Hàm chỉnh hình

Chương 2. Hàm chỉnh hình Nguyễn Thủy Thanh

Cơ sở lý thuyết hàm biến phức. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006.
Tr 105-187.

Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Hàm khả vi, Hàm chỉnh hình, Ánh xạ
bảo giác, Ánh xạ chỉnh hình,
Hàm Jukovski, Đẳng cấu.
.

Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục

.
ng 108
2.1.3 H`am C - kha
’
vi 110
2.1.4 Mˆo
´
i liˆen hˆe
.
gi˜u
.
a C - kha
’
vi v`a R
2
- kha
’
vi . . . . . 114
2.1.5 H`am chı
’
nhh`ınh 115
2.1.6 Khˆong gian c´ac h`am chı
’
nhh`ınh 121
2.2 Mˆo
.
tsˆo
´
h`am chı
’

.
cˆa
´
pkh´ac 131
2.2.7 Nh´anh chı
’
nh h`ınh cu
’
a h`am da tri
.
134
2.3 H`am chı
’
nh h`ınh v`a ´anh xa
.
ba
’
o gi´ac . . . . . . . 138
106 Chu
.
o
.
ng 2. H`am chı
’
nh h`ınh
2.3.1
´
Y ngh˜ıa h`ınh ho
.
ccu

chı
’
nh h`ınh . . . . . . . 143
2.4 C´ac d
˘a
’
ng cˆa
´
uso
.
cˆa
´
p 146
2.4.1 D
-
˘a
’
ng cˆa
´
u phˆan tuyˆe
´
nt´ınh 147
2.4.2
´
Anh xa
.
w = e
z
v`a z = log w 160
2.4.3 H`am Jukovski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

´
nph´u
.
cb˘a
`
ng d
iˆe
`
ukiˆe
.
n C - kha
’
vi s˜e du
.
a
d
ˆe
´
nl´o
.
p c´ac h`am chı
’
nh h`ınh. D
i
.
nh ngh˜ıa t´ınh C - kha
’
vi cu
’
a h`am biˆe

c. Tuy c´o su
.
.
“giˆo
´
ng nhau” bˆe
`
ngo`ai d
´o, gi˜u
.
a hai kh´ai niˆe
.
m n`ay tˆo
`
n
ta
.
inh˜u
.
ng su
.
.
kh´ac nhau rˆa
´
tcˆo
´
tyˆe
´
u m`a ta s˜e thˆa
´

thu
.
.
c ho˘a
.
cph´u
.
c
x´ac d
i
.
nh trong D, z
0
= x
0
+ iy
0
∈ D.
Ta c´o d
i
.
nh ngh˜ıa sau dˆay.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.1.1. H`am f d
u
.
o

.
.
c h v`a k sao cho v´o
.
i h v`a
k d
u
’
b´e sˆo
´
gia cu
’
a f tho
’
a m˜an hˆe
.
th ´u
.
c
f(x
0
+ h, y
0
+ k) − f(x
0
,y
0
)=Ah + Bk + ε(h,k)ρ,
2.1. H`am kha
’

0
∈ D th`ı c´ac h˘a
`
ng sˆo
´
A
v`a B (thu
.
.
c ho˘a
.
cph´u
.
c) du
.
o
.
.
c x´ac di
.
nh duy nhˆa
´
t v`a tu
.
o
.
ng ´u
.
ng b˘a
`

∂y
(x
0
,y
0
)k (2.1)
d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`avi phˆan cu
’
a h`am f ta
.
idiˆe
’
m(x
0
,y
0
).
B˘a
`
ng c´ach su
.
’

,y
0
)dy.
Ta lu
.
u´yr˘a
`
ng nˆe
´
u c´ac da
.
o h`am riˆeng tˆo
`
nta
.
i trong mˆo
.
t lˆan cˆa
.
n n`ao d´o
cu
’
adiˆe
’
m(x
0
,y
0
) v`a liˆen tu
.

’
vi
liˆen tu
.
c trong miˆe
`
nd
´o.
Bˆay gi`o
.
ta x´et vi phˆan
df =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy. (2.2)
Dˆo
´
iv´o
.
i c´ac h`am z = x + iy v`a z = x −iy ta c´o
dz = dx + idy, dz = dx −idy
v`a do d´o
dx =
1
2
(dz + d
z),dy=

∂f
∂x
+ i
∂f
∂y

dz.
108 Chu
.
o
.
ng 2. H`am chı
’
nh h`ınh
B˘a
`
ng c´ach d˘a
.
t
∂f
∂z
=
1
2

∂f
∂x
− i
∂f
∂y

∂z
−
∂f
∂z

v`a c´o thˆe
’
viˆe
´
tbiˆe
’
uth´u
.
c vi phˆan cu
’
a h`am R
2
- kha
’
vi du
.
´o
.
ida
.
ng
df =
∂f
∂z
dz +

∂f
∂z
·
Ch´u
.
ng minh. V`ı dz = dx + idy, dz = dx −idy nˆen
df =(A + B)dx + i(A − B)dy.
T`u
.
d´othudu
.
o
.
.
c
A + B =
∂f
∂x
; i(A −B)=
∂f
∂y
·
Gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.

vi ta
.
idiˆe
’
m z
0
∈ D v`a ∆f l`a sˆo
´
gia cu
’
a n´o ta
.
i
diˆe
’
m z
0
´u
.
ng v´o
.
i∆z =∆re
iα
.
Ta th`anh lˆa
.
pty
’
sˆo
´

vi 109
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.1.2. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
aty
’
sˆo
´
∆f
∆z
khi ∆z → 0m`aϕ = lim
∆z→0
(arg ∆z)
du
.
o
.
.
cgo
.
il`ada
.
o h`am cu

.
vˆa
.
y
∂f
∂z
ϕ
= lim
ϕ=const
∆z→0
∆f
∆z
·
Ta c´o di
.
nh l´y sau dˆay:
D
-
i
.
nh l´y 2.1.2. Gia
’
su
.
’
f l`a h`am R
2
- kha
’
vi. Khi d´otˆa

.
i tˆam
ta
.
idiˆe
’
m
∂f
∂z
v`a b´an k´ınh b˘a
`
ng



∂f
∂z



.
Ch´u
.
ng minh. Theo gia
’
thiˆe
´
t ta c´o f l`a h`am R
2
- kha

.
o
.
.
c
∂f
∂z
ϕ
= lim
∆f
∆z
=
∂f
∂z
+
∂f
∂z
e
−2iϕ
. (2.7)
Cˆong th´u
.
c (2.7) ch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng c´ac gi´a tri
.

∂f
∂z
v`a b´an k´ınh
b˘a
`
ng



∂f
∂z



.
Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pd˘a
.
cbiˆe
.
t quan tro
.
ng l`a tru
.

∂f
∂z
(z
0
).
110 Chu
.
o
.
ng 2. H`am chı
’
nh h`ınh
2.1.3 H`am C - kha
’
vi
Gia
’
su
.
’
D l`a miˆe
`
ncu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.

iˆe
’
m z
0
∈ D nˆe
´
utˆo
`
n
ta
.
i gi´o
.
iha
.
n
lim
h → 0
h =0
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
v`a ta n´oi r˘a
`
ng h`am f c´o d
a
.

)
dz
= lim
h → 0
h =0
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
· (2.8)
D
i
.
nh ngh˜ıa 2.1.3 d`oi ho
’
ir˘a
`
ng gi´o
.
iha
.
n (2.8) pha
’
itˆo
`
nta
.
idˆo



f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
− f

(z
0
)



<ε (2.9)
d
u
.
o
.
.
c tho
’
a m˜an. Nhu
.
vˆa
.
ytad

`
nt´o
.
ic`ung mˆo
.
t gi´o
.
iha
.
n.
T`u
.
hˆe
.
th ´u
.
c (2.9) c˜ung suy ra r˘a
`
ng nˆe
´
u h`am f(z) c´o d
a
.
o h`am ta
.
idiˆe
’
m z
0
th`ı n´o liˆen tu

a gi´o
.
iha
.
n trong miˆe
`
n
ph´u
.
c suy r˘a
`
ng c´ac quy t˘a
´
cco
.
ba
’
nd
ˆe
’
t´ınh da
.
o h`am cu
’
atˆo
’
ng, t´ıch v`a thu
.
o
.

du
.
o
.
.
cba
’
o to`an d
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac h`am biˆe
´
nph´u
.
c.
Bˆay gi`o
.
ta chuyˆe
’
n sang x´et vˆa
´
ndˆe
`
tu
.
.
nhiˆen l`a: t´ınh C - kha
’

D
-
i
.
nh l´y 2.1.3. Gia
’
su
.
’
h`am
f(z)=u(x, y)+iv(x, y)
l`a C - kha
’
vi ta
.
id
iˆe
’
m z = x + iy. Khi d´ota
.
idiˆe
’
m (x, y) h`am u(x, y) v`a
v(x, y) c´o c´ac da
.
o h`am riˆeng theo biˆe
´
n x v`a y tho
’
a m˜an diˆe

ukiˆe
.
n Cauchy - Riemann.
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’
h`am w = f(x) x´ac di
.
nh trong miˆe
`
n D ⊂ C v`a c´o da
.
o
h`am ta
.
idiˆe
’
m z ∈ D:
f

(z) = lim
∆z→0
f(z +∆z) − f(z)
∆z
= lim
∆z→0

ub˘a
`
ng mˆo
.
t gi´a tri
.
l`a f

(z). Do d´o gi´o
.
iha
.
nˆa
´
y pha
’
itˆo
`
nta
.
i trong
hai tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p riˆeng sau
a) ∆z =∆x + i0=∆x v`a ∆x → 0.

v(x +∆x, y) −v(x, y)
∆x
=
∂u
∂x
(x, y)+i
∂v
∂x
(x, y). (2.12)
112 Chu
.
o
.
ng 2. H`am chı
’
nh h`ınh
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pth´u
.
hai:
f

(z) = lim
∆y→0

∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
=
∂v
∂y
− i
∂u
∂y
⇔
∂u
∂x
=
∂v
∂y
∂u
∂y
= −
∂v
∂x







D

ng ho
.
n nhiˆe
`
u
so v´o
.
ic´achˆe
.
qua
’
thu du
.
o
.
.
ct`u
.
t´ınh C -liˆen tu
.
c. Ngo`ai viˆe
.
c c´ac h`am u(x, y)
v`a v(x, y) c´o c´ac d
a
.
o h`am riˆeng cˆa
´
p 1, c´ac da
.

i l`a h`am kha
’
vi cu
’
a z.
T`u
.
d´o, c´ac hˆe
.
th ´u
.
c Cauchy - Riemann (2.10) lˆa
.
p th`anh diˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
n dˆe
’
h`am f(z)l`aC - kha
’
vi. Tuy nhiˆen d
´o khˆong pha
’
il`adiˆe
`
ukiˆe
.

v`a d
iˆe
`
ukiˆe
.
n Cauchy - Riemann tho
’
a m˜an. Nhu
.
ng h`am f(z) khˆong C kha
’
vi
ta
.
idiˆe
’
m z = 0. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o
f(z)
z
=

|xy|
x + iy
v`a nˆe
´
u x = αr, y = βr trong

´
t v`a h`am khˆong C - kha
’
vi.
2.1. H`am kha
’
vi 113
V´ıdu
.
n`ay ch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng h`am f(z) c´o thˆe
’
khˆong C - kha
’
vi nˆe
´
uhˆe
.
ty
’
sˆo
´
f(z) − f(z
0
)

´
n gi´o
.
iha
.
n
theo mˆo
.
tl´o
.
pc´acdu
.
`o
.
ng d˘a
.
cbiˆe
.
t n`ao d´o. Ch˘a
’
ng ha
.
n, ta x´et h`am
f(z)=





xy

.
`o
.
ng
th˘a
’
ng n`ao qua gˆo
´
cto
.
adˆo
.
.Nhu
.
ng trˆen du
.
`o
.
ng cong x = y
2
ta c´o
f(z) − f(0)
z
=
y
4
y
4
+ y
4

´
t
thˆem r˘a
`
ng ca
’
bˆo
´
nda
.
o h`am riˆeng cˆa
´
p1cu
’
a h`am u( x, y)v`av(x, y)dˆe
`
utˆo
`
nta
.
i
trong lˆan cˆa
.
nd
iˆe
’
m(x,y) v`a liˆen tu
.
cta
.

a
.
o h`am ta
.
idiˆe
’
m z = x + iy.
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’
c´ac h`am u v`a v c´o c´ac da
.
o h`am riˆeng liˆen tu
.
cta
.
idiˆe
’
m
(x, y). Khi d´o u v`a v kha
’
vi ta
.
idiˆe
’
md´o, t´u

∆x +
∂u
∂y
∆y + o
1
(ρ),ρ→ 0
∆v = v(x +∆x, y +∆y) − v(x, y)=
∂v
∂x
∆x +
∂v
∂y
∆y + o
2
(ρ),ρ→ 0
trong d
´o ρ = |∆z| =

∆x
2
+∆y
2
, o
1
(ρ)v`ao
2
(ρ)(ρ → 0) l`a nh˜u
.
ng vˆo c`ung
b´e cˆa

(ρ)+io
2
(ρ)=o(ρ)(ρ → 0) ta c´o
∆f
∆z
=
∆u + i∆v
∆x + i∆y
=
∂u
∂x
∆x +
∂u
∂y
∆y + i

∂v
∂x
∆x +
∂v
∂y
∆y

∆x + i∆y
+
o(ρ)
∆z
=
∂u
∂x




=
ρ
|∆z|
= 1 v`a lim
ρ→0
o(ρ)
ρ
=0nˆen t`u
.
d´o suy r˘a
`
ng
lim
∆z→0
∆f
∆z
=
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
t´u
.
c l`a ta
.
idiˆe

’
biˆe
’
udiˆe
˜
ndu
.
´o
.
ida
.
ng go
.
n g`ang
ho
.
nnˆe
´
u ta su
.
’
du
.
ng kh´ai niˆe
.
mda
.
o h`am h`ınh th´u
.
c trong 1. v`a 2.

’
md´odˆe
`
utr`ung nhau v`a b˘a
`
ng
∂f
∂z
·
Ch´ınh x´ac ho
.
n ta c´o
D
-
i
.
nh l´y 2.1.5. H`am R
2
- kha
’
vi f trong miˆe
`
n D l`a h`am C - kha
’
vi trong
miˆe
`
nd´o khi v`a chı
’
khi n´o tho

i khˆong phu
.
thuˆo
.
c v`ao phu
.
o
.
ng ph´ap dˆa
`
n∆z d
ˆe
´
n 0, v`a
ta c´o
∆f = f

(z
0
)∆z + ε(∆z),
2.1. H`am kha
’
vi 115
trong d´o lim
∆z→0
ε(∆z)=0. T`u
.
d
´or´ut ra
df = f

∂f
∂z
+ ε(∆z),
trong d´o lim
∆z→0
ε(∆z)=0. T`u
.
d
´o thˆa
´
y r˜o l`a gi´o
.
iha
.
n (2.8) tˆo
`
nta
.
iv`a
f

(z
0
)=
∂f
∂z
·
Diˆe
`
ukiˆe

+ i
∂f
∂y
= 0 (2.15)
v`a nhu
.
vˆa
.
y ta c´o d
i
.
nh l´y sau dˆa y .
D
-
i
.
nh l´y 2.1.6. H`am f l`a C - kha
’
vi ta
.
imˆo
.
td
iˆe
’
mn`aod´o khi v`a chı
’
khi n´o
l`a R
2

T`u
.
t´ınh C - kha
’
vi d˜a d u
.
o
.
.
cdi
.
nh ngh˜ıa ta chu
.
athˆe
’
r´ut ra nh˜u
.
ng kˆe
´
t luˆa
.
n
m`a ch´ung ta mong muˆo
´
n khi n´oi dˆe
´
ntˆa
`
m quan tro
.

.
n n`ao d
´ocu
’
adiˆe
’
m z
0
.V`ıthˆe
´
ta c´o
116 Chu
.
o
.
ng 2. H`am chı
’
nh h`ınh
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.1.4. 1) H`am f du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a h`am chı

cgo
.
il`a
chı
’
nh h`ınh trong miˆe
`
n D nˆe
´
un´ochı
’
nh h`ınh ta
.
imo
.
id
iˆe
’
mcu
’
amiˆe
`
nˆa
´
y. Tˆa
.
p
ho
.
.

nh
h`ınh ta
.
id
iˆe
’
m z =0.
Phˆa
`
n 2) cu
’
adi
.
nh ngh˜ıa 2.1.4 cho ph´ep ta x´et c´ac h`am chı
’
nh h`ınh trˆen
c´ac tˆa
.
pho
.
.
pcu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng d
´ong C.
Ta nhˆa

ng kh´ac sau dˆay:
“h`am chı
’
nh h`ınh” ≡ “h`am ch´ınh quy” ≡ “h`am gia
’
it´ıchdo
.
n tri
.
”.
T`u
.
d
iˆe
`
ukiˆe
.
n Cauchy - Riemann v`a di
.
nh ngh˜ıa 2.1.4 dˆe
˜
d`ang suy ra
D
-
i
.
nh l´y 2.1.7. Gia
’
su
.

’
nhˆa
.
n gi´a tri
.
thu
.
.
cth`ıf l`a h˘a
`
ng sˆo
´
.
Ch´u
.
ng minh. B˘a
`
ng c´ach t´ınh to´an tru
.
.
ctiˆe
´
ptathudu
.
o
.
.
c
∂
∂z

∂x
,
∂f
∂y
c˜ung chı
’
nhˆa
.
n gi´a tri
.
thu
.
.
c.
Nhu
.
ng m˘a
.
t kh´ac:
∂f
∂x
= i
∂f
∂y
nˆen suy ra
∂f
∂x
≡
∂f
∂y

l`a h`am chı
’
nh h`ınh trong D th`ı h`am ho
.
.
p f[g(z)] chı
’
nh h`ınh
trong D,
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
tvˆa
.
y, dˆe
˜
thˆa
´
yr˘a
`
ng
∂[f(g)]
∂z
=
∂f
∂w
·
∂g
∂z

nh h`ınh ´anh xa
.
d
o
.
n tri
.
mˆo
.
t
-mˆo
.
tmiˆe
`
n D lˆen miˆe
`
n D
∗
.Diˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a theo h`am d˜a cho mˆo
˜
i z ∈ D
dˆe
`
utu
.
o
.
ng ´u

imˆo
.
t gi´a tri
.
z ∈ D.T`u
.
d´o x´ac di
.
nh du
.
o
.
.
c h`am
d
o
.
n tri
.
z = ϕ(w), w ∈ D
∗
c´o t´ınh chˆa
´
tl`af[ϕ(w)] = w, w ∈ D
∗
.Nhu
.
ta biˆe
´
t

Thˆa
.
tvˆa
.
y, gia
’
su
.
’
w, w +∆w ∈ D
∗
. Nh`o
.
h`am ngu
.
o
.
.
c, c´ac d
iˆe
’
m n`ay tu
.
o
.
ng
´u
.
ng v´o
.

diˆe
`
u kh˘a
’
ng di
.
nh ngu
.
o
.
.
cla
.
i: ∆z → 0nˆe
´
u∆w → 0. Nhu
.
ng khi d´o
lim
∆w→0
∆z
∆w
= lim
∆z→0
1
∆w
∆z
=
1
f

m w
v`a b˘a
`
ng
ϕ

(w)=
1
f

(z)
,w∈ D
∗
.
V`ı w l`a d
iˆe
’
mt`uy ´y cu
’
a D
∗
, f

(z)liˆen tu
.
cv`af

(z) = 0 nˆen h`am ϕ(w)chı
’
nh

.
c z lˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c w. H`am
ngu
.
o
.
.
ccu
’
a n´o c´o da
.
ng
z =
w − b
a
·
Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng h`am w = az + b v`a h`am ngu
.

= a, z

w
=
1
a

.
D
-
i
.
nh l´y 2.1.9. Gia
’
su
.
’
cho chuˆo
˜
il˜uy th`u
.
a

n0
a
n
z
n
. (2.16)
Nˆe

(z) = lim
S(z + h) −S(z)
h
· (2.17)
Ch´u
.
ng minh. 1. D
ˆa
`
u tiˆen ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
cu
’
achuˆo
˜
i
d
˜a cho (2.16) l`a R th`ı b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
R

b˘a
`
ng b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
cu
’
a chuˆo
˜
i

n0
na
n
z
n
.
Nhu
.
ng
lim
n→∞
n

n|a
n
| = lim
n→∞
n

=

lim
n→∞
n

|a
n
|

−1
= R.
2. Gia
’
su
.
’
z l`a diˆe
’
mcˆo
´
di
.
nh t`uy ´y n˘a
`
m trong h`ınh tr`on |z| <R. Khi d´o
c´o thˆe
’
chı
’

+ ···+ z
n−1
cho nˆen



S(z +∆z) −S(z)
∆z
− S
0
(z)








m

n=1
a
n

(z +∆z)
n−1
+ z(z +∆z)
n−2
+ ···+ z



∞

n=m+1
na
n
z
n−1



. (2.19)
X´et d
iˆe
’
m z
∗
= R
1
.V`ıdiˆe
’
m z
∗
= R
1
n˘a
`
m trong h`ınh tr`on hˆo
.

.
∞

nm+1
n|a
n
|R
n−1
1
<
ε
3
· (2.20)
Do d
´ov´o
.
i m>M,t`u
.
(2.20) thu du
.
o
.
.
c



∞

n=m+1

(z +∆z)
n−1
+ z(z +∆z)
n−2
+ ···+ z
n−1






∞

n=m+1
n|a
n
|R
n−1
1
<
ε
3
· (2.22)
120 Chu
.
o
.
ng 2. H`am chı
’

n
z
n−1
suy r˘a
`
ng v´o
.
isˆo
´
ε>0d˜a c h o
.
n, t`ım du
.
o
.
.
csˆo
´
δ = δ(ε) > 0 sao cho v´o
.
i
|∆z| < min(δ; |R
1
−z|)th`ı



m

n=1


S(z +∆z) −S(z)
∆z
− S
0
(z)



<
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε.
Do d
´o
S
0
(z) = lim
∆z→0
S(z +∆z) −S(z)
∆z
= S

(z).

c t = z − z
0
, z
0
=0chuˆo
˜
i

n0
a
n
(z −z
0
)
n
du
.
o
.
.
cquyvˆe
`
chuˆo
˜
i

n≥0
a
n
t

h`ınh trong h`ınh tr`on hˆo
.
itu
.
|z −z
0
| <Rcu
’
a chuˆo
˜
id´ov`ada
.
o h`am f

(z) du
.
o
.
.
c
t`ım theo cˆong th´u
.
c
f

(z)=

n1
na
n

.
p c´ac h`am chı
’
nh h`ınh trong D.
Khˆong d
i sˆau v`ao chi tiˆe
´
t (viˆe
.
cd´o d`anh cho bˆo
.
mˆon tˆopˆo ho
.
c), o
.
’
dˆay chı
’
ph´ac qua viˆe
.
c x´ac d
i
.
nh tˆopˆo trong C(D). Dˆo
´
iv´o
.
itˆa
.
pho

d˜a c h ´u
.
ng minh r˘a
`
ng (xem [10], trang 188-191) nˆe
´
u {K
n
} l`a d˜ay c´ac tˆa
.
pho
.
.
p
comp˘a
´
ccu
’
amiˆe
`
n D : K
i
⊂ K
i+1
,
∞

i=1
◦
K

v`a ε nhu
.
vˆa
.
yl`ahˆe
.
lˆan cˆa
.
nco
.
so
.
’
cu
’
a phˆa
`
ntu
.
’
0(t´u
.
cl`af ≡ 0) v`a s˜e x´ac di
.
nh mˆo
.
t tˆopˆo
m`a v´o
.
i tˆopˆo d´o C(D) l`a mˆo

Diˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa r˘a
`
ng d˜ay f
n
∈C(D) c´o gi´o
.
iha
.
n l`a mˆo
.
tdiˆe
’
m trong tˆopˆo
m`a V (K, ε)lˆa
.
p th`anh hˆe
.
lˆan cˆa
.
nco
.
so
.
’
cu
’
a f ≡ 0.
V`ı H(D) l`a khˆong gian con cu

´ap du
.
ng cho khˆong gian C(D)v`aH(D)nh˜u
.
ng
di
.
nh l´y quen thuˆo
.
cvˆe
`
khˆong gian mˆetric. Ch˘a
’
ng ha
.
n, tˆa
.
pho
.
.
p con A cu
’
a
khˆong gian E l`a d´ong khi v`a chı
’
khi gi´o
.
iha
.
ncu

-
ath´u
.
c v`a h`am h˜u
.
uty
’
Dˆe
’
´ydˆe
´
n c´ac d˘a
’
ng th´u
.
c
d(const)
dz
=0,
dz
dz
= 1 v`a c´ac quy t˘a
´
c t´ınh da
.
o h`am
ta c´o thˆe
’
kˆe
´

z
n−k−1
.
C´ac h`am h˜u
.
uty
’
R(z)=
P (z)
Q(z)
, trong d´o P (z)v`aQ(z) l`a c´ac dath´u
.
c,
chı
’
nh h`ınh ∀z ∈ C \ N(Q), trong d
´o N(Q)={z ∈ C : Q(z)=0}. Ch˘a
’
ng
ha
.
n, h`am phˆan tuyˆe
´
n t´ınh w =
az + b
cz + d
chı
’
nh h`ınh ∀z ∈ C \


z
1
= |z
1
|e
iϕ
1
, z
2
= |z
1
|e
iϕ
2
.T`u
.
d´o
w
1
− w
2
= |z
1
|
n

e
inϕ
1
−e

ng z
1
v`a z
2
c´o c`ung mˆo
.
ta
’
nh khi v`a chı
’
khi
ϕ
1
− ϕ
2
= k ·
2π
n
,k∈ Z .
Do vˆa
.
y, h`am w = z
n
do
.
ndiˆe
.
p trong miˆe
`
n D n`ao d´o khi v`a chı

k, k ∈ Z.
2.2. Mˆo
.
tsˆo
´
h`am chı
’
nh h`ınh so
.
cˆa
´
p 123
V´ıdu
.
vˆe
`
miˆe
`
ndo
.
ndiˆe
.
pcu
’
a h`am w = z
n
l`a c´ac h`ınh qua
.
t vˆo ha
.

c
to
.
adˆo
.
θ = θ
k
=
2π
n
k, k =0, 1, ,n− 1.
Gia
’
su
.
’
D
k
l`a h`ınh qua
.
t
θ
k
<θ<θ
k+1
,ρ>0.
t´u
.
cl`a
D

k+1
,ρ>0

.
Tiˆe
´
p theo ta d
˘a
.
t
θ = θ
k
+ ψ,θ
k
 θ<θ
k+1
.
T`u
.
d
´onˆe
´
u0 ψ<θ
1
=
2π
n
th`ı θ
k
 θ<θ

lˆen
to`an bˆo
.
m˘a
.
t ph˘a
’
ng
C
∗
= C
∗
w
=

w ∈ C : w = re
iϕ
, 0  ϕ<2π

.
Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o
re
iϕ
= ρ
n
e

ng 2. H`am chı
’
nh h`ınh
v`a t`u
.
d
´o ta thu du
.
o
.
.
ca
’
nh cu
’
a D
∗
k
l`a m˘a
.
t ph˘a
’
ng C
∗
w
.
T`u
.
ch´u
.

.
.
c
z =(z)
k
= ρe
iθ
= r
1
n
e
i
ϕ
+2k
n
,k=0, 1, ,n− 1; w ∈ C
∗
w
. (2.25)
N´oi chung: h`am w = z
n
c´o h`am ngu
.
o
.
.
c n-tri
.
z =
n

,D
∗
1
, ,D
∗
n
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng.
D
ˆe
’
t´ınh da
.
o h`am cu
’
a nh´anh th´u
.
k ta pha
’
i x´et miˆe
`
n D
k
⊂ D
∗

+
w
,
d
ˆo
`
ng th`o
.
i h`am ngu
.
o
.
.
ctu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
u
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh theo cˆong th´u
.

k
=
1

z
n


=
1
nz
n−1
=
z
nw
=
1
n
·
r
1
n
e
i
ϕ+2kπ
n
re
i(ϕ+2kπ)
=
1

= e
x
(cos y + i sin y).
2.2. Mˆo
.
tsˆo
´
h`am chı
’
nh h`ınh so
.
cˆa
´
p 125
Nˆe
´
u z = x l`a sˆo
´
thu
.
.
cth`ıe
z
= e
x
,t´u
.
c l`a khi z nhˆa
.
n c´ac gi´a tri

imˆo
.
tsˆo
´
t´ınh chˆa
´
tdu
.
o
.
.
c nˆeu du
.
´o
.
idˆay s˜e ch´u
.
ng to
’
t´ınh ho
.
.
pl´ycu
’
a
di
.
nh ngh˜ıa h`am m˜ubiˆe
´
nph´u

nh ngh˜ıa v`a hˆe
.
th ´u
.
c e
x
=0,
|e
iy
| =1.
2) e
z
1
· e
z
2
= e
z
1
+z
2
.
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’
z

+ i sin y
2
)
= e
x
1
+x
2

cos(y
1
+ y
2
)+i sin( y
1
+ y
2
)

= e
x
1
+x
2
+i(y
1
+y
2
)
= e

´
t 2).
4) D˘a
’
ng th´u
.
c e
z+α
= e
z
⇔ α =2kπi, k ∈ Z.
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’
α =2kπi, k ∈ Z. Khi d´o ta c´o
e
z+α
= e
z+2kπi
= e
z
· e
2kπi
= e
z
.

=1. Tas˜ech´u
.
ng minh r˘a
`
ng khi d´o λ =0,ν =2kπ,
k ∈ Z.
Thˆa
.
tvˆa
.
y, t`u
.
d˘a
’
ng th´u
.
c e
λ+iν
= 1 suy r˘a
`
ng e
λ
· e
iν
=1v`adod´o e
λ
=1,
ν =2kπ, k ∈ Z;t´u
.
cl`aλ =0,ν =2kπ, k ∈ Z.Nhu

.
.
cgo
.
il`ac´ac chu k`y cu
’
a h`am e
z
v`a sˆo
´
2πi go
.
il`achu k`yco
.
ba
’
n cu
’
a n´o.
5) e
z
khˆong c´o gi´o
.
iha
.
n khi z →∞v`ı lim
x→−∞
e
x
= 0, lim

m`a
z
1
− z
2
=2nπi, n ∈ Z.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
tvˆa
.
y, gia
’
su
.
’
z
1
, z
2
(z
1
= z
2
)c`ung c´o mˆo
.
ta
’
nh. Khi d´ot`u

miˆe
`
ndo
.
ndiˆe
.
pcu
’
ah`amm˜ubiˆe
´
nph´u
.
c l`a c´ac b˘ang vˆo ha
.
n n˘a
`
m
ngang
D
k
=

z ∈ C : −∞ < Re z<+∞;2kπ < Im z<2(k +1)π,k ∈ Z

.
7) H`am e
z
liˆen tu
.
c trˆen C. Thˆa

`
n thu
.
.
c u(x, y)=e
x
cos y v`a
phˆa
`
na
’
o v(x, y)=e
x
sin y dˆe
`
u l`a nh˜u
.
ng h`am kha
’
vi v`a tho
’
a m˜an diˆe
`
ukiˆe
.
n
Cauchy - Riemann, nˆen theo di
.
nh l´y 2.1.4 ta c´o e
z

.
cgo
.
i l`a lˆogarit cu
’
asˆo
´
z ∈ C v`a du
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`a
Ln z = ζ.
Nhu
.
vˆa
.
y
Ln z = ζ ⇔ e
ζ
= z. (2.26)
2.2. Mˆo
.
tsˆo
´
h`am chı
’



x =lnr
y = ϕ +2kπ, k ∈ Z.
Nhu
.
vˆa
.
y
Ln z = ζ = x + iy =lnr + i(ϕ +2kπ),k∈ Z,
hay l`a
Ln z =ln|z| + iarg z +2kπi, k ∈ Z. (2.27)
Ta k´y hiˆe
.
u
ln z =ln|z| + iarg z
v`a go
.
id
´ol`agi´a tri
.
ch´ınh cu
’
aLnz.T`u
.
d´o
Ln z =lnz +2kπi, k ∈ Z.
T`u
.
hˆe

´
u z l`a sˆo
´
thu
.
.
cdu
.
o
.
ng th`ı gi´a tri
.
ch´ınh cu
’
a lˆogarit tr`ung v´o
.
iln|z|
v`a do d
´on´obiˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
thu
.
.
ctr`ung v´o
.
i lˆogarit cˆo

´
c´ac lˆogarit ph´u
.
cdu
.
o
.
.
c t´ınh theo cˆong th´u
.
c (2.27). Ch˘a
’
ng ha
.
n:
Ln 1 = 2kπi,Lne =1+2kπi, .