Ơn Tập chương I
Gi¸o Viªn Phạm Văn Q - 1 - THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1 Tính thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 1 , chiều dài bằng 3 và đường chéo
của hình hộp hợp với mặt đáy một góc 30 .

ĐS: V = 2 (đvtt)

2 Cho hình hộp với sáu mặt đều là hình thoi cạnh a , góc nhọn bằng 60 . Tính thể tích của hình hộp.

ĐS:

3
a2
V
2
(đvtt)


3 Đáy của một hình hộp là một hình thoi có cạnh bằng 6cm và góc nhọn bằng 45 , cạnh bên của hình
hộp dài 10cm và tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 .Tính thể tích của khối hộp .

ĐS: V =180 (đvtt)



   


a3
SAM vuông tại A nên SA = AH.tan = .tan
2
  23
ABC
1 1 a 3 a 3 a
Vậy thể tích hình chóp là V= .S .SA . . .tan tan
3 3 4 2 8
   

6 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc .
Tính thể tích của khối chóp .
Giải
Gọi khối chóp tam giác đều đã cho là S.




(ABC) (ABCD)
ABC nên SA = SB = SC .
Kẻ SH (ABC) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC .
Gọi M là trung điểm BC .
Vì H = hc S AH = hc AS (SA;(ABC)) SAH
SHA vuông tại H có SAH nên AH = S

    
  

Ơn tập chương I
- 2 -

a3
7 Khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , BC = a ; SA = SB = SC = và
2
mặt bên SAB hợp với đáy một góc 60
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) .
b

) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) .
c) Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Giải
a) Dựng SH (ABC)
a3
Ta có : SA = SB = SC = HA = HB = HC
2
H là tâm của đường tròn ngoại





 
2
2 2 2 2 2
(ABC) (ABC)
tiếp ABC
Vì ABC vuông tại A nên H là trung điểm BC .
a 3 a 3a a 2

     
 
  
     



2 2 2
a a 6 a 3 a 3
( ) ( ) AB 2MB
2 6 6 3
     2 2 3
ABC ABC
1 1 a 3 a 6 a 2 1 1 a 2 a 2 a
S .AB.AC . . V .S .SH . .
2 2 3 3 6 3 2 6 2 12
       


8 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a . Gọi B' là
trung điểm của SB , C' là chân đường cao hạ từ A của SAC .
a) Tính thể tích khối chóp
  


   


22

Ơn tập chương I
- 3 -        
    
    


2 2 2 2 2 2 2
22
2
3
SAC vuông cân tại A, ta có : SC = SA AC SA AB BC 3a SC a 3
SA a a 3
SA SC'.SC SC'
SC 3
a3
a2
B'C' SB' 6 a 6
2
B'C'
BC SC 6 6
a3
1 a 3 a 2 a 6 a

đáy ABCD và M là trung điểm của CD.
Cạnh đáy : a = 4 2
1
Mặt bên : S 2 .CD.SM 2 SM 2
2
Chiều cao : SH = SM HM 2 1 1

    
   


ABCD
1 1 4
Vậy thể tích của khối chóp là V = .S .SH .4.1
3 3 3


11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và đường chéo AC = 2 . Biết SA (ABCD) và
cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 . Tính thể
tích của khối chóp S.ABCD .
G




(ABCD) (ABCD)
22

bởi SC và mặt phẳng (SBD) .
d) Tính thể tích khối chóp S.ABCD .

Ơn tập chương I
- 4 -
BCD
2
2 2 2 2
BCD
Giải
a) Ta có : SA (ABCD) . Gọi H là tâm của hình vuông ABCD .
1
Nối S và H thì SH BD (Đlí 3 đ ) nên S .BD.SH
2
a 2 a 6 1 a 6 a 3
ASH vuông tại A : SH SA AH a ( ) = S .a 2.
2 2 2 2 2

  
       





(SBD)
BD AC ( hai đường chéo hình vuông)

b) Tính cosin của góc nhò diện (SBA,SAD) .

2
22
tp ABCD SAB
3
2 2 2 2 2
ABCD
HD
a3
a) S S 4.S a 4. (1 3)a .
4
1 a 2 a 2 1 a 2 a 2
V = .S .SH , ta có : SH = SA HA a ( ) V= .a . =
3 2 2 3 2 6
     
    




b) Gọi M là trung điểm của SA , ta có : BM SA và DM SA = BMD là góc phẳng của nhò diện
(SAB,SAD) .
   

  
2 2 2
2 2 2 2
Áp dụng đlí hàm số cosin trong BMD ta được :
3a 3a 3a 1



Ơn tập chương I
- 5 -

23
ABCD
HD
Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt
đáy ABCD và M là trung điểm của CD thì SMH
a
SH HM.tan tan
2
1 1 a 1
V .S .SH .a . tan a tan
3 3 2 6

   
    

15 (YHN-2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh
đáy AB = a và SAB . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và .
HD
Gọi H là tâm của đáy ABCD và M là trung điểm AB
  
đlí 3 đ
(ABCD) (ABCD)

     

      

16 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao bằng a và các mặt bên là tam giác cân có góc ở
đỉnh bằng .


2 2 2 2 2
2
2 2 2
HD
Gọi BSH = . Áp dụng đl cosin vào SBD và SBC :
BD 2SB (1 cos2 ) BC 2SB .sin
sin 1 cos
BC 2SB (1 cos ) cos cos
  

     
    

      




2
2 2 2 2 2 2
ABCD
2


17 Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a .
Giải
Gọi khối tám mặt đều đã cho là ABCDE và O là tâm của hình
vuông BCDE có cạnh bằng a .
Vì mặt BCDE chia khối tám mặ
3
2
ABCDEF ABCDE BCDE
t đều thành hai phần bằng nhau nên :
1 1 a 2 a 2
V = 2.V 2. .S .AO 2. .a .
3 3 2 3
  

Ơn tập chương I
- 6 - 18 Cho hình lập phương có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là tâm của
các mặt hình lập phương .
Giải . Khối lập phương có cạnh bằng a . Khi đó khối tám mặt đều được tạo thành có mặt chéo ABFD
a2
có AF = a , BD = a . Dó đó : các cạnh bằng nhau và bằng
2
Thật vậy : AOB vuông tại O là tâm của khối tám mặt đều , cạnh :


2 2 2 2
3

2 2 2
a
PRQ vuông tại R và PQ = RP RQ 2RP PQ
2
a a a 2
RP cạnh RP = đường cao AO = .
4 2 4
Mặt BCDE chia khối tám mặt đều thành hai phần bằng nhau nên :
V = 2
   
    
   
3
2
A.BCDE BCDE
1 1 a a 2 a 2
.V 2. .S .AO 2. .( ) .
3 3 2 4 24
  

a5
20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD 60 , SA = SC = , SB = SD.
2
a) Tính thể tích của khối chóp .


tp

b) Chứng minh rằng : (SAC) (SBD) .
c) Tính S của hình chóp .

  




22
22
2
ABCD ABD
23
ABCD
5a 3a a 2
, ta có : SO = SA AC
4 4 2
1 1 a 2 a 3
S 2S 2. .OA.BD 2. . .a
2 2 2 2
1 1 a 2 a 3 a 6
V = .SO.S . .
3 3 2 2 12
b) Chứng minh : (SAC) (SBD)
AC BD (đ/c hình thoi)
Ta có : AC SO ( vì SO (ABCD))
SO
   
   
  




22
SCD
2 2 2
tp
D)(p SC)(p DC)
a
p SD ( 5 2 3) (1)
4
a
p SC ( 3 5 2) (2)
4
a
p DC ( 3 5 2) (3)
4
a 11
aa
Vậy : S [( 3 5) 2][4 ( 3 5) 60 16
16 16 8
a 11 a 3 a
S ( 11 3)
2 2 2

   
   
   
       
    

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
23

Ơn tập chương I
- 8 -
2 2 2
2
2
2
xq
3
tp xq đáy
x y 13 169
(x y) 2xy 169
Theo đề :
1
xy 60
xy 30
2
(x y) 169 2xy 289 x y 17
Vậy : S CVi đáy cạnh bên = (17+13) 20 = 600cm
S S 2.S 600 2.30 660cm

  


  





(ABC) (ABC)
rụ là ABC.A'B'C' . Kẻ A'H (ABC) tại H .
Ta có : H = hc A' AH = hc AA' (AA';(ABC)) A'AH 30
Đáy ABC có nửa chu vi : p = 21 .
Diện tích : S = 21(21 13)(21 14)(21 15) 84
A'HA vuông tại

   
   


1
H : A'H = AA'.sin30 8. 4
2
Thể tích : V = S.h = 336



5 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 19,20,37, chiều cao của khối lăng trụ bằng trung
bình cộng của các cạnh đáy . Tính thể tích của khối lăng trụ .
Giải
Nửa 
19 20 37
chu vi đáy : p = 38
2
Diện tích đáy : S = 38(38 19)(38 20)(38 37) 114
19 20 37 76
Chiều cao : h =
33

a) Tính AC'
ABC vuông tại A nên AB = AC.tan60 a 3
Ta có : AB AC,AB AA' AB (AA'C'C) A= hc B
AC'= hc BC' (BC';(AA'C'C)) BC'A 30

    
   





Ơn tập chương I
- 9 -
2 2 2 2
2
ABC
2
3
ABC.A B C ABC
AB a 3
AC'B vuông tại A AC' = 3a
1/ 3
tan30
b) AA'= AC' A'C' (3a) a 2 2a
a3
S

trụ này .
Giải
Theo đề : A'I (ABC)
A'I là đường cao của khối lăng trụ nên V = A'I.S
a3
ABC đều có đường cao AI =
2






(ABC) (ABC)
23
ABC
Vì I = hc A' AI = hc AA'
(AA';(ABC)) A'AI 60
a 3 3a
A'IA vuông tại I nên A'I = AI.tanA'IA .3
22
3a a 3 3 3a
Vậy : V = A'I.S .
2 4 8

  
  




b) Vì BC AO nên BC AA' hay BC BB' . Vậy : BB'C'C là hình chữ nhật
c) Gọi H là trung điểm của AB . Ta có :
a3
S 2.S S 2.A'H.AB BB'.BC (2 13 )
3
  
     

10 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại B và AB = a , BC = 2a , AA' = 3a.
Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với CA' lần lượt cắt các đoạn thẳng CC' và BB' tại M và N .

Ơn tập chương I
- 10 -
3
C.A'AB A'.ABC ABC
a) Tính thể tích khối chóp C.A'AB .
b) Chứng minh rằng : AN A'B .
c) Tính thể tích khối tứ diện A'.AMN .
d) Tính diện tích AMN .
Giải
11
a) V V .S .AA' .a.2a.3a a
36
b) Ta có :


   

a3
a) Chứng minh rằng : AB' = .
2sin
b) Tính diện tích xung quanh của lăng



trụ .
c) Tính thể tích của lăng trụ .
Giải
a) Gọi I là trung điểm của BC .
AI BC
Ta có : AI (BB'C'C) AB'I và AI B'I
AI BB'
AI a 3
AB'I vuông tại I , ta có : AB' = .
sin 2sin
b) AB'


     






22
2 2 2 2 2
22



22
a) Chứng tỏ rằng BIC là tam giác vuông cân .
b) Chứng minh : tan + tan 1  

(ABC) (ABC)
Giải
a) Gọi H là trung điểm của BC .
ABC cân tại A nên AH BC (1)
Mặt khác : AI (ABC) A = hc I AH = hc IH (2)
Từ (1) , (2) suy ra : IH BC ( Đlí 3 đường )

  


BIC vuông tại I , có đường cao IH vừa là trung tuyến nên cân tại I .

Ơn tập chương I
- 11 -

(ABC) (ABC)
22
2 2 2 2
AH 2AH
b) AHB vuông tại H cho tan =
BH BC
Mặt khác : C = hc C' BC = hc BC' C'BC
CC' AA'
BCC' cho tan =

3
a
ĐS : V =
2
3 Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6,8,10 . Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với
đáy góc 60 . Tính th

ể tích khối chóp đó . ĐS : V = 16 3


a3
4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , A 60 , SA = SB = SD = .
2
a) Tính thể tích của khối chóp .


3
S.ABCD
2
tp tp
a5
V =
12
b) Chứng minh rằng : (SAC) (SBD) .
a
c) Tính S của hình chóp . S ( 2
2

2 3)
5 Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SB = b . Tính thể tích hình


      
3
a2
V =
2

Ơn tập chương I
- 12 -
8 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hai mặt bên (SAB) và (SAC)
vuông góc với đáy và SA = 2a .
a) Tính thể tích của khối chóp . b)

tp
32
tp
Tính S của khối chóp .
a 3 a
Đáp số : a) V= b) S (8 3 19)
64
  
9 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là 2 . Trên đường thẳng vuông góc với mặt đáy tại A , ta lấy
điểm S , mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy một góc 30 ,mặt bên (SDC) tạo với

mặt đáy một góc 60 .
a) Tính thể tích của khối chóp . b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp .
c) Tính góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy .




11 Cho hình lăng trụ đều ABC.A B C có chiều cao h và hai đường thẳng B C,BC vuông góc với nhau .
h3
Tính thể tích lăng trụ đó. V=
4
    

12 (A2-QGTP.HCM-2000) Cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên đường thẳng d vuông góc với
mp(ABC) tại A lấy điểm M . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , K là trực tâm của tam giác BMC
a) Chứng minh rằng : MC (BHK) , HK (BMC) .
b) Khi M thay đổi trên d , Tìm GTLN của thể tích tứ diện KABC .

3
a
V =
48

1
13 Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CM = CD . Tính tỉ số thể tích của hai tứ
3
diện ABMD và ABMC .
ABDM
ABCM
V
Đáp số : 2
V


14 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C . Tính tỉ số thể tích của khối chóp A.BB C C và khối
lăng trụ ABC.A B C