1
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
A. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Dấu hiệu Cách chọn
2 2
a x

Đặt x = |a| sint; với ; .
2 2
t
 
 
 
 
 

hoặc x = |a| cost; với
 
0; .t


2 2
x a

Đặt x =
a
.
sint
; với

t
 
 
 
 
 

hoặc x = |a|cost; với
 
0; .t


.
a x
a x


hoặc .
a x
a x



Đặt x = acos2t
  
x a b x 

Đặt x = a + (b – a)sin
2
t

Đặt x = cost, ; .
2 2
t
 
 
 
 
 
.

dx = - sint dt
Đổi cận:
x
2
2

4


t 1 0
Khi đó:
1
2
2
2
2
1
.
x
I dx

0
sin t
dt
cos t



=
4
2
0
1
1 dt
cos t

 
 
 
 
 
tan
4
0
t t

 
=

 
 

. 
dx = acostdt Đổi cận:
x 0 a
t 0
2


Khi đó:
2 2 2
0
.
a
I x a x dx 

 
2
2 2 2 2
0
sin 1 sin .a t a t acostdt

 

2
4 2 2

4
16
a


Bài 3: Tính
1
2 2
0
. 1I x x dx 


Giải:
Đặt x = sint, ;
2 2
t
 
 
 
 
 
. 
dx = costdt
Đổi cận:
x 0 1
t 0
2


Khi đó:

4
tdt



 
2
0
1
1 4
8
cos t dt

 


1 1
sin 4
2
8 4
0
t t

 
 
 
 

16


1
2 2
0
1x x xdx 


 
1
2
0
1 . .t t tdt 


 
1
2 4
0
t t dt 

3 5
1
03 5
t t
 
 
 
 

2
.

2
5
.
ln
e
e
dx
I
x x


=
2
5
1
.
dt
t

=
4
2
1 15
. .
1
4 64t
 
 
 
 

3 4
0
1 .I x x dx 

=
2
4 5
1
2
1 1 31
.
1
4 20 20
t dt t
 
 
 
 


Bài 7: Tính
2
5
0
sinI xcoxdx




Giải:


Giải:
Ta có:
12 12
0 0
sin 4
tan 4
4
x
xdx dx
cos x
 

 

Đặt t = cos4x ;
4s 4 sin 4
4
dt
dt in xdx xdx     

Đổi cận:
x 0
12


t 1
1
2



Giải:
Ta có:
 
2 2 2
2
5 4 2
0 0 0
1 sincos xdx cos xcoxdx x coxdx
  
  
  

Đặt t = sinx ;
dt cosxdx 

Đổi cận:
x 0
2


t 0
1

Khi đó:
     
3 5
2 2 2 2
2 2
5 2 2 2 4

cos x
 

Đổi cận:
x 0
4


t 0 1
Khi đó:
   
1
3
4 4
2 2
4 2
0 0 0
1
1 1 4
1 tan 1 .
03 3
t
I dx x dx t dt t
cos x cos x
 
 
       
 
 
  

2

1

5
Khi đó:
1 1
3 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
6 6 2 2
1
(1 s ) 1 1 1 1
1
1
s s 2
2
cos x in x t
I dx cosxdx dt dt t
in x in x t t t
 
 
 
   
        
   
   
   


sin sin 1 sin 1
04 6 12
t t
I xcos xdx x x cosxdx t t dt t t dt
 
 
         
 
 
   

Bài 13: Tính
2
2
sin
0
sin 2 .
x
I e xdx




Giải:
Đặt t = sin
2
x ;
s 2dt in xdx 

Đổi cận:

I dx
cos x





Giải:
Đặt t = 1 + cos
2
x ;
s 2 s 2dt in xdx in xdx dt     

Đổi cận:
x
0

2


t 2 1
Khi đó:
 
1 2
2
2
0 2 1
2
sin 2
ln ln 2
6
Đổi cận:
x
0

4


t 0 1
Khi đó:
 
 
 
2
1 1 1 1 1
3 2
4
3
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
1
1
1 2 1
tan
0
1 1 2 1 2 2 1
1


Giải:
Đặt t =
x
;
2
2t x dx tdt   

Đổi cận:
x
0

1
t 0 1
Khi đó:
 
 
1 1 1
0 0 0
1
1 1
2 2 1 2 ln 1 2 1 ln 2 .
01 1
1
t
I dx dt dt t t
t t
x
 
        

1
3 3 3
1 .
04 16 16
I x x dx t dt t    
 

Bài 18: Tính
0
2
1
1
.
2 4
I dx
x x


 


Giải:
Ta có:
 
 
0 0
2
2
2
1 1

6
 7
Khi đó:
0
6
2
1 0
1 3 3 3

6
2 4 3 3 18
0
I dx dt t
x x




   
 
 

Bài 19: Tính
1
3
8
0

Đặt
4
tanx t
với
 
3 2
1
; . 1 tan .
2 2 4
t x dx t dt
 
 
    
 
 

Đổi cận:
x 0 0
t 0
4


Khi đó:
 
1 1
3 3 2
4 4
2
8 2
4



Giải:
Đặt
2
1 ln 1 ln 2
dx
t x t x tdt
x
      

Đổi cận:
x 1 e
t 1
2

Khi đó:
 
2 2
3
2
1 1 1
2 2 2 1
1 ln 2
.2 2 2
3 3
1
e
x t
I dx t tdt t dt

   


Đổi cận:
x 1 1
t ln2 0
Khi đó:
 
1 0 ln2
2 2
0 ln2 0
ln 2
ln 2
ln 2

02 2 2
x
t
I dx tdt tdt
x

     

  

Bài 22: Tính
2
2
0
1 sin

t 0
4


Khi đó:
2
2 4 4
2 2
0 0 0
1 tan
.
1 sin 1 tan 4
cosx t
I dx dt dt
x t
  


   
 
  

Bài 23: Tính
2
3
1
.
sin
I dx
x

dx dt
t
x t t
t
 



Đổi cận:
x
3


2


t
3
3

1
Khi đó:
 
1
2
3
3
3
1
1 1 3 1

Đổi cận:
x 1 e
t 1 2
Khi đó:
 
2
1 1
2
1
ln ln 2
11 ln
e
dt
I dx t
x x t
   

 

Bài 25: Tính
3
1
5
0
.
x
I x e dx


Giải:

1
.
1
x
I dx
x x



 


Giải:
Ta có:
1 5 1 5 1 5
2
2 2 2
2
2
2
4 2
2
1 1 1
2
1
1
1
1
1
.

2
1 1
1 .t x dt dx
x x
 
    
 
 

Đổi cận:
x 1
1 5
2


t 0 1
Khi đó:
1
2
0
.
1
dt
I
t




Đặt


Bài 27: Tính
2
3
1
.
1
dx
I
x x




Giải:
Ta có:
2 2
2
3 3 3
1 1
.
1 1
dx x dx
x x x x

 
 

Đặt
3 2 3 2 2

1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln ln ln ln
3 3 1 3 2 3 3
2 1
2 2
2 2 1
2 1
dx x dx dt
I dt
t t t
x x x x
t
t t
t
 
     
 
  
 
 
 
    
        
 
 
 



 

1
x x
dx dx
x x
x

 

 

Đặt
1t x dt dx   

Đổi cận:
x 0 2
t 2 3
Khi đó:
 
 
 
 
   
3
3 2
2 2 3 3
3 3
2
2 2 2
0 0 1 1
3

 
                 
 
 
 
 
   
Bài 29: Tính
ln2
2
2
0
3
.
3 2
x x
x x
e e
I dx
e e


 


Giải:
Đặt

 
     
 
       
 
              
 
   
 

Bài 30: Tính
 
4
1
1
dx
I
x x




Giải:
Đặt
2
2x t dx tdt  

Đổi cận:
x 1 4
t 1 2

     
 
 
   

Bài 31: Tính
 
1
3
2
0
1 .I x dx 


Giải:
Đặt
sin , 0;
2
x t t dx costdt

 
   
 
 

Đổi cận:
x 0 1
t 0
2


dt co
   
    





 
       
 
 
          
  
    
    

2
0
1 sin 4 3
4 . .
2
8 16 8 4 8 16 16
0
t
s tdt


    
     

I cos xdx cos x cosxdx x cosxdx x d x x
   
   


 
        
 
 
    
   

Bài 33: Tính
4
4 4
0
sin 4
.
sin
x
I
x cos x





Giải:

12


    
  


 
       
 
 

   


Bài 34: Tính
3
2
4
.
1 sin
cos x
I dx
x






Giải:
 


 
      
 
 
   
  

Bài 35: Tính
2
4
sin
.
sin
x cosx
I dx
x cosx



 

 

 


Giải:
 
 





Giải:

 
 
3
2 2 2
3 2 2
0 0 0
1 2
sin sin sin 1 1
2
3 3 3
0
cos x
I xdx x xdx cos x d cosx cosx
  

 
          
 
 
  

Bài 37: Tính
3
.


    
 
      
 
 
   
 13
Bài 38: Tính
s 3
.
sin
in x
I dx
x



Giải:
 
 
3
2
s 3 3s 4sin 1
3 4sin 3 2 1 2 3 2 2. sin 2
sin sin 2
sin 2

Khi đó:
1 1
2
4 2
0 0
1
1 2
1 3
2 4
x dt
I dx
x x
t
 
 
 
 
 
 
 

2 Đặt
1
2
y t dy dt   

Đổi cận:
t 0 1
y
1

 
 
 

3 Đặt
3 2
4
3
z y dz dy  

Đổi cận:
y
1
2

3
2

z
1
3

3

Khi đó:
3
3 3
2
2
2

Đổi cận:
z
1
3

3 14
u
6


3


Ta được:
3
2
3
2 2
1
6
3
1 1 1 tan 1
3
.
1 1 tan
3 3 3 6 3
6

2 2
t dt
t x x dx

     
Đổi cận:
x 0 1
t 1 3
Khi đó:
 
1 3 3
2
2 2
0 1 1
1
3
1 1 1 1 1 1 2
2
. ln ln3 .
1
2 4 4 4 3
2 1
t
x dt
I dx dt t
t t t t
x

     
       

12 11 10
1 1 2 1 2 .
1
1 2 1 1
2
0
12 11 10 12 11 10 660
I x x dx t t dt t t t dt t t t dt
t t t

          
 
      
 
 
   

Bài 42: Tính
2
0
.
1
dx
I
cosx






0
. 1 3 . .I x x dx 


Giải:
Ta có:
1 1
15 8 8 8 7
0 0
. 1 3 . . 1 3 .x x dx x x x dx  
  15
7 Đặt
8 7
1 3 24 .
24
dt
t x dt x dx dx     
Đổi cận:
x 0 1
t 1 4
Khi đó:
 
5 3
1 1 4 4
2 2
3 1
15 8 8 8 7


 


Giải:








 


3 2 3 2
1 1 1 1
3
3 2 4
2 2
2
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
5
3 2 4 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1
1

Đổi cận:
x 0 1
t 1 2
Khi đó:
 


2 2 2 2
3 3 5 3
1 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
5 3
2 2
2 2
1 1 1 1 1 2
1 .
1 1
2 2 2 2 5 3
2 1 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2
5 5 3 3 5 3 15 15 15
J t t dt t t dt t dt t dt t t        
        
   

Vậy
2 2 1
15 15
I  


9 Đặt
2
1 2sin sin 2t cos x dt xcosxdx xdx      

10
 
2 2
1 2 2 1 2 1 1 2 3cos x t cos x cos x t t         

Đổi cận:
x 0
4
 16
t 2
3
2

Khi đó:
 
 
3 3
2
2 2
3
2 2
2
2







Giải:
 
2 2 2 2
2 2
2
4 4 4 4
1 1 1
2
tan
1 sin 2 2 2 4 2
sin
2
4
4
4
dx dx dx dx
I x
x
x cosx
cos x
cos x
   
   


co x
I dx
x cosx


 


Giải:
Ta có:
 
  
 
4 4
3 3
0 0
sin sin
s2
sin 2 sin 2
cosx x cosx x
co x
dx dx
x cosx x cosx
 
 

   
 

11 Đặt



   
           
   
 
   
     
       

   
 Bài 48: Tính
4
0
s2
.
sin 2
co x
I dx
x cosx


 


Giải:
Ta có:

Khi đó:
 
 
 
 
2 2 2 2
0 0
2
2 2 2
1 2ln 2 2 2ln 2 2 3 2ln3
0
3
2 1 2 ln 3 ln 2 2 2 1 2ln
2 2
t
I dt dt t t
t t
 


 
           
 
 
 
       
 

 


2
1 15
sin 2 1 sin 4
14 4 4
t
I x x dx t dt

      
 

Bài 50: Tính
 
2
2
0
sin 1 .I xcosx cosx dx

 


Giải:
Ta có:
 
   
2 2 2
2
2 2 3
0 0 0
sin 1 sin 1 2 2 .sinI xcosx cosx dx xcosx cosx cos x dx cosx cos x cos x xdx
  

Bài 51: Tính
2
2 2 2 2
0
sin
.
sin
xcosx
I dx
a cos x b x





Giải:

18
Ta có:
   
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
sin sin sin
sin
1 sin sin sin
xcosx xcosx xcosx
I dx dx dx
a cos x b x


Đổi cận:
x 0
2


t |a| |b|
Khi đó:
 
2 2
2 2
2 2
1 1
.
b
a
b
b a
tdt
I t
b a a b
t b a a
b a

   
 





t
3
2

2
Khi đó:
 
3 3
3
2 2
5 2
2 4
3
2 2
2
2
1 1 1 42 4 2 37 4 2
3
. 1
3 3 5 2 3 5 5 15
2
t
t t
I t dt t t dt
t

 
 

        

         


Đổi cận:
x
7

4
t 4 5
Khi đó:
5
2
4
5
1 3 1 7
ln ln
4
9 6 3 6 4
dt t
t t

 
 
Bài 54: Tính
4
0
.

Khi đó:
 
 
 
 
1 2 3
1 1
2 2
2 2
0 0
1 1 1
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 2 1
0 0 0
J J J
dt t dt tdt dt
I dt
t t t t
t t t
 

      
  
   
  
 
 
 
  

tdt
J t
t t

    
 
 

3 Tính:
1
4
3
2
0 0
1 1
.
2 1 2 8
dt
J du
t


  

 
(với t = tanu)
Vậy
ln 2 ln2 ln 2
.
2 4 8 8 4


19 Đặt
sint cosx dt xdx   

Đổi cận:
x
3


2


t
1
2

0
Khi đó:
 
1 1 1 1
0
2 2 2 2
2 2
1
0 0 0 0
2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 3
ln 1 ln 1 ln ln
2


Giải:

20
Ta có:
1 2
1 1 1
2 2 2
0 0 0
sin sin
I I
x x xdx x
I dx dx
cos x cos x cos x

  
  
 

1 Tính
3
1
2
0
.
xdx
I
cos x



0 0 0 0
3 sin 3 3
tan tan ln
3 3
3 3 3
0 0
3 1
ln
3 2
d cosx
xdx x
I x x xdx dx cosx
cos x cosx cosx
   
 
  

         
 
   

2 Tính
 
3 3
2
2 2
0 0
sin 1
2 1 1
3

 


Giải:
Ta có:










3 2 3 2
1 1 1 1
3
3 2 4
2 2
2
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
5
3 2 4 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1
1
1

Khi đó:
 


2 2 2 2
3 31 1
2 2 2 2
1 1 1 1
5 3
2 2
5 3
2 2
1 1 1 1 1 1 1
1 .
2 5 2 5 5 2 2
2
1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 4 2 2 2 1 2 2
. .
1
5 2 5 2 3 5 5 5 5 3 3 5 5 3 15 15
I t t dt t t dt t dt t dt
t t
         
 
                
 
 
   

Bài 58: Tính

5 4 2
9 9
5 1 2 5 1 5 13 1
. 3 1 27 1
1 1
8 16 3 8 24 4 12 6
t
dt
x t
I dx dt dt tdt
x t t t
t t


 

 

 
     

        
    

Bài 59: Tính
9
3
1
1 .I x xdx 



 
  

Bài 60: Tính
3
6
.
sin sin
6
dx
I
x x




 

 
 


Giải:
 
3 3 3
2
6 6 6
2
3sin sin

  
 
3 3 3
2 2
6 6 6
3
6
2 tan tan
2
2 3
s 3 tan tan tan 3 tan 1 3 tan 3 tan 1
1 1
2 3 tan
3 tan 3 tan 1
d x d x
dx
co x x x x x x x
d x
x x
  
  


   
  
 
  
 

 


 
         
 

 
 
  
 
 
 
Bài

22
61: Tính
1
2
0
.
3
x
dx
I
e




Giải:
23 Đặt

d t
dx dt tdt tdt
I
e
t t t t t t t t
e
e
d t t t
t t
    

   
 

 
 
      
 
 
 

 
 
    
Bài 62: Tính
 
1

dx dt
I
t t
x


      

 

Bài 63: Tính
 
1
sin ln
.
e
x
I dx
x



Giải:
25 Đặt
ln
dx
t x dt
x
  


2
2
9
9
2
9 9 9
9
2 2 2
t
t x x x
t
t t t
x t x t dx dt
t t t

    
  
       

Đổi cận:
x 3 5

23
t 3 9
Khi đó:
5 9 9
2 2 2
2
2 3 2
3 3 3





Giải:
 
4 4
2
2
12 12
1 1 1 1 3
4
cot
2 2 4 2
sin
sin
4
12
I dx dx x
x cosx
x
 
 




 
 
     

u t du dt
dv tdt v cosx
 
 

 
  
 

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:
       
1
0
1 1 1
2 2 2 2 sin 2 sin1 1
0 0 0
I tcost costdt tcost t cos       


B. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1 Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)e
ax
trong đó P(x) là một đa thức Đặt
 

u P x
dv

2
2
.
1
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx






 




 24
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
 
 
1 1 1

co
u x
du dx
dx
v x
dv
s x






 






Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
 
3 3 34
2
0 0 0 0
3 sin 3 3 3
tan tan ln ln2
3 3
3 3 3 3
0 0






 






Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1 1 1
2 2
0 0 0
1
2 2
0
x x x x
I x e dx x e xe dx e xe dx    
  

Tiếp tục tính:
1
0
x
J xe dx




 


Đặt
3
3
3
3 1
1
3
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx




 



 
 



25
Ta có:
2 2 2 2
2
0 0 0 0
1 2 1
sin 2
2 2
cos x
I x xdx x dx xdx xcos xdx
   
 

 
   
 
 
 
   

28
2 2
2
0
.
2
2 8
0

 






Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
2 2
0 0
1 1 2 1
2 sin 2 sin 2 0
2 2
2 2 4 2
0 0
cos x
xcos xdx x x xdx
 
 
     
 

Vậy
2
2
2
0
4
sin
16

Đặt
sint x dt cosxdx  

Đổi cận:
x 0
2


t 0 1
Khi đó:
1
2
sin
0 0
2 sin 2
x t
I e xcosxdx te dt

 
 

Đặt
t t
u t du dt
dv e dt v e
 
 

 
 