Bài giảng giải tích II
Bài giảng giải tích II
Giáo viên: Vũ Thị Thùy
Giáo viên: Vũ Thị ThùyKhoa: Khoa học cơ bản
Khoa: Khoa học cơ bản


         

       

       
Giáo trình Gi i tích 2ả    ! "  
 #$$
   %  
# &  '"  Toán h c cao c p 2ọ ấ "
(%) "#$$
 &  '"  Toán h c cao c p 3ọ ấ "
(%) "#$$
  " Gi i tích II & III, ả *% 
 *  #$$+   
MÔN GIẢI TÍCH II

MÔN GIẢI TÍCH II
Chương
I
1.1 Tích phân kép
1.2 Tích phân đường

a/ Nếu D xác định bởi
a x b
c y d
≤ ≤


≤ ≤

( , )
b d
a c
I f x y dy dx
 
⇒ =
 
 
∫ ∫
( , )
b d
a c
dx f x y dy=
∫ ∫
1/ Trong hệ tọa độ vuông góc
y
x
O
D
a
b
c

∫ ∫








=⇒
b
a
xf
xf
dxdyyxfI
)(
)(
2
1
),(
∫∫
=
)(
)(
2
1
),(
yf
xf
b

)(
)(
2
1
),(
yg
yg
d
c
dxyxfdyI
Ví dụ 1:
Tính
( )
D
I x y dxdy= +
∫∫
, với D là miền phẳng xác định bởi



−=
=
xy
xy
D
2
:
2
-2
1

−
−
⇒ = +
∫ ∫
2
2
1
2
2
2
x
x
y
xy dx
−
−
 
= +
 
 
∫
1
2 2 2
2 3
2
(2 ) ( )
2
2 2
x x
x x x dx

?0
20
:
y
x
D
nên ta tách D thành
21
DDD =



≤≤
≤≤
xy
x
D
0
10
:
1
1
D
2
D
và



−≤≤

( nhìn theo phương ngang )
1
1
Lúc này, ta có



−≤≤
≤≤
yxy
y
D
2
10
:
2
1
0
y
y
I dy xydx
−
⇒ =
∫ ∫
1
2
0
2
2
y

ϕ
sinry =
Ví dụ
3
Từ phương trình
ϕ
sin=r
ta tìm ngược lại miền D
Do
ϕ
sin=r
ϕ
sin
2
rr =⇒
yryx ==+⇒
ϕ
sin
22
4
1
2
1
2
2
=





∫∫
=⇒
D
dxdyyxfI ),(
∫∫
=
)(
)(
2
1
2
1
)sin,cos(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
r
r
rdrrrfd
Ví dụ 4
Tính
∫∫
+=
D
dxdyyxI
22
Lưu ý
Ta áp dụng công thức này khi D có dạng hình tròn

ry
rx
TÍCH PHÂN KÉP
Lúc này, ta có
Dùng PP đổi biến:





≤≤
≤≤
⇒
20
4
:
r
D
πϕ
π
∫∫
=⇒
2
0
2
4/
rdrrdI
π
π
ϕ

Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TÍCH PHÂN KÉP
Ví dụ 5
Tính
, với





≥
≥
≤+≤
0
3
41
:
22
x
xy
yx
D
1
2
Lúc này, miền D tương đương với






Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
∫∫
=
D
xydxdyI
TÍCH PHÂN KÉP
Ví dụ 6 Tính , với



−≤
≤+
xy
xyx
D
22
:
Lúc này, ta có miền D





≤≤
−≤≤−
ϕ
π
ϕ
π
cos0

2
cos
0
3
sincos
π
π
ϕ
ϕϕϕ
ddrr
O
x
y

Trường ĐH SAO ĐỎ



−≤
≤+≤
xy
yyxy 42
22
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN KÉP
a/ Tính diện tích miền phẳng
D
D
S dxdy=
∫∫
Ví dụ 7 Tính diện tích miền phẳng bị giới hạn bởi

ϕ
4
3
sin4
sin2
2
2
d
r
∫
=
π
π
ϕϕ
4
3
2
sin6 d
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
O
x
y

Trường ĐH SAO ĐỎ
f
b/ Thể tích vật thể
( , )
D
V f x y dxdy=
∫∫

dxdyyxzyxzV ),(),(
12
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN KÉP
Lúc này
Ví dụ 8
Tính thể tích vật thể bị giới hạn bởi



=
=++
2
4
22
z
zyx
2=z
+ mặt trên
22
4 yxz −−=
+ mặt dưới
2=z
2
22
≤+=Ω yxprj
Oxy
∫∫
≤+
Ω
−−−=⇒

Cách tính
: theo nguyên tắc
Việc tính tích phân đường loại 1 được đưa về quá trình
tính một tích phân xác định, theo biến số của pt đường
cong lấy tích phân
Lưu ý
Tích phân đường loại 1 không phụ thuộc vào hướng của
đường cong lấy tích phân
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

Trường ĐH SAO ĐỎ
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1



≤≤
=
=
βα
t
tyy
txx
;
)(
)(
Lưu ý
: khi đưa tích phân đường về tích phân xác định thì
cận dưới của tích phân xác định luôn bé hơn cận trên
a/ Trường hợp (AB) có pt tham số

là phương trình



+=
+=
ty
tx
22
21
có giới hạn tại 2 đầu mút A(1,2) và B(3,4)
+ tại A(1,2)



+=
+=
t
t
222
211
thì
0=⇒ t
+ tại B(3,4)



+=
+=
t

=
=
⇒
2)('
2)('
ty
tx
Suy ra
1
2 2
( ) 0
(1 2 )(2 2 ) 2 2
AB
I xyds t t dt= = + + +
∫ ∫
∫
+++=
1
0
2
)4422(22 dtttt
1
0
32
3
2
2
3
24


, khi đó



≤≤
=
dyc
yxx )(
c/ Trường hợp (AB) có pt
2
( )
( , ) ( ( ), ) 1 ( '( ))
d
AB c
I f x y ds f x y y x y dy= = +
∫ ∫
thì

Trường ĐH SAO ĐỎ
Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
( )AB
P xds=
∫
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1
Ví dụ 10
Tính
, với (AB) là parabol









≤≤
=
=
=
βα
t
tzz
tyy
txx
;
)(
)(
)(
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1
d/ Trường hợp (AB) có là đường cong trong không gian
(Oxyz), và
hàm số lấy tích phân là f(x,y,z)
Giả sử (AB) có pt tham số
Khi đó,
∫
++=
β
α
dttztytxtztytxf
222