GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,NHỎ NHẤT CỦA CÁC BIỂU THỨC
I-/CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC
1-PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ.
Bài 1.1:
Bài 1.2:
Bài 1.3:
Bài 1.4:
Bài 1.5:
Bài 1.6:
Bài 1.7:
Bài 1.8:
Bài 1.9:
Bài 1.10:
Bài 1.11:
Cỏc phng phỏp v k thut tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca mt biu thc
Tng hp t cỏc ngun Internet: Lc Phỳ a Vit Trỡ Phỳ th. 2013-08-30 Page 2 of 24
Bi 1.12 :
Bi 1.13 :
Bi 1.14:
Bi 1.15 :
Bi 1.16 :Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x
2
+ 11y
2
- 6xy + 8x - 28y +21.
.
2.Phng phỏp tam thc bc hai
Bi 2.1 :
Bi 2.2 :
Bi 2.3 :
Bi 2.4:

Bài 3.5 :
Bài 3.6.
…………………………………………………………………
4.Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Các phương pháp và kĩ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp từ các nguồn Internet: Lộc Phú Đa … Việt Trì Phú thọ. 2013-08-30 Page 4 of 24
Bài 4.1 :
Bài 4.2 .(DB KB-2006)
Bài 4.3. ( KA-2006)
Bài 4.4: Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện
1 1 1
2
x y z
  
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
Bài 4.5 :
Bài 4.6: (KB-2007) ;
Bài 4.7 :
Bài 4.8 :
Bài 4.9::
Bài 4.10:: Cho x, y, z
0
và
2 2 2
3x y z  
. Chứng minh:
3 3 3
2 2 2
3 2
2

a b c
P
b c a
  
  
Bài 4.14: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn : x +3y+5z
3
.Chứng minh rằng
46253
4
zxy
+
415
4
xyz
+
4815
4
yzx

45
5
xyz.
Các phương pháp và kĩ thuật giải bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp các nguồn trên Internet: Lộc Phú Đa - Việt trì – Phú Thọ … 2013-08-30 … Trang: 5
Bài 4.15: Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng :
1 1 1 5
1 1 1xy yz zx x y z
  
    

2
 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
1 1 1
1 1 1
P
xy yz zx
  
  
Bài 4.19. Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
x (y z) y (z x) z (x y)
P
yz zx xz
  
  
Bài 4.20.
Bài 4.21.
Bài 4.22.
Bài 4.23.
Bài 4.24.
Bài 4.25.
Bài 4.26.
Bài 4.27.
Các phương pháp và kĩ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp từ các nguồn Internet: Lộc Phú Đa … Việt Trì Phú thọ. 2013-08-30 Page 6 of 24
Bài 4.28.
Bài 4.29.
Bài 4.30.






222
.
Bi 4.47.Cho x,y là các số thực dơng thay đổi thoả mãn điều kiện
4x y
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thúc:
2 3
2
3 4 2
4x y
A
x y
.
Bi 4.48.Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s :
2
11 7
4 1
2
y x
x x



1 1 1
2 2 2
x y z
S x y z
yz zx xy
.
Các phương pháp và kĩ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp từ các nguồn Internet: Lộc Phú Đa … Việt Trì Phú thọ. 2013-08-30 Page 8 of 24
Bài 4.53: Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng
1 1 1
1
1 1 1x y y z z x
  
     
Bài 4.54:
Bài 4.55:
Bài 4.56 :
Bài 4.57 .
Bài 4.58:
Bài 4.59.
Bài 4.60:
Bài 4.61:
Bài 4.62 :
Bài 4.63 :
Bài 4.64 :
Bài 4.65:
Bài 4.66:
Bài 4.67 :
Các phương pháp và kĩ thuật giải bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp các nguồn trên Internet: Lộc Phú Đa - Việt trì – Phú Thọ … 2013-08-30 … Trang: 9

Bài 4.91.
Bài 4.92.
Bài 4.93:
Bài 4.94.
Bài 4.95.
…………………………………………………
(DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER)
Bài 4.96:
Bài 4.97:
Các phương pháp và kĩ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp từ các nguồn Internet: Lộc Phú Đa … Việt Trì Phú thọ. 2013-08-30 Page 12 of 24
Bài 4.98:
Bài 4.99:
Bài 4.100:
** KĨ THUẬT ĐÁNH GIÁ ĐƯA VỀ CÙNG MẪU ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
Bài 4.101:
Bài 4.102:
Bài 4.103:
…………………………………………………………………………………
5.Phương pháp sử dụng đạo hàm
Bài 5.1: (KB-2003)
Bài 5.2: (DB KB-2003)
Bài 5.3: ( KD-2003)
Bài 5.4.: (KB-2004)
Bài 5.5.Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện
 
2 2
2 1x y xy  
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức

x y x y
P
x y
  

 
Bài 5.9: .Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức S = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy.
Bài 5.10.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
3 3
1 1
A
x y
 
víi
0, 0x y 
thay ®æi vµ
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (x+y) xy = x
2
+y
2
- xy .
Bài 5.11:(KB-2006)
Bài 5.12.KB-2007)
Bài 5.13. KD-2007)
Bài 5.14. .KB-2008)

Bài 5.31:(KB-2013)
Bài 5.32:( KD-2013)
Bài 5.33:
Bài 5.34:
Bài 5.35:(KB-2009)
Bài 5.36 ( KD-2009)
Bài 5.37. Cho x, y, z
0
thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 
3 3 3
3
16x y z
P
x y z
 

 
Bài 5.38:(CĐ- 2008)
Các phương pháp và kĩ thuật giải bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp các nguồn trên Internet: Lộc Phú Đa - Việt trì – Phú Thọ … 2013-08-30 … Trang: 15
Bài 5.39.
Bài 5.40.
Bài 5.41.
Bài 5.42: Cho x,y,z lµ c¸c sè d¬ng .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
   
 
     
   
 

Bài 8.4:
Bài 8.5:
…………………………………………………………
Các phương pháp và kĩ thuật giải bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp các nguồn trên Internet: Lộc Phú Đa - Việt trì – Phú Thọ … 2013-08-30 … Trang: 17
II- KỸ THUẬT GIẢM BIẾN TRONG CÁC BÀI TOÁN
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤTCỦA MỘT BIỂU THỨC
1- Bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp thế:
Bài II.1.1:
Bài II.1.3:
Bài II.1.4:
Bài II.1.5:
Bài II.1.6:
Bài II.1.7:
Bài II.1.8:
Bài II.1.9:
Bài II.1.10.
HD II.1.0:
Bài II.1.11:
Bài II.1.12.
Bài II.1.13
Các phương pháp và kĩ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp từ các nguồn Internet: Lộc Phú Đa … Việt Trì Phú thọ. 2013-08-30 Page 18 of 24
2- Bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức đối xứng.
Bài II.2.1.
Bài II.2.2.Cho 2 số thực x, y thoả
2 2
2x xy y  
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P = x

– 4) + y
2
(y
2
– 4) + 2(x
2
y
2
– 4).
Các phương pháp và kĩ thuật giải bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp các nguồn trên Internet: Lộc Phú Đa - Việt trì – Phú Thọ … 2013-08-30 … Trang: 19
Bài II.2.17.:
Bài II.2.18:
Bài II.2.19:
Bài II.2.20:
Bài II.2.21:
Bài II.2.22:
Bài II.2.24:
Bài II.2.25:
Bài II.2.26:
Bài II.2.27:
Bài II.2.28. :
Bài II.2.29.
Bài II.2.30.
Bài II.2.31.
Bài II.2.32.
…………………………………………………………
3- Bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức có thể hiện tính đẳng cấp
Bài II.3.1:
Bài II.3.2:

Bài II.4.14.
Bài II.4.15:
Bài II.4.16:
Bài II.4.17.
Bài II.4.18
Các phương pháp và kĩ thuật tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp từ các nguồn Internet: Lộc Phú Đa … Việt Trì Phú thọ. 2013-08-30 Page 22 of 24
Bài II.4.19:
Bài II.4.20.
Bài II.4.21:
Bài II.4.22:
Bài II.4.23.
Bài II.4.24.
Bài II.4.25.
Bài II.4.26.
Bài II.4.27
Bài II.4.28.
Bài II.4.29.
Bài II.4.30
Bài II.4.31.
Bài II.4.32.
Bài II.4.33.
Các phương pháp và kĩ thuật giải bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Tổng hợp các nguồn trên Internet: Lộc Phú Đa - Việt trì – Phú Thọ … 2013-08-30 … Trang: 23
Bài II.4.34. (KB-2007)
Bài II.4.35. (DB.A-2009)
Bài II.4.36. (K.A-2011)
Bài II.4.37.
Bài II.4.38.
Bài II.4.39.(KA-2012)