Chuyên đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97

Trang 1

QUY TẮC ĐẾM

1) Quy tắc cộng :
Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, hiện tượng 2 có n cách xảy ra và hai hiện tượng này
không xảy ra đồng thời thì số cách xảy ra hiện tượng này hay hiện tượng kia là : m + n cách.
2) Quy tắc nhân :
Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, ứng với mỗi cách xảy ra hiện tượng 1 rồi tiếp đến hiện
tượng 2 có n cách xảy ra thì số cách xảy ra hiện tượng 1 “rồi” hiện tượng 2 là : m × n cách
3) Các dấu hiệu chia hết
– Chia hết cho 2 : số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
– Chia hết cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3 (ví dụ : 276).
– Chia hết cho 4 : số tận cùng là 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4 (ví dụ :
1300, 2512)
– Chia hết cho 5 : số tận cùng là 0, 5.
– Chia hết cho 6 : số chia hết cho 2 và chia hết cho 3.
– Chia hết cho 8 : số tận cùng là 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8 (ví dụ :
15000, 2016)
– Chia hết cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9 (ví dụ : 2835).
– Chia hết cho 25 : số tận cùng là 00, 25, 50, 75.
– Chia hết cho 10 : số tận cùng là 0. HOÁN VỊ

1. Giai thừa
Với số nguyên dương n, ta định nghĩa n giai thừa, kí hiệu n!, là tích các số nguyên liên tiếp
từ 1 đến n.


Chuyên đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97

Trang 2

CHỈNH HỢP

Có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau (1  k  n), sắp vào k chỗ khác nhau. Mỗi cách
chọn rồi sắp như vậy gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử
Chỗ thứ nhất có n cách chọn (do có n vật), chỗ thứ 2 có (n – 1) cách chọn, . . ., chỗ thứ k có
[n – (k – 1)] cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn sẽ là:
n x (n-1) x (n-2) x . . . x (n – k + 1) =
)!(
!
kn
n


Nếu ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là
k
n
A
, ta có:
k
n
A
=
)!(
!
kn

kn
n
k
n
CC



k
n
k
n
k
n
CCC
1
1
1 




nn
nnnn
CCCC 2
210



 1
1
22
2
1
10 =
kkn
n
k
k
n
ba
C



0
(n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .)
Các tính chất của nhị thức NewTon
(i) Số các số hạng trong khai triển nhị thức (a + b)
n
là n + 1
(ii) Tổng số mũ của a và b trong từng số hạng của khai triển nhị thức (a + b)
n
là n
(iii) Số hạng thứ (k + 1) là

n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
Các tính chất của tam giác Pascal
(i)
1
0

n
nn
CC
các số hạng đầu và cuối mỗi hàng đều là 1
(ii)
kn
n
k
n
CC


(0  k  n) Các số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau
(iii)
1
1
1 



k
n
k

nnnn
n
xCxCxCxCCx )1( )1(
332210


Khi x = 1 thì
0)1(
3210

n
n
n
nnnn
CCCCC

Và
)(2)1()1(
44220
 xCxCCxx
nnn
nn

)(2)1()1(
55331
 xCxCCxx
nnn
nn
Chuyên đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97

Trang 4

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

I / ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT
Định nghĩa
Giả sử A biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng
khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số
)(n
)A(n

là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A)
Vậy
)(n
)A(n
)A(P



Chú ý
n(A) là số phần tử của A
n(

) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
II/ TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT
1/ Định lí
a/ P() =0, P(


4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999) Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao nhiêu
số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong mỗi trường hợp
sau:
1. n là số chẵn.
2. Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.
5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999) Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi
vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra
không có đủ cả 3 màu?
6. (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999) Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến
Chuyên đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97

Trang 5

5 cạnh nhau.
1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4,
1, 3, 5)?
7. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999) Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu,
sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng.
1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?
2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
8. (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn
chữ số còn là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:
1. Năm chữ số 1 được xếp kề nhau.
2. Các chữ số được xếp tuỳ ý.
9. (ĐH Hàng hải 1999) Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc
ghế dài sao cho:
1. Bạn C ngồi chính giữa.
2. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế.
10. (HV BCVT 1999) Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6

18. (ĐH Thái Nguyên khối D 2000) Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên
gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên.
19. (ĐH Thái Nguyên khối G 2000) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi
số là một số lẻ.
Chuyên đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97

Trang 6

20. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi
một khác nhau.
1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ.
2. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.
21. (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3,
4, 5. Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu
không nằm liền nhau.
22. (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số: 1,
2, 3, 4, 5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần.
23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các
chữ số của mỗi số là một số chẵn.
24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong
mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
25. (HV Kỹ thuật quân sự 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người
làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao
nhiêu cách phân công?
26. (ĐH GTVT 2000) Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách
cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán
bộ lớp.
27. (HV Quân y 2000) Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào
một dãy 7 ô trống. Hỏi:
1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?


Trang 7

nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5.
40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
1. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một?
2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác
nhau?
41. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được
bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
42. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng
dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ. (Khi đổi
chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách xếp mới).
43. (HV Quan hệ quốc tế 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số
có 9 chữ số mà chữ số 9 đứng ở vị trí chính giữa?
44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)
1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng
không có mặt chữ số 1.
2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có
mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.
45. (ĐHSP HN II 2001) Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được lập
từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
46. (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) Cho A là một hợp có 20 phần tử.
1. Có bao nhiêu tập hợp con của A?
2. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?
47. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
1. Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.
2. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các
số đó nhỏ hơn số 345.
48. (ĐH Văn Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh để

số khác nhau và nhỏ hơn 245.
58. (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi
số gồm 4 chữ số khác nhau.
59. (ĐH khối B 2004) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó,
10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra,
mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau và nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và
số câu hỏi dễ không ít hơn 2.
60. (ĐH khối B 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho
mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
61. (ĐH khối A 2005 dự bị 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn
bằng 8.
62. (ĐH khối B 2005 dự bị 1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ.
63. (ĐH khối B 2005 dự bị 2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,
mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5.
64. (ĐH khối D 2006) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5
học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao
cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
65. (CĐ GTVT III khối A 2006) Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học
sinh khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối
C. Tính số cách chọn.
66. (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ
số 0 có mặt đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phân biệt?
67. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số đó.
68. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho 2 đường thẳng d
1
, d
2

1 2 3 2
x x x
C 6C 6C 9x 14x

4. (ĐH Bách khoa HN 1999) Tính tổng: S =

     
1 2 3 4 n 1 n
n n n n n
C 2C 3C 4C ( 1) .nC

trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 2.
5. (ĐHQG HN khối A 2000) Chứng minh rằng:

  
k k 1 1000 1001
2001 2001 2001 2001
C C C C

(trong đó k nguyên, 0 ≤ k ≤ 2000)
6. (ĐHQG HN khối B 2000) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức sau:

 
 

 
 
17
4
3

, hãy tìm số hạng không phụ
thuộc vào x, biết rằng
 
  
n n 1 n 2
n n n
C C C 79

9. (ĐHSP HN khối BD 2000) Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x
2
+ 1)
n
bằng
1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax
12
trong khai triển đó.
10. (ĐHSP TPHCM khối DE 2000) Tính tổng: S =
   

0 1 2 n
n n n n
1 1 1
C C C C
2 3 n 1

11. (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000)
Chứng minh:
    
     
n 1 1 n 1 2 n 3 3 n 4 4 n n 1

10
+ (1 + x)
11
+ … + (1 + x)
14
có
dạng khai triển là: P(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
14
x
14
. Hãy tính hệ số a
9
.
15. (ĐH Y Dược TPHCM 2000) Với n là số nguyên dương, hãy chứng minh các hệ thức sau:
1.
   
0 1 2 n
n n n n
C C C C
= 2
n


+ … + a
12
x
12

Tìm max(a
1
, a
2
, …, a
12
).
18. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối A 2000) Tính tích phân: I =


1
2 n
0
x(1 x ) dx
(n  N*)
Từ đó chứng minh rằng:

     
 
n
0 1 2 3 n
n n n n n
1 1 1 1 ( 1) 1
C C C C C
2 4 6 8 2(n 1) 2(n 1)

143
P 4P
(n = 1, 2, 3, …)
21. (ĐH An ninh nhân dân khối A 2001) Chứng minh rằng với n là số tự nhiên, n ≥ 2, ta có:

  
2 2 2
2 3 n
1 1 1

A A A
=

n 1
n
.
22. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2001)
Giải hệ phương trình:

 


 


y y
x x
y y
x x
2A 5C 90


n
k k
n
n
k 0
1
C (2x 1)
2
(n  N) (*)
25. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001) Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng:
S =
    

0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
1 1 1 1
C C .2 C .2 C .2 C .2
2 3 4 n 1

26. (ĐH Hàng hải 2001)
Chứng minh:

     
0 2 2 4 4 2n 2n 2n 1 2n
2n 2n 2n 2n
C C .3 C .3 C .3 2 (2 1)

27. (ĐH Luật TPHCM khối A 2001) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:


+ a
10
x
10
(a
k
 R)
hãy tìm hệ số a
k
lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10).
29. (ĐH Vinh khối AB 2001) Cho n là một số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng
k
n
C
lớn
nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá

n 1
2
.
30. (ĐH Vinh khối DTM 2001) Chứng minh rằng:

     
0 2 2 4 4 2000 2000 2000 2001
2001 2001 2001 2001
C 3 C 3 C 3 C 2 (2 1)

31. (ĐH Y Dược TPHCM 2001)
Cho k và n là các số nguyên thoả mãn: 9 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng:



    
 
n n n 1
x xx 1 x 1 x 1
0 1
3 32 2 2
n n
n 1 n
x x
x 1
n 1 n
3 32
n n
2 2 C 2 C 2 2
C 2 2 C 2

(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 
3 1
n n
C 5C
và số hạng thứ tư bằng 20. Tìm
n và x.
33. (ĐH khối B 2002) Cho đa giác đều A
1
A
2
…A
2n
(n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O). Biết

n
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
k
x
k
+ … + a
n
x
n

Chuyên đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97

Trang 11

Biết rằng tồn tại số k nguyên (1 ≤ k ≤ n – 1) sao cho
 
 
k 1 k k 1
a a a
2 9 24
. Hãy tính n.
37. (ĐH dự bị 6 2002) Gọi a

 
n
5
3
1
x
x
, biết rằng:

 
  
n 1 n
n 4 n 3
C C 7(n 3)
(n nguyên dương, x > 0).
39. (ĐH khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:


  
   

2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 2 1 2 1
C C C C
2 3 n 1

40. (ĐH khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a
3n–3

 
1 2 3
x x x
C 6C 6C
= 9x
2
– 14x
2. Chứng minh rằng:
    
1 3 5 17 19
20 20 20 20 20
C C C C C
= 2
19

44. (CĐ khối AD 2003)
Chứng minh rằng: P
1
+ 2P
2
+ 3P
3
+ …+ nP
n
= P
n+1
– 1
45. (CĐ Giao thông II 2003) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 2, ta đều có:




biết rằng n là số nguyên dương thoả điều kiện:

 
  
n n 1 n 2
n n n
C C C 79

47. (CĐ Tài chính kế toán IV 2003) Chứng minh rằng:
 
  
  
0 k 1 k 1 2 k 2 k
2 n 2 2 n 2 2 n 2 n
C C C C C C C

(với n, k  Z
+
;n ≥ k + 2)
48. (CĐ Tài chính kế toán IV 2003 dự bị)
Giải bất phương trình:

3 n n n
n 2n 3n
(n!) C .C .C 720

49. (CĐ Công nghiệp HN 2003) Cho đa thức: P(x) = (16x – 15)
2003
.

Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển nhị thức Newton của:
 

 
 
15
1 2
x
3 3
.
Chuyên đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97

Trang 12

52. (CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003)
Hãy khai triển nhị thức Newton (1 – x)
2n
, với n là số nguyên dương. Từ đó chứng minh rằng:


       
1 3 2n 1 2 4 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
1C 3C (2n 1)C 2C 4C 2nC

53. (ĐH khối A 2004) Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1 + x
2
(1 – x)]

A 3A
(n 1)!

biết
   
  
2 2 2 2
n 1 n 2 n 3 n 4
C 2C 2C C
= 149.
57. (ĐH khối A 2005 dự bị 2) Tìm hệ số của x
7
trong khai triển đa thức (2 – 3x)
2n
, trong đó n là số
nguyên dương thoả mãn:

   
    
1 3 5 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
C C C C 1024

58. (ĐH khối D 2005 dự bị 1)
Tìm k  {0; 1; 2; …; 2005} sao cho
k
2005
C
đạt giá trị lớn nhất.
59. (ĐH khối D 2005 dự bị 2) Tìm số nguyên n > 1 thoả mãn đẳng thức: 2P

Giải hệ phương trình:










x x
y y 2
x x
y y
1
C :C
3
1
C : A
24

63. (CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006)
Tìm số tự nhiên n sao cho:
 
n n n
4 5 6
1 1 1
C C C


+ … + a
n
x
n

Tìm hệ số của x
5
, biết a
0
+ a
1
+ a
2
= 71.
66. (CĐ Điện lực TPHCM 2006) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
 

 
 
n
2
3
1
x
x
,
biết rằng:
 
1 3
n n

rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng?
69. (CĐ KT Y tế I 2006) Tìm số tự nhiên n thoả mãn đẳng thức sau:

 
       
0 2 2 2k 2k 2n 2 2n 2 2n 2n 15 16
2n 2n 2n 2n 2n
C C 3 C 3 C 3 C 3 2 (2 1)

70. (CĐ Xây dựng số 2 2006) Chứng minh:

       
0 n 1 n 1 n n 0 1 n
n n n n n n
C 3 C 3 ( 1) C C C C

71. (CĐ KT Y tế 1 2005) Giải bất phương trình:

  
2 2
x 1 x
2C 3A 20 0

72. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Tìm hệ số của x
29
y
8
trong khai triển của (x
3
– xy)


ĐÁP ÁN PHẦN TỐN TỔ HỢP

1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)
1.
 
 


  
 
 
 






X A
X 1 Y
1 X
Y 3,4,5,6,7,8
2 X
.
Do đó số các tập X bằng số các tập con Y của tập hợp {3,4,5,6,7,8}
Mà số các tập con Y của {3,4,5,6,7,8} là: 2
6
= 64.
Vậy có 64 tập con X của A chứa 1 và không chứa 2.

từ 7 số còn lại của A  có
4
7
A
= 7.6.5.4 = 840 cách
Do đó: m = 4.840 = 3360.
 Tính n: Lập một số chẵn
2 1
123a a
bắt đầu bởi 123; a
1
,a
2
 A; a
1
≠ a
2

Lấy a
1
từ {4,6,8}  có 3 cách
Lấy a
2
từ A \ {1,2,3,a
1
}  có 4 cách
Do đó: n = 3.4 = 12
Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 – 12 = 3348.
2. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)
Bước 1: Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài: 3! cách

Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức.
Ta loại những số có dạng
0bcde
. Có 3 cách chọn e, và
3
6
A
cách chọn b, c, d từ X \ {0,e}. Vậy có
Chun đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97

Trang 15

3.
3
6
A
= 360 số chẵn có dạng
0bcde
.
Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề bài.
2. n =
abcde

* Xem các số hình thức
abcde
(kể cả a = 0). Có 3 cách chọn vò trí cho 1. Sau đó chọn chữ số
khác nhau cho 3 vò trí còn lại từ X \ {1}: có
4
7
A

2 1 1
4 5 6
C C C
= 180
* 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có
1 2 1
4 5 6
C C C
= 240
* 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: có
1 1 2
4 5 6
C C C
= 300
Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720
Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 = 645.
6. (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)
1. * Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách.
* Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách.
Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài.
2. * Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải. Số cách xếp cho 2 số chẵn là 2! cách. Số
cách xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách.
Vậy có 2.6 = 12 cách.
* Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ ở bên trái.
Vậy: có 12 + 12 = 24 cách.
7. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)
Số có 6 chữ số khác nhau có dạng:
abcdef
với a ≠ 0
1. Vì số tạo thành là số lẻ nên f  {1, 3, 5}.

9!
A
5!
= 6.7.8.9 = 3024 số.
9. (ĐH Hàng hải 1999)
1. Xếp C ngồi chính giữa: có 1 cách.
Xếp A, B, D, E vào 4 chỗ còn lại: có 4! = 24 cách.
Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu.
2. Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: có 2! = 2 cách.
Xếp B, C, D vào 3 chỗ còn lại: có 3! = 6 cách.
Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu.
10. (HV BCVT 1999)
* Số các số có 6 chữ số khác nhau là:


6 5
10 10
A A
= 9.9.8.7.6.5 = 136080
* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 0 là:

6
9
A
= 9.8.7.6.5.4 = 60480
* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 1 là:


6 5
9 9

Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.
12. (ĐHQG TPHCM khối A 2000)
1. Số cách tặng là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự.
Vậy số cách tặng là
6
9
A
= 60480
2. Nhận xét: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách.
Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là:
6
12
A
= 665280
Số cách chọn sao cho không còn sách Văn là:
5
6
A .7
= 5040
Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc là:
4 2
6 8
A .A
= 20160
Số cách chọn sao cho không còn sách Hoạ là:
3 3
6 9
A .A
= 60480
Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600

cách
Vậy: có
2 4
15 30
C .C
+
3 3
15 30
C .C
+
4 2
15 30
C .C
+
5 1
15 30
C .C
+
6
15
C
cách
2. Nếu chọn tuỳ ý thì số cách chọn là:
6
45
C
.
14. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)
1. Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng:


* Với số
ab5
ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b.
 Có 4.4 = 16 số
Vậy có: 20 + 16 số cần tìm.
3. Gọi
abc
là số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khác nhau. Khi đó {a,b,c} có thể là: {0,4,5}, {1,3,5},
{2,3,4}.
* Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì các số phải tìm là: 405, 450, 504, 540
 có 4 số
* Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì số phải tìm là hoán vò của 3 phần tử  có 3! = 6 số.
Vậy có: 4 + 6 + 6 = 16 số cần tìm.
15. (ĐH Y HN 2000)
Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là:
1 1 1
5 3 4
C .C .C
= 5.3.4 = 60
Số cách chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lí nam là:
1 2
3 4
C .C
= 18
Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là:
2 1
3 4
C .C
= 12
Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn

= 480 số.
17. (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)
1. Chọn 2 nam và 3 nữ: có
2 3
10 10
C .C
= 5400 cách.
2. Có ít nhất 2 nam và 1 nữ, có các kiểu chọn sau:
* 2 nam và 3 nữ: có 5400 cách
* 3 nam và 2 nữ: có
3 2
10 10
C .C
= 5400 cách
* 4 nam và 1 nữ: có
4 1
10 10
C .C
= 2100 cách
Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách.
18. (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)
Tất cả có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có 5 chữ số. Trong các số có 5 chữ số này, xét các
Chun đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97

Trang 18

số không có mặt các chữ số 2, 3, 4. Loại này có: 6 cách chọn chữ số hàng vạn
7 cách chọn chữ số hàng nghìn
7 cách chọn chữ số hàng trăm
7 cách chọn chữ số hàng chục

là số lẻ thì có thể lấy a
5
 {0, 2, 4, 6, 8} và lập được 5 số có 5 chữ số
1 2 3 4 5
a a a a a
với tổng các chữ số là một số lẻ.
Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có 4 chữ số, mỗi số có 4 chữ số này lại sinh ra 5 số có 5 chữ số
có tổng các chữ số là một số lẻ, nên có tất cả 9000.5 = 45000 số có 5 chữ số mà tổng các chữ
số là một số lẻ.
20. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)
1. Có:
2
5
C
cách chọn ra 2 viện bi đỏ.

4
13
C
cách chọn ra 4 viên bi còn lại.
Vậy có:
2
5
C
.
4
13
C
= 7150 cách chọn
2. Có các trường hợp xảy ra:

1. Các thẻ trắng ở vò trí lẻ, các thẻ đen ở vò trí chẵn  có 5!5! cách
2. Các thẻ trắng ở vò trí chẵn, các thẻ đen ở vò trí lẻ  có 5!5! cách
Vậy tất cả có: 5!5! + 5!5! cách.
22. (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)
Có 8 ô trống, cần chọn ra 1 ô điền chữ số 2, 1 ô điền chữ số 3, 1 ô điền chữ số 4, 1 ô điền chữ số
5. Sau đó trong 4 ô còn lại, cần chọn 2 ô điền chữ số 1, cuối cùng còn lại 2 ô điền chữ số 6.
Vậy có tất cả có: 8.7.6.5.
2
4
C
.1 = 10080 số thoả yêu cầu đề bài.
23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)
Số các số có 6 chữ số
1 2 3 4 5 6
a a a a a a
là 9.10
5
số
Với mỗi số có 6 chữ số
1 2 3 4 5 6
a a a a a a
ta lập được 5 số có 7 chữ số
1 2 3 4 5 6 7
a a a a a a a
mà tổng các
chữ số là một số chẵn.
Vậy có tất cả: 9.10
5
.5 = 45.10
5

* 2 cán bộ lớp và 1 học sinh thường: có
2 1
2 18
C .C

Vậy số chọn là:
1 2
2 18
C .C
+
2 1
2 18
C .C
= 324 cách.
27. (HV Quân y 2000)
1. Trước hết xếp 3 viên bi đỏ vào 7 ô trống. Do các viên bi đỏ khác nhau nên số cách xếp là
3
7
A
.
Sau đó xếp 3 viên bi xanh vào 4 ô còn lại. Do các viên bi xanh giống nhau nên số cách xếp là
3
4
C
.
Vậy số cách xếp khác nhau là:
3
7
A
.


Từ giả thiết  a
1
 {5,6,7,8,9}, a
6
 {1,3,5,7,9}
Có 2 khả năng:
1. a
1
lẻ:
* a
1
có 6 cách chọn
* a
6
có 4 cách chọn
* sau khi chọn a
1
, a
6
, cần chọn
2 3 4 5
a a a a
, mỗi cách chọn ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 8
phần tử.
Vậy khả năng thứ nhất có: 6.4.
4
8
A
= 40320 số

4
5
A
= 120
Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số.
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Chọn 3 em nam: có
3
9
C
cách
Chọn 2 em nữ: có
2
6
C
cách
Vậy có:
3
9
C
.
2
6
C
= 1260 cách.
Chun đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97

Trang 20

32. (ĐH An ninh khối D 2001)

4 1
6 4
C .C
= 60
Vậy số cách chọn ra 5 người mà có không quá 1 nam là:
6 + 60 = 66.
35. (ĐH Giao thông vận tải 2001)
Giả sử số cần tìm có dạng: A =
1 2 3 4 5 6
a a a a a a
.
+ Nếu a
1
= 4 thì các chữ số còn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7. Vậy có
5
7
A
=
2520 số.
+ Nếu a
1
≠ 4 thì vì a
1
≠ 0 nên chỉ có 6 cách chọn a
1
. Vì số 4 phải có đúng một trong 5 vò trí còn lại
là a
2
, a
3

*
11c1
với c  {0,2,3,…, 9}  có 9 số
*
111d
với d  {0,2,3,…, 9}  có 9 số
 có 8 + 9 + 9 + 9 = 35 số
+ Tương tự với mỗi số từ 2 đến 9 ta cũng tìm được 35 số tự nhiên sao cho mỗi chữ số trên lặp lại
đúng 3 lần.
Do đó số các số tự nhiên có một chữ số lặp lại đúng 3 lần là:
9 + 9.35 = 324 số
 Vậy số các số tự nhiên gồm 4 chữ số mà trong đó không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần là:
9000 – 324 = 8676 số.
37. (ĐH Huế khối DHT 2001)
* Số cách chọn 5 em từ 13 em là:
5
13
C
= 1287
* Số cách chọn 5 em toàn nam là:
5
7
C
= 21
Chun đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97

Trang 21

* Số cách chọn 5 em toàn nữ là:
5

8
C
= 70 cách chọn 4 học sinh trung bình.
 Có: 3.10.70 = 2100 cách.
Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách.
39. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)
Ta sử dụng 5 ô sau để viết số có 5 chữ số:

 Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0:
Có 4 cách chọn vò trí cho chữ số 0. Sau đó còn 4 cách chọn vò trí cho chữ số 5. Số cách chọn 3
chữ số cọn lại là:
3
5
A

 Số các số thu được là: 4.4.
3
5
A
= 960 số
 Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0:
Có 5 cách chọn vò trí cho chữ số 5.
Số cách chọn 4 chữ số còn lại là:
4
5
A

 Số các số thu được là: 5.
4
5

Chun đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97

Trang 22

một, tức là 3 học sinh nữ đứng ở các vò trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9).
Có 5 cặp 3 vò trí của 3 học sinh nữ.
Cách xếp 3 bạn nữ vào mỗi cặp 3 vò trí là 3!. Cách xếp 6 bạn nam vào 6 vò trí còn lại là 6!.
Vậy tất cả số cách xếp là: 5.3!.6! = 21600 cách.
43. (HV Quan hệ quốc tế 2001)
Ta chỉ có 1 cách chọn vò trí cho chữ số 9.
Khi đó số cách xếp 8 chữ số còn lại là 8!
Vậy tất cả có: 8! = 40320 số.
44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)
1. Số được xét có dạng:
1 2 3 4 5 6
a a a a a a
. Xếp chữ số 0 vào các vò trí từ a
2
đến a
6
: có 5 cách xếp.
Còn lại 5 vò trí, ta chọn 5 trong 8 chữ số để xếp vào 5 vò trí này: có
5
8
A
cách.
Vậy tất cả có: 5.
5
8
A

2
8
C
= 11760 số.
Trong các số này, cần loại bỏ các số bắt đầu bới chữ số 0.
Đối với các số
2 3 4 5 6 7
0a a a a a a
:
* Chọn 2 vò trí để xếp chữ số 2: có
2
6
C
cách.
* Chọn 3 vò trí để xếp ba chữ số 3: có
3
4
C
cách.
* Chọn 1 số để xếp vào vò trí còn lại: có 7 cách.
Như vậy loại này có:
2
6
C
.
3
4
C
.7 = 420 số.
Vậy tất cả có: 11760 – 420 = 11340 số.

Vậy tổng tất cả các phần tử của X là:
S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000
= 3360.11111 = 3732960.
46. (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001)
1. Số tập con của A là:    
0 1 2 20
20 20 20 20
C C C C
= 2
20

2. Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là:
T =
  
2 4 20
20 20 20
C C C

Ta có: 0 = (1 – 1)
20
=    
0 1 2 20
20 20 20 20
C C C C


   
0 2 4 20
20 20 20 20
C C C C

20
0
20
2
C
2
= 2
19
– 1.
47. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
1. Xét các số chẵn x =
abc
với 3 chữ số khác nhau; a, b, c  {1;2;3;4;5} = E.
Vì x chẵn nên c  {2;4}  có 2 cách chọn c.
Với mỗi cách chọn c, có
2
4
A
cách chọn
bc
.
Vậy tất cả có: 2.
2
4
A
= 24 số chẵn.
2. Xét x =
abc
với 3 chữ số khác nhau thuộc E = {1;2;3;4;5;6}
* Nếu a ≥ 4 thì x > 345.

3 2
10 10
C .C
cách.
Vậy tất cả có: 2.
2 3
10 10
C .C
= 10800 cách.
2. Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 1 học sinh nữ và 1 học sinh nam thì có 4 trường hợp:
* 1 nam và 4 nữ: có
1 4
10 10
C .C
cách.
* 2 nam và 3 nữ: có
2 3
10 10
C .C
cách.
* 3 nam và 2 nữ: có
3 2
10 10
C .C
cách.
* 4 nam và 1 nữ: có
4 1
10 10
C .C
cách.

= 43758
Tổng số cách trên được phân làm hai bộ phận rời nhau:
Bộ phận I gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em sao cho mỗi khối đều có em được chọn (số
cách phải tìm).
Chun đề : tổ hợp- nhị thức Newton – 0968 64 65 97

Trang 24

Bộ phận II gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em chỉ gồm 2 khối (lưu ý là số em thuộc mỗi khối
đều ít hơn 8 nên không có cách chọn nào mà cả 8 em thuộc cùng một khối).
Bộ phận II có thể chia thành ba loại:
 8 em được chọn từ khối 12 hoặc 11: có
8
13
C
cách.
 8 em được chọn từ khối 12 hoặc 10: có
8
12
C
cách.
 8 em được chọn từ khối 11 hoặc 10: có
8
11
C
cách.
Vậy số cách phải tìm là:
8
18
C

(a
i
 {1, 2, 3, 4, 5, 6}; a
i
≠ a
j
)
sao cho: a
1
+ a
2
+ a
3
= a
4
+ a
5
+ a
6
– 1
 a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5

1
, a
2
a
3
 {1, 2, 3, 4, 5, 6} nên hệ thức (1) chỉ có thể thoả mãn trong 3 khả năng sau:
 a
1
, a
2
, a
3
 {1; 3; 6}
 a
1
, a
2
, a
3
 {1; 4; 5}
 a
1
, a
2
, a
3
 {2; 3; 5}
Mỗi bộ số a
1
, a

5 1
5 7
C .C
+
4 2
5 7
C .C
+
3 3
5 7
C .C
= 7 + 5.21 + 10.35 = 462 cách.
54. (ĐH khối D 2003 dự bò 1)
Các số phải lập là chẵn nên phải có chữ số đứng cuối cùng là 0 hoặc 2, 4, 6, 8.
 Trường hợp chữ số đứng cuối là 0: thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử.
Do đó có
6
8
A
số thuộc loại này.
 Trường hợp chữ số đứng cuối là một trong các chữ số 2, 4, 6, 8: thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh
hợp chập 6 của 8 phần tử (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu). Vậy số các số loại này là:
4.



6 5
8 7
A A
.


Vậy số giao điểm tối đa của tập hợp các đường đã cho là:
45 + 30 + 120 = 195 điểm.
56. (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bò)
Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác tương ứng một tổ hợp chập 2 của n phần tử  Số đoạn
thẳng nối 2 đỉnh của đa giác là:
2
n
C

Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác hoặc là cạnh hoặc là đường chéo

2
n
C
= n + 2n 

n(n 1)
2
= 3n  n
2
– n = 6n
 n
2
– 7n = 0 






 a
1
= 2: x =
2 3
2a a

a
2
có 2 khả năng:
* a
2
< 4  a
2
 {1, 3}  a
2
có 2 cách chọn, a
3
có 3 cách chọn trong 3 số còn lại  Có 2.3 = 6 số
* a
2
= 4; a
3
≠ 5, 2, 4  a
3
có 2 cách chọn  Có 2 số
 Có 6 + 2 = 8 số x =
2 3
2a a

Vậy có tất cả: 12 + 8 = 20 số thoả yêu cầu đề bài.

59. (ĐH khối B 2004)
Mỗi đề kiểm tra có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên có các trường hợp sau:
* Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó  có
2 2 1
15 10 5
C .C .C
đề.
* Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó  có
2 1 2
15 10 5
C .C .C
đề.
* Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó  có
3 1 1
15 10 5
C .C .C
đề.
Vậy tất cả có:

2 2 1
15 10 5
C .C .C
+
2 1 2
15 10 5
C .C .C
+
3 1 1
15 10 5
C .C .C

C C
= 207900 cách phân công.
61. (ĐH khối A 2005 dự bò 1)
Gọi x =
1 2 3 4 5 6
a a a a a a
là số cần lập.
YCBT: a
3
+ a
4
+ a
5
= 8  a
3
, a
4
, a
5
 {1, 2, 5} hoặc a
3
, a
4
, a
5
 {1, 3, 4}