Φ (z
0
) = 1 − α = 0, 92 ⇒ z
0
= 1, 405072
z
qs
> z
0
⇒ bác bỏ H
Bài 12. a) KTC của EX với độ t/c γ = 0, 95:

x −t
0
s

X
√
n
,
x + t
0
s

X
√
n

x = 71, 125


(n
1
− 1) s

X
2
+ (n
2
− 1) s

Y
2
×

n
1
n
2
(n
1
+ n
2
− 2)
n
1
+ n
2
= 3, 072885
t

16 −10
dx =
1
6
Tương tự p
20
= . . . = p
60
=
1
6
E
i
= np
i0
χ
2
qs
=
6

i=1
(n
i
− E
i
)
2
E
i

30 20
p
10
= P (X < 12|H) = Φ

12 −16
3

= 0, 091211
p
20
= P (12 ≤ X < 14) = Φ

14 −16
3

−
Φ

12 −16
3

= 0, 161281
Tương tự p
30
= P (14 ≤ X < 16) = 0, 2475 07,
p
40
= 0, 247507, p
50

χ
2
(α, h −1) = χ
2
(0, 1; 5) = 9, 236357
χ
2
qs
< χ
2
(α, h −1) ⇒ chấp nhận H. Vậy X ∼
N (1 6; 3
2
)
Bài 16.
H : X ∼ N (a, σ
2
) , K : X ∼ N (a, σ
2
) , α = 0, 05
X
10,5 11,5 12,5 13,5
n
i
12 43 30 15
X ∼ N (a, σ
2
), thay a bởi
x = 11, 98, σ
2


= 0, 373936
Tương tự p
30
= P ( 14 ≤ X < 16) = 0, 365513
p
40
= 1 −
3

i=1
p
i0
= 0, 125509
E
i
= np
i0
χ
2
qs
=
4

i=1
(n
i
− E
i
)

(1 −r
2
)
s
2
Y
= 8, 0625 ⇒ s
2
Y/X
= 2, 099359
c)
x
y
2 3 4 5 6 7 8
0
2
4
6
8
10
d) Khi X = 3, 5 ta dự báo Y = aX +b = 1, 73076 9
Bài 2. a) r = 0, 907461
b) y = ax + b với a = 97, 5982; b = −480, 135
s
2
Y
= 6400 ⇒ sai số s
2
Y/X
= s