Chng3.Cỏcthamsctrngc abinngunhiờn

Chơng 3. Các tham số đặc trng của
biến ngẫu nhiên
A. Các tham số đặc trng của
biến ngẫu nhiên một chiều
i. Kỳ vọng toán
1.
Định nghĩa
Nếu X là biến ngẫu nhiên với hàm phân phối xác suất là F(x) thì kỳ vọng toán của nó
đợc ký hiệu và đợc định nghĩa nh sau:
E(X)= (1)

)x(xdF
Với giả thiết là

)x(dFx
tồn tại.
Ghi chú: Tích phân nêu trên gọi là tích phân Stieljes của x lấy đối với F(x).
a. Nếu F(x) là hàm bậc thang thì tích phân này trở thành


=
Ii
ii
)x(px)X(E
(2)
Trong đó I là một tập hợp hữu hạn hoặc đếm đợc các chỉ số.
Nh vậy (2) là công thức định nghĩa cho kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc X.
b. Nếu F(x) có hàm mật độ xác suất là f(x) thì tích phân này trở thành



1=
4
4
=
4
1
2+
4
2
1+
4
1
0= )()()()X(E

Thí dụ 2: Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục phân phối đều trong (a; b) tức là hàm mật độ
xác suất có dạng:








1
=
0
=
)b;a(x

a
b
a
ba
dx
ab
xdx)x(xf)X(E

Ta thấy vì X phân phối đều trong (a; b) nên E(X) chính là điểm giữa của khoảng này.
a) Biến cố mà ta phải tính xác suất có thể phân tích thành biến cố tơng đơng nh
sau:






+
<<
+
=






<
+
=


+
<<
+
=







<
4
3
4
3
4
ab
X
ba
P
ab
)X(EXP


+
+
+
+

2
1
=2==
(n=1, 2, 3, )
Hãy chứng tỏ rằng E(X) không tồn tại
Bài giải
Trớc hết ta có thể nghiệm lại rằng hàm p(x) nêu trên là một hàm khối lợng xác suất thật
vậy ta thấy:
a.
()
0>
2
1
=2==
n
n
XP)x(p
với mọi n = 1, 2, 3,
b.
)x(p
n
n
n
+
2
1
+
2
1
+

2=
ii
n
n
i
ii
)x(px
không hội tụ.
Vì vậy E(X) không tồn tại.
Thí dụ 4: Cho hàm số

2
+1
=
x
A
)x(f

(
)
+

<
<


x

113
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD

x
)x(f

(
)
+

<
<


x

Một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất nh vừa nêu đợc gọi là tuân theo
quy luật phân phối Cauchy.
b. Vì
()
dx
x
xdx)x(fx

+

+

2
+1
1
=


B
B
x
xd
lim
x
xd
x
xdx()
[]
2
1lnlim
1
B
B
+=
+


Vì giới hạn nêu trên không có giá trị hữu hạn nên tích phân đang xét không hội tụ, do đó
E(X) không tồn tại.

2.
Một số tính chất của kỳ vọng toán
Tính chất 1:
Nếu X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm khối lợng xác suất là p(x) và
là một hàm của X thì

.
Ta ký hiệu là giá trị có thể có của Y (j =
j
y
m,1
với m k nếu m = k thì

là một ánh
xạ 1-1).
Ta gọi là tập hợp các chỉ số i sao cho
l
I
(
)
ji
yx
l
=


Khi đó quy luật phân phối xác suất của Y đợc xác định nh sau:
(
)
(
)
(
)




yxpypy)Y(E
l
l() ()()

1=1=






=






=
m
j
m
jIl
ii
Il
ji
l

k
i
ii
m
jIl
ii
)x(p)x(xxp)Y(E
l
ll
Đó là kết quả phải chứng minh.
115
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
Chng3.Cỏcthamsctrngc abinngunhiờn
Thí dụ 1: Tung hai đồng xu đối xứng và đồng chất mỗi mặt sấp suất hiện đợc tính 5
điểm. Hãy xác định số điểm trung bình hy vọng thu đợc trong một lần tung.
Bài giải
Ta gọi X là số mặt sấp suất hiện
Y là số điểm thu đợc
Để xác định E(Y) ta có thể thực hiên theo hai cách.
a. Cách thứ nhất.
Từ quy luật phân phối xác suất của X mà ta đã thành lập đợc, cụ thể:

X 0 1 2
P(x)
4
1

4
2


.
b. Cách thứ hai.
Vì Y=5X nên ta áp dụng công thức vừa chứng minh, ta có:
()()()
5=
4
1
2ì5+
4
2
1ì5+
4
1
0ì5=)Y(E

Thí dụ 2: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục tuân theo quy luật phân phối đều trong
[0;1]. Hãy tính E(Y) với
3
= XY
Bài giải
a. Cách thứ nhất
116
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
Chng3.Cỏcthamsctrngc abinngunhiờn
Trớc hết ta xác định quy luật phân phối xác suất của Y bằng cách căn cứ vào quy luật
phân phối xác suất của X.
Ta có

() ( )
()

>
<


Suy ra
với





1
0
=
x)x(F
1
10
0
>
<

x
x
x

Từ đó





3
1
0
=
3
2

y)y(f
Y
khi
1>
1<0
0

y
y
y

Vì thế


1
0
3
1
3
2

1
0

=1==
x
dx xdx)x(fx)Y(E

Tính chất 2:
()
b)X(aEbaXE
+
=+

Chứng minh
Ta coi
b
aX)X( += và do đó:
a. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với quy luật phân phối xác suất là
()
Ii
)x(p
x
i
i








thì

()
)x(f
+
<< x thì:

()

+

+

+

+=+=+ dx)x(bfdx)x(axfdx)x(fbax)baX(E


+

+

+=+= b)X(aEdx)x(fbdx)x(xfa
Hệ quả 1: Cho a = 0 ta đợc E(b) = b
Hệ quả2: Cho b= 0 ta đợc E(aX) = aE(X)

Thí dụ: Với Y là số điểm thu đợc nh đã nêu ở thí dụ 1 mục này ta có Y= 5X vì vậy
E(Y)= E(5X)= 5E(X)
Nh đã tính E(X)= 1 nên E(Y)= 5.1= 5
Tính chất 3: Nếu
(
)

ii
)X(C)X(
118
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
Chng3.Cỏcthamsctrngc abinngunhiờn
ta có

[]
)x(p)X(C)X(CE)X(E
x
n
i
ii
n
i
ii







=









><
<<
=
100
10)1(2
)(
xvàxvới
xvớix
xf
Hãy tính:
a.
)X(E
r
b.
(
)
2
21EX

+



Bài giải
a.


1+
2=
2+1+

b.
()
[
]
[]
1+4+4=1+2
2
2
XXEXE[
]
)(E]X[EXE
1
+
4
+
4=
21
+
4

]aX[E)a( =


b. Nếu a là gốc 0 thì ta có mô_men gốc bậc k là

)X(E
k
k
=
Nh vậy kỳ vọng toán E(X) chính là mô_men gốc bậc 1, tức là
1

=)X(E

c. Nếu a là E(X) thì ta có mô_men trung tâm bậc k là

k
k
)]X(EX[E =
Từ định nghĩa này ta thấy
1
=
1
==
0
0
)(E)]X(EX[E

)]X(E[E)X(E)]X(EX[E


2
== )X(E)X(E
Tơng tự ta suy ra:
3
12133

2+3

=

4
12
2
13144

3



6
+4=

Ghi chú: Các biểu thức
(
)
k
aXE
,
)X(E
k

+

+<== )x(dFx)X(E
k
k
k

Mặt khác ta có thể phân tích

+

== )x(dFx)X(E
'k
'k
'k
1>1
+=
x
'k
x
'k
)x(dFx)x(dFx
Tích phân thứ nhất bên vế phải là hữu hạn vì cận tích phân là hữu hạn và

1
'


=

1
. Nhng theo kết quả đã biết ta
thấy luôn bằng 0. Sở dĩ nh vậy vì có những giá trị của X lớn hơn E(X) và có những
giá của X nhỏ hơn E(X) nên các độ sai lệch của những giá trị này so với E(X) sẽ bù trừ
lẫn nhau làm cho giá trị trung bình của các độ sai lệch này bằng 0. Để tránh hiện tợng bù
trừ này ta sẽ dùng biểu thức sau đây để đặc trng cho độ phân tán của các giá trị của X
quanh E(X).
1


Định nghĩa: Phơng sai của biến ngẫu nhiên X đợc ký hiệu và đợc định nghĩa nh sau:
121
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
Chng3.Cỏcthamsctrngc abinngunhiờn
[
]
[]







====


+

P(x)
4
1

4
2

4
1Ngoài ra ta cũng đã xác định E(X) = 1
Vì vậy
2
1
=
4
1
12+
4
2
11+
4
1
10=
222
)()(.)()X(VThí dụ 2: Hãy tính phơng sai của biến ngẫu nhiên liên tục X tuân theo quy luật phân

)X(E

Vì vậy

(
)

12

=

1






2
+
=
2
2
b
a
ab
dx
ab
.
ba

22
2
12
)]X(E[dx)x(fx
)]X(E[)x(px
i
ii

Thí dụ1: Nếu ta áp dụng công thức này để tính V(X) của biến ngẫu nhiên rời rạc đã miêu
tả ở trên ta có:
2
1
=1






4
1
2+
4
2
1+
4
1
0=
2222
)( )X(V

123
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
Chng3.Cỏcthamsctrngc abinngunhiờn
3. Một số tính chất của phơng sai
Ngoài tính chất đợc xét trong mục này phơng sai còn một số tính chất khác nữa mà
sau này chúng ta sẽ đề cập tới.

Tính chất: trong đó a và b là các hằng số.
)X(Va)baX(V
2
=+
Chứng minh
()
[]
2
++=+ )baX(EbaXE)baX(V

[]
2
++= b)X(aEbaXE

()
[]
2
= X(EXaE

[
]
22
)(( XEXaE =


đợc gọi là biến ngẫu nhiên chuẩn hoá từ X và ta luôn có: E(Z) = 0 ; V(Z) = 1.
Chứng minh:
Ta có thể viết:
)X(E
)X(
X
)X(
Z

1


1
=

khi đó áp dụng các tính chất của kỳ vọng ta có
124
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
Chng3.Cỏcthamsctrngc abinngunhiờn

)]X(E[E
)X(
)X(E
)X(
)Z(E

1





1


1
=

(Do là các hằng số ) theo định nghĩa thì )X(E&)X(
)X(V)X(
=

2
nên
1
=
)Z(V .

IV. một số tham số đặc trng khác của biến ngẫu nhiên một
chiều
1.
Giá trị mốt
Giá trị mốt thờng đựoc ký hiệu là
0
M
Nếu X là một biến ngẫu nhiên rời rạc thì giá trị có thể có của nó sẽ đóng vai trò là
nếu
k
x
o

2
1
=q
thì điểm
2
1
M
đợc gọi là điểm trung vị và đợc ký hiệu là .
e
M
Ghi chú 2: Ta có
q)MX(P)MX(P
qq

1
=


1
=> . Từ đó điểm phân vị bậc q cũng còn
đợc gọi là điểm tới hạn bậc 1- q.

125
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
Chng3.Cỏcthamsctrngc abinngunhiờn
3. Hệ số bất đối xứng
Hệ số bất đối xứng của một phân phối đợc ký hiệu và định nghĩa nh sau:

3
3


Ghi chú: Nếu đối xứng qua trục tung thì
0 x M
o
M
l
E(x)
f(x)
a
0 x M
o
= M = E(x)
f(x)
b
0 x
E(x) M
l
M

M
q
Hệ số nhọn của một phân phối đợc ký hiệu và định nghĩa nh sau:

3


=
4
4
K

a. Nếu K > 0 thì phân phối gọi là có độ nhọn dơng.
b. Nếu K = 0 thì độ nhọn của phân phối bằng độ nhọn của hàm mật độ xác suất của một
quy luật phân phối đặc biệt gọi là quy luật phân phối chuẩn mà sau chơng này ta sẽ xét
tới ( đối với phân phối chuẩn sau này ta sẽ thấy
3=


4
4
, tức là K = 0).
c. Nếu K < 0 thì phân phối gọi là có độ nhọn âm.
Hình vẽ sau đây sẽ minh hoạ cho ba trờng hợp vừa nêu:



x0
f(x)
K<0

Nếu trong đó X và Y là hai biên ngẫu nhiên thì
(
Y,XR =
)








==



+

+

dxdy)y,x(f)y,x(
p)y,x(
)]Y,X([E)R(E
ij
ijji

)(
)(
b
a

+

khai triển vế phải ta đợc:





+
=+
iij
ijj
j
iji
pypx)YX(Ej
iji
iji
j
ij
ypxp









Tiếp theo ta có

[]
() (1)EX Y EX Y= +

])1[()( YEXE +=

)(.1)( YEXE =
)Y(E)X(E =II. các mô_men của biến ngẫu nhiên hai chiều
1.
Các mô_men gốc
a. Định nghĩa
Mô_men gốc bậc (k, s) của biến ngẫu nhiên hai chiều V= (X, Y) đợc ký hiệu và
đợc định nghĩa nh sau:






==



+


01

)Y(E]YX[E
,
==
10
10
Vậy E(X) và E(Y) là toạ độ của một điểm M mà quanh đó đợc phân phối các điểm
(x, y) là các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên hai chiều V=(X,Y). Điểm M [E(X),
E(Y)] này đợc gọi là tâm phân phối.

b. Tính chất
Định lý :
Nếu hai biến ngẫu nhiên thành phần X và Y của biến ngẫu nhiên hai chiều V= (X,Y) mà
độc lập thì .
100111
ì=
,,,
Tức là . )Y(E).X(E)XY(E =
Nói cách khác: kỳ vọng toán của tích phân hai biến độc lập sẽ bẵng tích các kỳ vọng của
hai biến ngẫu nhiên thành phần.
Chứnh minh
Ta chứng minh kết quả cho hai biến ngẫu nhiên rời rạc.
Theo công thức (a) ta có:


=
ij
ijji
pyx)XY(E

jj
i
ii
pypx
**



ì=
j
jj
i
ii
ypyxpx )()()Y(E).X(E=

Thí dụ: Xét biến ngẫu nhiên rời rạc hai chiều V= (X,Y) với bảng phân phối xác suất đồng
thời nh sau:
130
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
Chng3.Cỏcthamsctrngc abinngunhiờn
X
Y
1 2 P(x)
0 0,06 0,04 0,10
1 0,30 0,20 0,50
2 0,24 0,16 0,40
P(y) 0,60 0,40 1

=
4
001+
6
000= ,,).(,).()Y(E
Do đó
8
2
1
=401301= ,,.,)Y(E).X(E
Nh vậy rõ ràng .
)Y(E).X(E)XY(E =

Ghi chú: Tuy nhiên nếu )Y(E).X(E)XY(E
=
thì cha chắc X và Y đã là hai biến ngẫu
nhiên độc lập. Chẳng hạn ta xét biến ngẫu nhiên độc lập hai chiều V = (X,Y) với bảng
phân phối xác suất đồng thời sau:

X
Y
1 2 3 P(x)
0 1/8 1/8
1 2/8 1/8 3/8
2 2/8 1/8 3/8
3 1/8 1/8
P(y) 2/8 4/8 2/8 1

Ta có
131

1
3+
8
3
2+
8
3
1+
8
1
0= ).().().().()X(E
2=
8
2
3+
8
4
2+
8
2
1= ).().().()Y(E
Nh vậy
))XY(E(.)Y(E).X(E =3=2
2
3
=

Tuy nhiên X và Y không độc lập ta, chẳng hạn ta thấy
[]
)Y(P).X(P)Y)(X(P 1=0=





=


+

dyxyyf
xypy
xYE
j
jj

Nếu
)xY(E
thay đổi theo x, tức là nếu
)x()xY(E

=
thì hàm đợc gọi là
hàm hồi quy của Y đối với X.
)x(
Tơng tự ta có

()
(
)
()

song song với trục hoành.
Hai hình sau đây sẽ minh hoạ đờng hồi quy
)X(E)xY(E
=
tơng ứng với các
trờng hợp: a) Y không độc lập với X và b) Y độc lập với X và với X và Y là các biến
ngẫu nhiên liên tục.

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
133

E(Y/x)
0 x
(x)
0
E(Y/x)

(x)
x
Đối với
ta cũng có những nhận xét tơng tự. )y(

Thí dụ: Hãy vẽ đờng hồi quy của Y (số tiền lãi) theo X (số lần bán đợc hàng) căn cứ và
bảng phân phối xác suất đồng thời đã xét ở mục III, mục B chơng II.


LêVănPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD
134
33133=1= ,)XY(E

c. Khi X= 2
Y 0 100 200 300 400
)xy(p

0 0
0960
0
32
0
,
,
0960
0
64
0
,
,
0
6
7266=2= ,)XY(E

d. Khi X= 3
Y 0 100 200 300 400
)xy(p


C¸c m«_men trung t©m
Chng3.Cỏcthamsctrngc abinngunhiờn
Mô_men trung tâm bậc (k, s) của biến ngẫu nhiên hai chiều V= (X,Y) đợc ký hiệu
và đợc định nghĩa nh sau:

()
[]
[
]
{
}
[]
[]
{}
[][]
{}









=
=


+

01
01
)]X(EX[E)Y(EY)X(EXE
,

[]
[
]
{
}
0===
10
10
)]Y(EY[E)Y(EY)X(EXE
,

)X(V)]X(EX[E
,
=
=
2
02

)Y(V)]Y(EY[E
,
=
=
2
20