Chương 1: Giới thiệu

Trang 1

Chương 1 GIỚI THIỆU
Đặt vấn đề
1.1.
Kỹ thuật thiết kế hệ thống điều khiển hiện đại dựa trên miền thời gian. Mô tả toán học dùng
để phân tích và thiết kế hệ thống là phương trình trạng thái. Mô hình không gian trạng thái có
ưu điểm là mô tả được đặc tính động học bên trong hệ thống (các biến trạng thái) và có thể dễ
dàng áp dụng cho hệ MIMO và hệ thống biến đổi theo thời gian. Lý thuyết điều khiển hiện đại
ban đầu được phát triển chủ yếu cho hệ tuyến tính, sau đó được mở rộng cho hệ phi tuyến
bằng cách sử dụng lý thuyết của Lyapunov.
Bộ điều khiển được sử dụng chủ yếu trong thiết kế hệ thống điều khiển hiện đại là bộ điều
khiển hồi tiếp trạng thái. Tùy theo cách tính vector hồi tiếp trạng thái mà ta có phương pháp
phân bố cực, điều khiển tối ưu, điều khiển bền vững Với sự phát triển của lý thuyết điều
khiển số và hệ thống rời rạc, lý thuyết điều khiển hiện đại rất thích hợp để thiết kế các bộ điều
khiển là các chương trình phần mềm chạy trên vi xử lý và máy tính số. Điều này cho phép
thực thi được các bộ điều khiển có đặc tính động phức tạp hơn cũng như hiệu quả hơn so với
các bộ điều khiển đơn giản như PID hay sớm trễ pha trong lý thuyết cổ điển.
Trong ba thập niên gần đây, lĩnh vực nghiên cứu về robot ứng dụng điều khiển bằng lý thuyết
điều khiển hiện đại đã có những bước tiến vượt bậc cả về lý thuyết và ứng dụng. Nhiều
nghiên cứu robot điều khiển bằng phương pháp điều khiển mờ, điều khiển LQR… đã được
thiết kế cho các mục đích ứng dụng khác nhau. Trong đó phần lớn cánh tay robot được sử
dụng trong lĩnh vực điều khiển robot như lắp đặc IC vào bo mạch, hàn và sơn khung xe trên
những dây chuyền láp ráp, kiểm tra và sửa chữa cấu trúc trong lò phản ứng hạt nhân, thám
hiểm dưới biển và thăm dò dưới lòng đất đòi hỏi những sự chính xác cao.Lĩnh vực của robot
rất rộng từ những việc đơn giản như tháo lắp thiết bị điều khiển đến những việc phức tạp đòi

1.2.
Hệ thống con lắc ngược là hệ thống phức tạp có tính phi tuyến cao và không ổn định. Các vấn
đề điều khiển liên quan đến hệ thống này bao gồm thiết kế bộ điều khiển Swing-up, thiết kế
bộ điều khiển giữ cân bằng con lắc…là những vấn đề rất thú vị và là thách thức của lĩnh vực
điều khiển tự động. Bên cạnh đó, nếu hệ thống được chế tạo với độ chính xác và tin cậy cao
thì đây là mô hình lý tưởng để thực hiện các thí nghiệm thu thập dữ liệu, từ đó có thể sử dụng
các thuật toán nhận dạng để nhận dạng mô hình của hệ thống con lắc ngược.
Chương 1: Giới thiệu

Trang 3

Hiện nay có rất nhiều nhà nghiên cứu đã sử dụng các thuật toán điều khiển khác nhau để điều
khiển hệ thống con lắc như thuật toán điều khiển PID, điều khiển trượt, thuật toán điều khiển
tối ưu LQR và điều khiển logic mờ Fuzzy đã thu được một số thành công đáng kể. Từ đề tài
con lắc ngược có thể phát triển lên để nghiên cứu về các vấn đề như: điều khiển cầu trục Hình
1.a, điều khiển góc tên lửa khi rời bệ phóng Hình 1.b và xe hai bánh tự cân bằng như Hình
1.c.
a. Hệ cầu trục b. Điều khiển góc tên lửa c. Xe hai bánh tự cân bằng
Hình 1.Các đối tượng điều khiển phức tạp trong thực tế.
Mục tiêu của đề tài
1.3.
Mục đích của đề tài là khảo sát phương trình động lực học, xây dựng mô hình toán học, mô
phỏng đặc tuyến hoạt động của hệ con lắc ngược quay, tổng quan các công trình nghiên cứu
về hệ con lắc ngược quay, khảo sát một số phương pháp điều khiển có thể áp dụng cho hệ
con lắc ngược quay.
Đề tài đi sâu vào nghiên cứu các giải thuật điều khiển sử dụng công nghệ tính toán mềm ứng
dụng cho hệ con lắc ngược quay , tiến hành khảo sát tổng hợp thiết kế điều khiển và xây dựng

phương tuyến tính(LQR), điều khiển mờ trực tiếp.
Xây dựng giải thuật swing-up cho hệ con lắc ngược, truyền cho con lắc một năng lượng đủ
lớn cần thiết để làm cho con lắc ngược chuyển động đến vị trí mong muốn.
Thực hiện mô phỏng hệ con lắc ngược bằng giải thuật vừa đề xuất ở trên với tín hiệu điều
khiển và vị trí góc đặt khác nhau. Đồng thời thiết kế thi công mô hình thực của hệ con lắc
ngược với thông số thích hợp đã chọn được trong lúc mô phỏng mô hình toán của hệ con lắc
ngược.
Khi đã chọn được thuật toán điều khiển tính toán mềm thích hợp và thi công xong mô hình
thực của hệ con lắc ngược, ta tiến hành thiết kế và xây dựng giải thuật điều khiển hệ con lắc
ngược có nhúng thuật toán điều khiển tính toán mềm để điều khiển hệ con lắc ngược. Sau đó
đem kết quả thu thập được từ việc ứng dụng thực tế kiểm chứng lại kết quả mô phỏng của
Chương 1: Giới thiệu

Trang 5

thuật toán điều khiển tính toán mềm được chọn ở trên nếu kết quả chưa đúng ta tiến hành hiệu
chỉnh thông số của bộ điều khiển và thông số mô hình thực của hệ con lắc ngược cho đến khi
kết quả thu được từ việc ứng dụng thực tế gần giống với kết quả mô phỏng của hệ con lắc
ngược. Sau đó đề xuất hướng phát triển của luận văn và mở rộng phạm vi ứng dụng của thuật
toán điều khiển trong các hệ thống phi tuyến có thuộc tính giống hệ con lắc ngược quay.
Nội dung của đề tài
1.5.
Nội dung đề tài gồm các chương sau:
Chương 1. Giới thiệu.
Nội dung chương này sẽ giới thiệu sơ lược về các phương pháp điều khiển hiện đại của hệ
thống con lắc ngược quay, tổng quan về các công trình nghiên cứu và mục tiêu của luận văn.
Chương 1 cũng đề cập đến phương pháp nghiên cứu của luận văn. Cuối chương này trình bày
sơ lược nội dung của luận văn.
Chương 2. Cơ sở lý thuyết các phương pháp điều khiển.
Trình bày khái quát phương pháp điều khiển được sử dụng trong luận văn là phương pháp

phương pháp điều khiển LQR để giữ cân bằng. Quá trình xây dựng mô hình toán học của hệ
thống con lắc tuyến tính và phi tuyến, mô phỏng hệ thống trong Simulink Matlab dựa vào
phương trình toán học và khảo sát đáp ứng của hệ thống con lắc tuyến tính khi có bộ điều
khiển.
Phương pháp điều khiển LQR
2.2.
Trong phần này chúng ta sẽ xem xét phương pháp xây dựng bài toán tổng hợp các hệ tuyến
tính với chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương.
2.2.1. Ổn định Lyapunov đối với hệ thống tuyến tính - Tiêu chuẩn ổn định thứ hai của
Lyapunov ( điều kiện đủ )
Xét hệ thống được mô tả bởi phương trình trạng thái :
1 2 3 4
( , , , )x f x x x x



Nếu tìm được một hàm V(x) với mọi biến trạng thái
1 2
,
n
x x x là một hàm xác định
dương, sao cho đạo hàm của nó
( )dV x
dt
dựa theo phương trình vi phân của chuyển động bị
nhiễu cũng là hàm xác định dấu , song trái dấu với hàm V(x) thì chuyển động không bị nhiễu
sẽ ổn định tiệm cận .
( ). ( ) 0V x V x




(2.1)
Yêu cầu cực tiểu hoá chỉ tiêu chất lượng J :
0
T
J x Qxdt



(2.2)
với Q là ma trận vuông xác định dương .
Chọn hàm năng lượng V(x) xác định dương :
( )
T
V x x Sx
(2.3)
trong đó ma trận S là ma trận vuông xác định dương.
( )V x

có dạng :
( )
T
T T
V x x Sx x S x x S x
  
  

(Ax)
T T T
Sx x S Ax x S x

Trang 8

Điều kiện cần và đủ để trạng thái cân bằng x = 0 ổn định tiệm cận: cho trước bất kỳ một
ma trận xác định dương Q và ma trận A ổn định, tồn tại một ma trận xác định dương S thoả
mãn phương trình:

T
A S SA S Q

   

T
S A S SA Q

     (2.4)
Phương trình (2.4) được gọi là phương trình Lyapunov.
Khi S không thay đổi theo thời gian
0S


, ta có phương trình đại số Lyapunov:
0
T
A S SA Q  
(2.5)

Chỉ tiêu chất lượng J được tính như sau:
0
0
( ) ( ) (0) (0)

(2.8)
thỏa mãn chỉ tiêu chất lượng J đạt giá trị cực tiểu :
Chương 2: Cơ sở lý thuyết các phương pháp điều khiển

Trang 9

0
( )
T T
J x Qx u Ru dt

 

(2.9)
Trong đó: Q là ma trận xác định dương (hoặc bán xác định dương), R là ma trận xác định
dương. Chú ý: thành phần thứ hai ở phần bên phải phương trình (2.9) xác định lượngnăng
lượng tiêu tốn của tín hiệu điều khiển.
Chúng ta sẽ chứng minh luật điều khiển tuyến tính cho bởi phương trình (2.8) là luật điều
khiển tối ưu. Khi đó, nếu ma trận K được xác định để tối thiểu hoá chỉ tiêu chất lượng J thì
luật điều khiển u(t) sẽ tối ưu với mọi trạng thái ban đầu x(0).
Từ (2.7) và (2.8) ta có:
Ax ( )x BKx A BK x

    (2.10)
Thay
( ) ( )u t Kx t 
vào phương trình (2.9):
0
( )
T T T

T T T T
x A BK Sx x S x x S A BK x
 
    

( ) ( )
T T
x A BK Sx S S A BK x

 
    
 
 
(2.13)
Do V(x) xác định dương, nên để hệ thống ổn định thì ( )V x

phải là xác định âm. Ta đặt:
Chương 2: Cơ sở lý thuyết các phương pháp điều khiển

Trang 10

   
( )
T T T
d
V x x Sx x Q K RK x
dt

   


T
J x Qx u Qu dt x Sx x Sx
x Sx


        


Lưu ý rằng
( ) 0x  

(0) (0)
T
J x Sx 

Đặt
T
R T T
,phương trình (2.14) trở thành:
( ) ( ) 0
T T T T T
A K B S S A BK S Q K T TK

      
Phương trình trên có thể viết lại như sau:
1 1 1
( ) ( ) 0
T
T T T T T T
A S SA TK T B S TK T B S SBR B S Q S

N N k
k N
N
a
u r a x a
b a
  

 

Hệ ổn định:
0
N
r 
.
Khi đó :
1
( )
T T
TK T B S



1 1 1
( )
T T T
K T T B S R B S
  
  


(2.19)

2.2.3. Các bước thiết kế phương pháp điều khiển toàn phương tuyến tính hệ thống liên
tục
Bước 1 :
Thành lập hệ phương trình trạng thái :
x Ax Bu
C Dx



 




(2.20)
Xác định các thông số A , B , D .
Chương 2: Cơ sở lý thuyết các phương pháp điều khiển

Trang 12

Bước 2 :
Xác định ma trận trọng lượng Q, R từ chỉ tiêu chất lượng J cho dưới dạng toàn phương tuyến
tính.
Bước 3 :
Tìm nghiệm S của phương trình Riccati :
1T T
S A S SA SBR B S Q


thuộc về tập A, ngoài ra
x
sẽ không thuộc về
tập kinh điển A. Mặc dù các tập hợp kinh điển phù hợp cho rất nhiều ứng dụng và đã chứng
minh là công cụ quan trọng cho toán học và khoa học máy tính, nhưng nó không phản ánh
được khái niệm và cách nghĩ của con người là trừu tượng và không chính xác. Như một ví dụ
minh họa, về mặt toán học ta có thể mô tả tập hợp người cao bao gồm những người có chiều
cao lớn hơn 6 ft (1,829 m) được biểu diễn bằng phương trình 2.24. Nếu ta đặt A = “người
Chương 2: Cơ sở lý thuyết các phương pháp điều khiển

Trang 13

cao” và
x
= “chiều cao” thì điều này phát biểu không tự nhiên và không thích hợp khái niệm
của con người về “người cao”. Do bản chất phân đôi của tập kinh điển sẽ phân loại một người
cao 6.001 ft là người cao nhưng người 5.999 ft thì không, sự phân loại này về mặt trực giác
không hợp lý. Sự khiếm khuyết bắt nguồn từ sự chuyển tiếp rõ ràng giữa sự bao hàm và sự
loại trừ trong một tập hợp. Hình 2.1: Tập mờ và tập rõ của “người cao” và “nhiệt độ”
Tương phản với tập hợp kinh điển, tập mờ (fuzzy set) là một tập hợp không có biên rõ
ràng. Có nghĩa là sự chuyển tiếp từ việc “thuộc về một tập” sang “không thuộc về một tập” là
từ từ (trơn) từng bước một. Và sự chuyển tiếp trơn này được đặc tính bởi hàm thành viên làm
cho tập mờ linh hoạt hơn trong việc mô hình các phát biểu ngôn ngữ được dùng hằng ngày
như “nước nóng” hay “nhiệt độ cao”.
2.3.1.1.1. Định nghĩa cơ bản và thuật ngữ
Đặt X là tập cơ sở và x là phần tử tổng quát của X. Một tập kinh điển A,
A X

 
(2.25)
Trong đó
( )
A
x

được gọi là hàm thành viên (hàm liên thuộc) của tập mờ A. Hàm thành viên
ánh xạ mỗi phần tử của X sang “mức độ thành viên” (membership grade) (hay giá trị thành
viên - membership value) giữa 0 và 1. (Còn gọi là độ liên thuộc)
Rõ ràng, định nghĩa về tập mờ đơn giản chỉ là sự mở rộng định nghĩa của tập kinh điển
trong đó hàm đặc tính được phép có giá trị bất kỳ nằm giữa 0 và 1. Nếu giá trị của hàm thành
viên
( )
A
x

bị ràng buộc chỉ có giá trị 0 hoặc 1, khi đó tập mờ A sẽ trở thành tập kinh điển và
( )
A
x

là hàm đặc tính của A.
Thông thường X được xem như là tập cơ sở và có thể bao gồm các phần tử rời rạc (thứ
tự hoặc không thứ tự) hoặc có thể là một không gian liên tục.
Để đơn giản ký hiệu, những quy ước sau được dùng để biểu diễn tập mờ A:

( )
A i
i

hay ít hơn. Các tập mờ này thông thường mang tên tương ứng từ việc sử dụng ngôn ngữ trong
đời sống hằng ngày như “lớn”, “vừa”, hoặc “nhỏ” và được gọi là “giá trị ngôn ngữ”
Chương 2: Cơ sở lý thuyết các phương pháp điều khiển

Trang 15

(linguistic values). Vì vậy tập cơ sở X thường được gọi là “biến ngôn ngữ” (linguistic
variable).
Một tập mờ được xác định duy nhất bởi hàm thành viên của nó. Để mô tả các hàm thành
viên đặc biệt hơn cần phải định nghĩa một số thuật ngữ để mô tả đặc điểm của các hàm này.

Hình 2.2 Miền nền, lõi, độ cao và singleton của tập mờ
Định nghĩa 2.2 Miền nền (support). Miền nền của hàm thành viên của tập mờ A là vùng gồm
các phần tử có độ phụ thuộc khác 0. Nói cách khác, miền nền của tập mờ A là tập tất cả các
điểm
x
trong X sao cho ( ) 0
A
x

 :

support(A)={ | ( ) 0}
A
x x


(2.27)
Định nghĩa 2.3 Lõi (core). Lõi của tập mờ A là tập tất cả các điểm
x


được gọi là singleton.
Định nghĩa 2.6 Độ cao (Height). Độ cao của tập mờ A là cận trên nhỏ nhất của hàm liên
thuộc:

hgt( ) sup ( )
A
x X
A x



(2.29)
Hình 2.2(a) và 2.2(b) minh họa miền nền, lõi, độ cao của hàm thành viên dạng hình chuông và
singleton đặc tính hóa “50 tuổi”.
Định nghĩa 2.7 Tập mờ lồi (Convexity)
Tập mờ A là lồi nếu và chỉ nếu với bất kỳ
1 2
,x x X và với mọi
[0,1]


,

1 2 1 2
( (1 ) ) min{ ( ), ( )}
A A A
x x x x
    
  

     A A X 

( )
( )
A A B A
A A B A
  
  ,A A A A A A   

( )
( )
A A B A B
A A B A B
   
   A A

A B A B
A B A B
  
  


Định nghĩa 2.9 Phép hội (Union – Disjunction). Hội của hai tập mờ A và B là tập mờ C,
được viết như là
C A B 
hoặc
C=AOR B
có hàm thành viên quan hệ với hàm thành viên
A và B như sau:

( ) max( ( ), ( )) ( ) ( )
C A B A B
x x x x x
    
  
(2.32)
Chương 2: Cơ sở lý thuyết các phương pháp điều khiển

Trang 19

Định nghĩa 2.10 Phép giao (Intersection – Conjunction). Giao của hai tập mờ A và B là tập
mờ C, được viết như là
C A B 
hoặc
C=A AND B
có hàm thành viên quan hệ với hàm
thành viên A và B như sau:

( ) min( ( ), ( )) ( ) ( )
C A B A B
x x x x x
    

2.3.1.2. Thành lập hàm thành viên và tham số
Như đã đề cập trước đây, một tập mờ hoàn toàn được đặc trưng bởi hàm thành viên của
nó, bởi vì hầu hết các tập mờ đang dùng có tập cơ sở là toàn bộ trục thực R. Do đó về mặt
thực tế, không thể liệt kê hết tất cả các hàm thành viên. Một cách tiện lợi và súc tích để định
nghĩa một hàm thành viên là trình bày nó dưới dạng công thức toán học như trong Ví dụ 2.2.
Mục này trình bày một số hàm thành viên tham số hóa thường dùng để định nghĩa hàm thành
Chương 2: Cơ sở lý thuyết các phương pháp điều khiển

Trang 20

viên một chiều và hai chiều. Các hàm thành viên có chiều cao hơn có thể được định nghĩa
theo một cách tương tự.
2.3.1.2.1. Hàm thành viên một chiều (Hàm thành viên có một ngõ vào)
Định nghĩa 2.13 Hàm thành viên dạng tam giác. Hàm thành viên dạng tam giác được xác
định bởi 3 tham số {a, b, c} như sau:

0,
,
( ; , , )
,
0,
x a
x a
a x b
b a
triangle x a b c
c x
b x c
c b
c x

 
 
(2.37)
Các tham số {a, b, c} (với a < b < c) xác định tọa độ
x
tại 3 góc của tam giác.
Hình 2.8 (a) minh họa hàm thành viên dạng tam giác:
( , 20,60,80)triangle xHình 2.8 Ví dụ về 4 hàm thành viên cơ bản.
2.3.1.2.2. Hàm thành viên hai chiều (Hàm thành viên có hai ngõ vào)
Chương 2: Cơ sở lý thuyết các phương pháp điều khiển

Trang 21

Đôi khi để thuận lợi và cần thiết ta dùng hàm thành viên có hai ngõ vào, mỗi đầu vào ở
trong tập cơ sở khác nhau. Các hàm thành viên loại này được xem như là hàm thành viên hai
chiều. Một cách để mở rộng hàm thành viên một chiều sang hàm thành viên hai chiều là thông
qua mở rộng tọa độ trụ.
Định nghĩa 2.17 Mở rộng tọa độ trụ của các tập mờ một chiều
Nếu A là một tập mờ trong X, khi đó tọa độ trụ mở rộng của A trong
X Y
là tập mờ c(A)
được định nghĩa như sau:

( ) ( ) / ( , )
A
X Y
c A x x y


, tương ứng.
Hình 2.10(a) là hàm thành viên của tập mờ R; Hình 2.10(b) và (c) là hình chiếu của R trên X
và Y tương ứng.
Chương 2: Cơ sở lý thuyết các phương pháp điều khiển

Trang 22 Hình 2.10 (a) Tập mờ hai chiều R;(b) R
X
(hình chiếu R vào X); (c) R
Y
(hình chiếu R vào Y).
Nói một cách tổng quát, hàm thành viên hai chiều có thể là một trong hai trường hợp: đa hợp
hoặc không đa hợp. Nếu hàm thành viên hai chiều có thể được phân tích thành một biểu thức
giải tích của hai hàm thành viên một chiều. Khi đó hàm thành viên này là đa hợp, ngoài ra là
không đa hợp.
2.3.1.3. Phép giao và phép hội trên tập mờ
Phép giao của hai tập mờ A và B được xác định một cách tổng quát bằng một hàm
:[0,1] [0,1] [0,1]T  
, hàm này kết hợp hai mức độ thành viên như sau:

( ( ), ( )) ( ) * ( )
A B A B A B
T x x x x
    

 


ap
bp
dp
Minimum T a b a b a b
product T a b ab
Bounded product T a b a b a b
a if b
Drastic product T a b b if a
if a b
  

      



 




(2.43)
Chương 2: Cơ sở lý thuyết các phương pháp điều khiển

Trang 23

Với các giá trị a, b nằm giữa 0 và 1, ta có thể vẽ biểu đồ bề mặt của bốn phép toán T – norm
này như là hàm của a và b, xem hàng đầu tiên của Hình 2.14. Hàng thứ hai là các bề mặt hàm
thành viên hai chiều tương ứng khi ( ) ( ;3,8,12,17)
A
a x trapzoid x

Trong đó


là phép toán hai ngôi đối với hàm S. Các phép toán hội mờ này được xem như là
các phép toán T – conorm (S – norm) thỏa mãn các yêu cầu cơ bản sau.

Chương 2: Cơ sở lý thuyết các phương pháp điều khiển

Trang 24

Định nghĩa 2.20 T – conorm (S – norm). Một phép toán S – norm là hàm hai ngôi thỏa mãn:

(1,1) 1, (0, ) ( ,0)
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ( , ) ( ( , ), )
S S a S a a
S a b S c d if a c and b d
S a b S b a
S a S b c S S a b c
  
  


(2.46)

Tương ứng với 4 phép toán T –norm, ta có 4 phép toán S – norm sau:

max
: ( , ) max( , ) .

A
a x trapzoid x

  và
( ) ( ;3,8,12,17)
B
b y trapzoid y

  . Ta thấy rằng
Chương 2: Cơ sở lý thuyết các phương pháp điều khiển

Trang 25 max
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
dp bp ap
S a b S a b S a b S a b  
(2.48)
2.3.1.4. Hệ quy tắc mờ và suy luận mờ
Hệ quy tắc mờ và suy luận mờ là xương sống của luật hợp thành mờ, là công cụ mô hình quan
trong nhất dựa vào lý thuyết tập mờ. Lý thuyết này đã áp dụng thành công trong nhiều lĩnh
vực như điều khiển tự động, hệ chuyên gia, nhận dạng, dự báo và phân loại dữ liệu.
2.3.2. Nguyên lý mở rộng và quan hệ mờ
2.3.2.1.1. Nguyên lý mở rộng
Nguyên lý mở rộng là một khái niệm cơ bản của lý thuyết tập mờ cho ta thủ tục tổng quát để
mở rộng miền rõ của các biểu thức toán học sang miền mờ. Thủ tục này mở rộng một ánh xạ
một – một thông thường của một hàm f(.) thành một ánh xạ giữa các tập mờ. Nói chính xác
hơn, giả sử f là một hàm từ X sang Y và A là tập mờ trên X được định nghĩa:
1 1 2 2

1 2
( ) ( ) ,f x f x y y Y  
. Trong trường hợp này mức độ thành
viên của B tại
*
y y
là mức độ thành viên lớn nhất của A tại
1
x x
và
2
x x
, do kết quả
*
( )f x y
có thể đến từ
1
x x
hoặc
2
x x
. Tổng quát hơn ta có
1
( )
( ) max ( )
B A
x f y
x x
 
