Chng5.Mtsnhlýhit
Chơng 5
Một số định lý hội tụGiả sử trên không gian xác suất (, A, P) ta có dãy các biến ngẫu nhiên
và biến ngẫu nhiên Y.
{}
),n(X
n
21=

A. Sự hội tụ theo xác suất
I. định nghĩa v một số đặc điểm
1. Định nghĩa
Dẫy
{}
đợc gọi là hội tụ theo xác suất về X nếu với mọi
nhỏ tuỳ ý ta đều có:
(
,nX
n
21=
)
0>

(
)
1
=


)



<

n)(X)(X:P
n
1
hoặc cũng có nghĩa là
{
}
(
)







n)(X)(X:P
n
0

2. Một số đặc điểm
Định lý 1:
Nếu
()


213
Chng5.Mtsnhlýhit

()()
[]















++
22
YYXXYXYX
nnnn

Vậy

()()
[]


0
=


+
+

YXYXPlim
nn
n

Do đó
)n(YXYX
)P(
nn

+



+

Định lý 2: Nếu g là hàm liên tục trên R và
)n(XX
)P(
n





0
áp dụng cho biến ngẫu nhiên ta
có thể viết: sao cho:
00 >> ,

(
)
[
]

<

< )X(g)X(gXX
nn

Lấy xác suất hai vế ta đợc
(
)
[
]

<

< )X(g)X(gPXXP
nn

Suy ra

(
)



)X(g)X(gPlim
n
n

Do xác suất không thể vợt quá một nên ta suy ra
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
214
Chng5.Mtsnhlýhit

[
]
1
=
<



)X(g)X(gPlim
n
n

Điều này chứng tỏ
)n()X(g)X(g
)P(
n





ta đều có:

()
(
)
r
r
XEXP


1

Chứng minh
Ta chứng minh cho trờng hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ
xác suất f(x) xác định trên R.
Ta có

()



=
x
r
r
x
dx)x(fxdx)x(fXP
1




Tức là

()
2


)X(V
)X(EXP
(1)
Hoặc viêt dới dạng tơng đơng

()
2
1

<
)X(V
)X(EXP (2)
Các dạng (1) và (2) là các dạng thờng dùng của bất đẳng thức Trê_b_sép.

2. Định lý Trê-b-sép (luật số lớn của Trê-b-sép)
Phát biểu:
Nếu
{}
là dẫy các biến ngẫu nhiên:
),n(X
n
21=

i
n
XE
n
X
n
Plim

Chứng minh
Ta ký hiệu

=
=
n
i
in
X
n
X
1
1

áp dụng bất đẳng thức (2) cho biến ngẫu nhiên
n
X
ta đợc

()
()
(







=

== 11
11

Do giả thiêt (a) nên:

()
()

==
=






=
n
i
i
n
i


vào bất đẳng thức ở
(
)

ta đợc:

()
2
11
1
11








<

== n
C
XE
n
X
n
P
n

1
11
n
C
limXE
n
X
n
Plim
n
n
i
i
n
i
i
n()
1
11
11








hội tụ theo xác
suất về giá trị trung bình của các kỳ vọng toán của các biến ngẫu nhiên thành
phần tạo nên nó. Nói cách khác nếu ta ký hiệu

=
=
n
i
in
X
n
a
1
1
thì định lý
Trê_b_sép cho thấy tính ổn định của biến ngẫu nhiên
n
X
quanh giá trị
này.
n
a
Trờng hợp đặc biệt. Nếu các đều bằng
)X(E
i

thì hệ thức đã nêu trong định
lý trở thành:

(

i
X

với xác suất rất gần 1.

3. Định lý Bernoulli (luật số lớn của Bernoulli)
Phát biểu:
Nếu là số lần xuất hiện của biến cố A trong n phép thử độc lập
với mỗi phép thử chỉ có hai kêt quả là A và
và với xác suất để A xuất hiện
trong mỗi phép thử đều là P(A) = p( 0 < p < 1) thì với mọi số nhỏ tuỳ ý
ta đều có:
n
S
0>

1=








<

p
n
S

(
)
2
1

<
n
nn
fV
)f(EfP

Nếu gọi là số lần xuất hiện của biến cố A trong phép thử thứ i
i
X
)n,i( 1=

thì các là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng tuân theo quy luật A(p) với
và .
i
X
()
pXE
i
=
()
)p(pXV
i
= 1
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
218




=

=1
21
1() ()
n
)p(p
)p(np
n
XV
nn
S
VfV
n
i
i
n
n

===












<

2
1
1
n
)p(p
limpfPlim
n
n
n

Do
4
1
1 )p(p
và hữu hạn nên giới hạn bên phải bằng 1. Do xác suất bị
chặn trên bởi 1 nên cuối cùng ta suy ra:


(
)
1=<






=

n
i
i
n
XV
n
lim
Thì khi đó với mọi số
0>

nhỏ tuỳ ý ta đều có:

()
1
11
11
=







i
in
X
n
X
1
1
ta đợc

2
1
11
1
1
11

















Nh đã biết

()

==
=






n
i
i
n
i
i
XE
n
X
n
E
11
11



()




















<

=

==

n
i

Markov trở thành:

() (


=
nXV
n
n
i
i
0
1
1
2
)

Thí dụ 1. Hãy xác định số lợng tối thiểu các phép thử cần thực hiện trong
lợc đồ Bernoulli để dựa vào f
n
ta có xấp xỉ đợc p với độ chính xác 0,1 và độ
tin cậy tối thiểu là 95%.
Bài giải
Ta phải xác định giá trị tối thiểu của n sao cho:

(
)
95010 ,,pfP
n
<

1
2
,
),(n
pp
=


do cha biết, nhng vì p(1- p)
4
1
nên ta
có thể đánh giá tiếp:

950
104
1
1
2
,
),(n


Suy ra n
500

Thí dụ 2. Cho dãy { X
n
} (n = 1,2,.) là các biến ngẫu nhiên độc lập với quy
luật phân phối xác suất nh sau:

Từ đó

n
n
n
i
n
)X(V
n
n
i
n
i
n
i
i
1111
1
2
1
2
1
2
=<=

===

Vậy
0
1

} (n = 1, 2,) đợc gọi là hội tụ theo quy
luật về X nếu: với mọi x thuộc thuộc tập hợp các điểm liên
tục của F
)x(F)x(Flim
XX
n
n
=

X
(X).
Khi đó ta ký hiệu
)n(XX
L
n





.

Ghi chú 1. Do có sự tơng ứng ( 1-1 ) giữa hàm đặc trng và hàm phân phối
nên điều kiện trên có thể thay bằng:

)t(g)t(glim
XX
n
n
=


Sẽ tiến tới hàm phân phối của quy luật chuẩn N( 0;1), tức là

()





==<=
x
u
U
n
X
~
n
due)x(FxX
~
Plim)x(Flim
2
2
2
1

Thì ta nói rằng X tiệm cận chuẩn
(
)
00


V (X) = 2n suy ra
(
)
nX 2=
Ta xét biến ngẫu nhiên chuẩn hoá từ X:
n
nX
X
~
2

=

Khi đó hàm đặc trng của
X
~
sẽ là

[]






==

n
nX
it

2
1
2
1
21
n
n
it
n
n
it
n
itet
n
ie












=


n
it
n
it
n
it
n
itln +

















=



0
2
2

Vậy
2
2
t
X
~
n
e)t(glim


=

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
223
Chng5.Mtsnhlýhit
Đây là hàm đặc trng của quy luật N( 0;1) từ đó ta kết luận hàm phân phối của
n
nX
X
~
2

=
tiến tới hàm phân phối của quy luật N( 0;1) khi , tức là X
tiệm cận chuẩn
n


=

n
k
kk
n
n
aXE
B
lim
)
(*)
Trong đó:

()

===
==






==
n
k
k
n

tổng chuẩn hoá:

()
()
n
nn
n
nn
n
S
)S(ES
SV
)S(ES
S
~


=

=

Sẽ thoả mãn

(
)
)x(FxS
~
Plim)x(Flim
Un
n

đợc thoả mãn thì với n khá lớn quy luật phân phối của tổng có thể
coi xấp xỉ là quy luật chuẩn với kỳ vọng là và với
phơng sai là .

=
=
n
k
kn
XS
1
() ( )

==
==
n
k
k
n
k
kn
aXESE
11
() ( )

==
==
n
k
k

n
B
aX
B
aX
S
~
1
11

sẽ tiến tới hàm đặc trng của quy luật N( 0;1) khi

n , tức là

2
2
t
S
~
n
e)t(glim
n


=

Theo tính chất của hàm đặc trng thì:


=

!k
z
!r
iz
e
k
k
k
r
iz

Ta suy ra

()
(
)
(
)
(
)
1 với
3210
3210
<+++=
!
tX
!
itX
!
itX

X
++==
2
2
2
1

trong đó phần d R(t) thoả mãn bất đẳng thức

(
)
33
tXEC)t(R

Từ đó ta suy ra:

()
(
)
[
]
kk
kk
aXit
aX
eE)t(g


=


()
(
)
[
]
(
)
2
22
kkkkkk
XVXEXEaXE ===
Nên ta có:

()
)t(Rt)t(g
k
k
aX
kk
+

=

2
2
2
1
ii)
Theo tính chất đã biết của hàm đặc trng là nên
ta suy ra:






+









=
n
k
n
k
B
R
B
t
1
2
1
2
2


1
n
kk
n
k
B
t
aXE.C
B
R









Tức là
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
226
Chương5.Mộtsốđịnhlýhộitụ

(
)
3
3
3
1

~
n
kk
n
∏
=
−
=
1

nªn
∑
=
−
=
n
k
B
aX
S
~
)t(gln)t(gln
n
kk
n
1∑
=

2
2
2
1
V×
()
nn
ln
α
≈
α+1
nÕu
0→
α
n
nªn:

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

t
Rt
BB
t
Rt
B
ln
2
2
2
2
2
2
22
1
Do ®ã

∑
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
σ
−=
n
k
n
k
n
n
k
k
B
t
Rt
B
1
2
2
1
2
2


∑
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
n
k
n
k
B
R
t
1
2
1
2

iv)
V×
(
)
3
3

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
n
k
kk
n
n
k
n
k
aXEt.C
B
R
1
3
3
3
1
11

LêVănPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD
227
Chng5.Mtsnhlýhit
Nếu điều kiện Liapounov đợc thoả mãn, tức là nếu

=
nkhi
B
R
n
k
n
k
0
1
1

Do đó

()
n
t
)t(gln
n
S
~
2
2

Vì thế
()


ne)t(g
t

=
n
k
kn
XS
1

=
===
n
k
kn
na)X(E)S(Em
1
0
() ()
nbnbbSVS
n
k
knn
=====

=
2
1
2
0
.
Chứng minh
Ta xét điều kiện Liapounov đối với dãy các biến ngẫu nhiên này.

aXE
nb
aXE
B
n
k
n
k
kkk
n

===
=


=
=

Do giả thiết mô_men trung tâm tuyệt đối cấp 3 là
3
hữu hạn nên ta suy ra
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
228
Chng5.Mtsnhlýhit

()
0
1
3
2

XS
1
(
)
2
nb;naN . Từ đó có thể coi quy
luật phân phối của biến ngẫu nhiên
n
n
k
k
n
XX
nn
S
==

=1
1
là xấp xỉ quy luật chuẩn
với
()
()
aa.n
n
SE
nn
S
EXE
n

b.n
n
SV
n
n
2
2
22
11
===

tức là ta có thể coi xấp xỉ quy luật phân phối của
n
X
là






n
b
;aN
2
kết quả
này sẽ đợc ứng dụng ở phần thống kê toán sau này.

Hệ quả 2. (Định lý Moivre_laplace hoặc còn gọi là định lý giới hạn tích phân).
Nếu là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng tuân theo

=
= 1
.
Ghi chú.
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
229
Chng5.Mtsnhlýhit
Vì các biến ngẫu nhiên X
k
độc lập cùng tuân theo quy luật A(p) nên biến
ngẫu nhiên X = , nh ta đã biết sẽ tuân theo quy luật B(n;p). Vì vậy
định lý Moivre_Laplace cũng có thể phát biểu là

=
=
n
k
kn
XS
1
Quy luật nhị thức B(n;p) tiêm cận chuẩn với
npm
=
0
và
npq=
0
. Từ
đó nếu X tuân theo quy luật B(n;p) và n khá lớn, đồng thời p không quá gần 0
và 1 thì tổng


=














=
npq
npx
npq
npX
npq
npx
P
21



Nếu ký hiệu X là số phế phẩm có thể gặp phải khi ta lấy ngẫu nhiên ra
10000 sản phẩm thì ta phải tính P( X
70).
ở đây ta có một lợc đồ Bernoulli với n = 10000 và p = 0,005 vì vậy:

()()
xx
x
x
x
n
,,C)x(P)X(P

==

==
10000
70
0
10000
70
0
9950005070
Nếu tính trực tiếp từng xác suất trên rồi cộng lại thì rất khó khăn. Vì vậy ta
sẽ áp dụng định lý giới hạn tích phân để tính xấp xỉ.
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
230
Chng5.Mtsnhlýhit
Ta có thể viết



Vì np = 10000.0,005 = 50

75499950005010000 ,,.,.npq ==

Nên

()













=
7549
5070
7549
50
7549
500
0
,,


99760,
Ghi chú 2. Nếu ký hiệu f
n
là tần suất xuất hiện của biến cố A trong lợc đồ
Bernoulli với hai tham số là n và p thì

n
n
k
k
n
n
XX
nn
S
n
X
f ====

=1
1

trong đó X
k
là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng tuân theo quy luật A(p).
Do X tuân theo quy luật nhị thức và nếu đợc xấp xỉ bởi quy luật chuẩn

n
pq
) thì theo công thức đã
biết trong quy luật chuẩn, ta có

()
()










<
n
n
f
pfP
0
2














pq
n
0
2
tức là
2
0

=










pq

Chng5.Mtsnhlýhit
Chẳng hạn nếu
950,=

thì
4750
0
,)u(
=

. Ta tra bảng đợc u = 1,96.
Nếu = 0,1 thì
()
()
2
2
10
961
,
pq,
n
. Tuỳ trờng hợp p cha biết, ta có thể đánh giá
tiếp bằng cách thay tích pq bởi giá trị lớn nhất của nó là
4
1
và suy ra

()
()
97

npx
u

=
, còn )u(

là hàm mật độ của quy luật chuẩn N( 0;1).
tức là
2
2
2
1
u
e)u(


=
.
Chứng minh
Thật vậy vì
npq
npx
u

=

nên
(
)
1npqunpx +=

en.n!n
−
π≈ 2
V× vËy

()()
()
()
xn
xn
xx
xnxnn
xnxx
nn
exn.xnen.n
qpen.n
qpC)x(P
−−
−
−
−−
−
−−ππ
π
≈=
22
2)(

Do
®ã

)(
npq
nq.np
n
)xn(x
n
2
1
=≈
−

Ngoµi ra biÕt r»ng víi
α
n
→ 0 th×
2
2
1
1
nnn
)ln( α−α≈α+
V× vËy

⎟
⎟
⎠
⎞

x
x⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
np
q
uln.x
1⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−≈
np
q
u
np

()
(
)
xn
xn
nq
xn
ln
xn
nq
ln
−−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−

ulnxn
1()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−−−≈
nq
p
u
nq
p
uxn
2
2
1⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−−−=

−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−

⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−≈
nq
p
p
np
q

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∞→

Tøc lµ

()
)(e
xn
nq
x
np
lim
u
xnx
n
3
2
2

2
2
1
2
1
u
n
e.
npq
.)x(P


)u(
npq
e.
npq
u
=

=

1
2
11
2
2



() ()
421
057
1
40
10000
,
,
P

Vì là hàm chẵn nên
()
u
()
(
)
421421 ,,

=
. Tra bảng ta đợc
vì thế
()
14560421 ,, =

() ()
00206014560
057
1
40














npq
npx
npq
npx
xxxP
1
0
2
021

Đợc sửa nh sau:

()






()

=
=
2
1
21
x
xx
xpxxxP
()
bởi tích phân
()

2
1
x
x
dxxf
Trong đó p(x) là hàm xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X, còn f(x) là
hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục. Nếu nh X nhận những giá trị
nguyên thì để việc xấp xỉ đợc tốt hơn, ngời ta thay tích phân trên bởi tích
phân

()

+

2