TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š
BÀI TẬP HÌNH HỌC 12

TẬP 1


P

b) Tính chất
·
()()()
()(),,
()()
()()
PQR
PQaabcđồngqui
PRbabc
QRc
ì
¹¹
ï
ï
é
Ç=
Þ
í
ê
Ç=
ë
ï
Ç=
ï
ỵ
PP

·

ì
¹
Þ
í
ỵ
P
PP

2. Đường thẳng và mặt phẳng song song
a) Đònh nghóa: d // (P)
Û
d
Ç
(P) =
Ỉ

b) Tính chất

·

(),'()
()
'
dPdP
dP
dd
ì
ËÌ
Þ
í

í
ỵ
P
PP

3. Hai mặt phẳng song song
a) Đònh nghóa: (P) // (Q)
Û
(P)
Ç
(Q) =
Ỉ

b) Tính chất

·

(),
()()
(),()
Pab
abMPQ
aQbQ
ì
É
ï
Ç=Þ
í
ï
ỵ

ï
Ç=Þ
í
ï
Ç=
ỵ
P
P

4. Chứng minh quan hệ song song
a) Chứng minh hai đường thẳng song song
Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

·
Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh
song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, đònh lí Talét đảo, …)

·
Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.

·
Áp dụng các đònh lí về giao tuyến song song.
b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh
()
dP
P
, ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một
đường thẳng d
¢

r
là VTCP của b. Khi đó
.0
abuv
^Û=
rr
.

·

bc
ab
ac
ì
¤¤
Þ^
í
^
ỵ

2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
a) Đònh nghóa: d
^
(P)
Û
d
^
a,
"
a

ab
ab
aPbP(),()
ì
¹
Þ
í
^^
ỵ
P

·
PQ
aQ
aP
()()
()
()
ì
Þ^
í
^
ỵ
P
·
PQ
PQ
PaQa
()()
())

Þ(
í
^^
ỵ
P

· Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng
tại trung điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của
đoạn thẳng đó.
· Đònh lí ba đường vuông góc
Cho
(),()
aPbP
^Ì, a¢ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ^ a Û b ^ a¢
3. Hai mặt phẳng vuông góc
a) Đònh nghóa: (P)
^
(Q)
Û

·
(
)
0
90
PQ(),()=
b) Tính chất
· Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
()

APaP
aAaQ
ì
^
ï
ỴÞÌ
í
ï
'^
ỵ

·
()()
()()()
()()
PQa
PRaR
QR
ì
Ç=
ï
^Þ^
í
ï
^
ỵ

4. Chứng minh quan hệ vuông góc
a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Để chứng minh

·
Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như đònh lí Pi–ta–go, …).
b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh d ^ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

·
Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).

·
Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

·
Chứng minh d // a và a
^
(P).

·
Chứng minh d
Ì
(Q) với (Q)
^
(P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).

·
Chứng minh d = (Q)
Ç
(R) với (Q)
^
(P) và (R)
^

,','
abab
=
Chú ý: 0
0
£
¶
(
)
ab
,
£ 90
0

b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:
· Nếu d ^ (P) thì
·
(
)
,()
dP
= 90
0
.
· Nếu
()
dP
^ thì
·
(

()
aP
PQab
bQ
ì
^
Þ=
í
^
ỵ

· Giả sử (P) Ç (Q) = c. Từ I Ỵ c, dựng
(),
(),
aPac
bQbc
ì
Ì^
í
Ì^
ỵ
Þ
·
(
)
¶
(
)
(),(),
PQab

Trang 4
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:

·
Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

·
Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia
và song song với đường thẳng thứ nhất.

·
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và
song song với đường thẳng kia. 1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho DABC vuông tại A, có đường cao AH.
·
222
ABACBC
+= ·
22
ABBCBHACBCCH
.,.
== ·
222
111

· Công thức độ dài trung tuyến:

222222222
222
242424
abc
bcacababc
mmm;;
+++
=-=-=-

2. Các công thức tính diện tích
a) Tam giác:
·
cba
hchbhaS .
2
1
.
2
1
.
2
1
=== · CabBcaAbcS sin
2
1
sin.
2
1

a
S =
b) Hình vuông: S = a
2
(a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành: S = đáy
´
cao =
·
ABADsinBAD

e) Hình thoi:
·
1
2
SABADsinBADACBD

==
f) Hình thang:
( )
hbaS .
2
1
+= (a, b: hai đáy, h: chiều cao)
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
1
2
SACBD
.

=
với S
đáy
là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ
4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện
a) Tính thể tích bằng công thức

·
Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …

·
Sử dụng công thức để tính thể tích.
b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ
Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể
tích của chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính.
c) Tính thể tích bằng cách bổ sung
Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện
thêm vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích.
d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
Ta có thể vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B'
trên Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:

OABC
OABC
V
OAOBOC
VOAOBOC
'''


bên SA = a
5
. Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt
SC và SD tại C¢ và D¢. Tính thể tích của khối đa diện ADD¢.BCC¢.
HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' thì được khối SABCD

Þ

a
V
3
53
6
=
CHƯƠNG I
KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

Khối đa diện Trần Só Tùng
Trang 6
Bài 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1.
Tính thể tích hình chóp theo x và y.
HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC và AIBC (I là trung điểm SA)

Þ

xy
Vxy
22
4
12

2
16
25
SAMN
SABC
V
SASMSNSA
VSASBSC
SB

ỉư
===
ç÷
ç÷
èø

Þ

a
V
3
33
50
=
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA ^ (ABCD), SB
= 7
3
cm. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3 cm, AC =
4cm. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 5cm.

trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa 2
đường thẳng AA’ và B’C’.
Trần Só Tùng Khối đa diện
Trang 7
HD:
3
1
24
a
V ;cos
j
==

Bài 14. (B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB
= a
3
và (SAB) vuông góc mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và
DN.
HD:
3
35
35
a
V ;cos
j
==
Bài 15. (D–08): Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC
= a, cạnh bên AA’ = a
2

90
ABCBAD==, BC = BA = a, AD = 2a. SA^(ABCD), 2aSA = . Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách
từ H đến (SCD).
HD:
3
a
d
=

Bài 19. (A–06): Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng
chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm
O¢ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO¢AB.
HD:
3
3
12
a
V =
Bài 20. (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
2aAD = , SA = a và SA ^ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là
giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng (SAC) ^ (SMB). Tính thể tích của khối tứ
diện ANIB.
HD:
3
2
36
a
V =
Bài 21. (D–06): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA =

BM).
HD:
5
3
a
d =
Bài 23. (Dự bò 2 A–07): Cho hình chóp SABC có góc
·
(
)
0
60
SBCABC(),()=, ABC và SBC
là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC).
HD:
3
13
a
d =
Bài 24. (Dự bò 1 B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ^
(ABCD). AB = a, 2aSA = . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,
SD. Chứng minh SC^(AHK) và tính thể tích của tứ diện OAHK.
HD:
3
2
27
a
V =
Bài 25. (Dự bò 2 B–07): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và
điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P)

và BC
1
. Tính thể tích của tứ diện
MA
1
BC
1
.
HD:
3
2
12
a
V =
Bài 27. (Dự bò 2 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. M
là trung điểm của đoạn AA
1
. Chứng minh BM ^ B
1
C và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng BM và B
1
C.
HD:

a
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N.
Tính thể tích khối chóp S.BCMN.
HD:
3
103
27
Va
=
Bài 30. (Dự bò 1 B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
·
0
60
BAD = , SA ^ (ABCD), SA = a. Gọi C' là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua
AC' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B', D'. Tính thể tích khối
chóp S.AB'C'D'.
HD:
3
3
18
a
V =
Bài 31. (Dự bò 2 B–06): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC là hình chóp tam giác
đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b. Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(A'BC). Tính tana và thể tích khối chóp A'.BB'C'C.
HD:
222
3
6
aba

aa
VV;==
Bài 34. (Dự bò 04): Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SB ^ (ABC). Tam giác ABC có
BA = BC = a, góc ABC bằng 120
0
. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 35. (Dự bò 03): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng
minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.

Khối đa diện Trần Só Tùng
Trang 10 Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, có cạnh đáy bằng a và
·
ASB
a
=
.
a) Tính diện tích xung quanh hình chóp.
b) Chứng minh đường cao của hình chóp bằng
2
1
22
a
cot

2
+ BD
2
.
c) Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp.
HD: a)
·
·
SBABSD;
ab
==

c) S
tp
=
22
22
22
1
22
2
aasin
(sinsin)
cossin
cossin
b
ab
ab
ab
++

lấy điểm S với SA = 2a. Gọi B¢, D¢ là hình chiếu của A lên SB và SD. Mặt phẳng
(AB¢D¢) cắt SC tại C¢. Tính thể tích khối chóp SAB¢C¢D¢.
HD:
8
15
SABC
SABC
V
V
¢¢
=

Þ
V
SAB
¢
C
¢
D
¢

=
3
16
45
a

Bài 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt
SA, SB, SC, SD lần lượt tại A¢, B¢, C¢, D¢. Chứng minh:


a) Tính thể tích khối chóp.
b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P)
và hình chóp.
HD: a) V =
3
6
6
a
b) S =
2
3
3
a

Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên
là a.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo a và h.
b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB).
HD: a) S
xq
=
2
2
4
1
h
tan
tan
a
a

c) V =
1
6
ayxa
()
+
d) V
max
=
3
1
3
24
a
Bài 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a và hợp với mặt bên SAB một
góc b.
a) Chứng minh: SC
2
=
2
22
a
cossin
ab
-
.
b) Tính thể tích khối chóp.
HD: b) V =
3

(EBK).
Bài 15. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D.
Biết rằng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0). Cạnh bên SA =3a và vuông góc với đáy.
a) Tính diện tích tam giác SBD.
b) Tính thể tích của tứ diện tứ diện SBCD theo a.
Bài 16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B. Cạnh SA
vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD
^
SB và AE
^
SC. Biết AB = a, BC =
b, SA = c.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ADE.
b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB).
Bài 17. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt bên
BCC¢B¢ hợp với mặt bên ABB¢A¢ một góc a.
a) Xác đònh góc a.
b) Chứng minh thể tích lăng trụ là:
3
3
33
8
a sin
sin
a
a
.
HD: a)
·
CBI

¢
= a, CK = b.
b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Cho a = b không đổi, còn a thay đổi. Đònh a để thể tích lăng trụ nhỏ nhất.
HD: b) V =
3
222
2
ab
basinsin
aa
-
c)
a
= arctan
2
2

Bài 20. Cho lăng trụ đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC¢ và
đáy là 60
0
. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: V = a
3
6
; S
xq
= 4a
2
6

tan
a
-
; S
xq
= 3a
2
2
3
3
tan
a
-
.
Bài 23. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy là tam giác đều cạnh a, AA¢ = A¢B = A¢C = b.
a) Xác đònh đường cao của lăng trụ vẽ từ A¢. Chứng minh mặt bên BCC¢B¢ là hình chữ
nhật.
b) Đònh b theo a để mặt bên ABB¢A¢ hợp với đáy góc 60
0
.
c) Tính thể tích và diện tích toàn phần theo a với giá trò b tìm được.
HD: b) b = a
7
12
c) S
tp
=
2
7321
6

(1 + sin
a
+
2
1 sin
a
+ )
Bài 25. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A¢ lên
mp(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC). Cho
·
BAA
¢
= 45
0
.
a) Tính thể tích lăng trụ. b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
HD: a) V =
2
2
8
a
b) S
xq
= a
2
(1 +
2
2
).
Bài 26. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn

= arctan
2
2

Bài 27. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a.
Mặt bên ABBA¢ là hình thoi, mặt bên BCC¢B¢ nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy, hai mặt này hợp với nhau một góc a.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC¢B¢). Xác đònh góc a.
b) Tính thể tích lăng trụ.
Khối đa diện Trần Só Tùng
Trang 14
HD: a)
3
2
a
. Gọi AK là đường cao của
D
ABC; vẽ KH
^
BB
¢
.
·
AHK
=
a
.
b) V =
3
3

SS
SS
.
-

Bài 29. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢, đường chéo AC¢ = d hợp với đáy ABCD
một góc a và hợp với mặt bên BCC¢B¢ một góc b.
a) Chứng minh:
·
·
CACvàACB
ab
¢¢
==
.
b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d
3
sina.sinb
cos().cos()
abab
+-

c) Tìm hệ thức giữa a, b để A¢D¢CB là hình vuông. Cho d không đổi, a và b thay đổi
mà A¢D¢CB luôn là hình vuông, đònh a, b để V lớn nhất.
HD: c) 2(cos
2
a
– sin
2
b

a
; S
xq
= a
2
15
.
Bài 31. Cho hình hộp xiên ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
·
BAD
= 60
0
;
A¢A = A¢B = A¢D và cạnh bên hợp với đáy góc a.
a) Xác đònh chân đường cao của hình hộp vẽ từ A¢ và góc a. Tính thể tích hình hộp.
b) Tính diện tích các tứ giác ACC¢A¢, BDD¢B¢.
c) Đặt b =
·
(
)
ABBAABCD
,
¢¢
. Tính a biết a + b =
4
p
.
HD: a) Chân đường cao là tâm của tam giác đều ABD.
b) S
BDD

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.
TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š
BÀI TẬP HÌNH HỌC 12

TẬP 2

VORMOMR
(;)=£
2. Vò trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)).
· Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và
bán kính
22
rRd
=
· Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H. ((P) đgl tiếp diện của (S))
· Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung.
Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán
kính bằng R đgl đường tròn lớn.
3. Vò trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng D. Gọi d = d(O; D).
· Nếu d < R thì D cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
· Nếu d = R thì D tiếp xúc với (S). (
D
đgl tiếp tuyến của (S)).
· Nếu d > R thì D và (S) không có điểm chung.
4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp
Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp
Hình đa diện
Tất cả các đỉnh của hình đa diện
đều nằm trên mặt cầu
Tất cả các mặt của hình đa diện
đều tiếp xúc với mặt cầu
Hình trụ
Hai đường tròn đáy của hình trụ
nằm trên mặt cầu

2
tpxqđáy
SSS
=+
xq
SRl
p
=
tpxqđáy
SSS
=+
Thể tích
3
4
3
VR
p
=
2
VRh
p
=
2
1
3
VRh
p
=

CHƯƠNG II

điểm S, D, A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.
b) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Bài 4. Cho mặt cầu S(O; a) và một điểm A, biết OA = 2a. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp
xúc với (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết 3aCD = .
a) Tính AB.
b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.
Bài 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên
và đáy bằng 60
0
. Gọi O là tâm của tam giác ABC. Trong tam giác SAO dựng đường
trung trực của cạnh SA, cắt SO tại K.
a) Tính SO, SA.
b) Chứng minh
SMKSOA
DD
:
( với M là trung điểm của SA). Suy ra KS.
c) Chứng minh hình chóp K.ABC là hình chóp đều. suy ra: KA = KB +KC.
d) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC. biết rằng có một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh
của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp.
a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.
b) Tính chiều cao của hình chóp, biết rằng 3RIS =
Bài 7. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a.
a) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Bài 8. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một
góc 60
0
.


VẤN ĐỀ 2: Mặt trụ – Hình trụ – Khối trụ

Bài 1. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2 cm. Biết rằng thể tích tứ diện
OO¢AB bằng 8 cm
3
. Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Bài 2. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO¢ hợp với mặt phẳng đáy một góc
0
60
.
Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Bài 3. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng chiều cao
và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O¢ lấy
điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO¢AB.
Bài 4. Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm. Người ta kẻ
hai bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc
30
0
. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’
của khối trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện.
Bài 5. Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách giữa hai đáy h = 56 cm. Một
thiết diện song song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng
thiết diện.
Bài 6. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO¢ = h, A và B là hai điểm thay đổi trên
hai đường tròn đáy sao cho độ dài AB = a không đổi
(
)

và thể tích V của hình trụ theo h, x, y.
Bài 11. Cho hình trụ bán kính đáy bằng a và trục OO’ = 2a. OA và OB’ là hai bán kính
của hai đường tròn đáy (O), (O’) sao cho góc của OA và OB’ bằng 30
0
.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB’.
b) Tính tang của góc giữa AB’ và OO’.
c) Tính khoảng cách giữa AB’ và OO’.
Bài 12. Một khối trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính R và có đường cao
2Rh = . Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn
tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính tỉ
số thể tích của khối tứ diện OABO’ và khối trụ.
b) Gọi
(
)
a
là mặt phẳng qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục
OO’ và mặt phẳng
(
)
a
.
c) Chứng minh rằng
(
)
a
là tiếp diện của mặt trụ có trục OO’ và có bán kính đáy bằng
2
2

c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60
0
. Tính diện tích của thiết diện
này.
Bài 6. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao
cho khoảng cách từ điểm O đến AB bằng a và
·
0
0
SAO3
= ,
·
0
0
SAB=6
. Tính độ dài
đường sinh của hình nón theo a.
Bài 7. Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền
bằng a. Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
Bài 8. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình
nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông
A’B’C’D’.
Bài 9. Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một
tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình và thể
tích của khối nón.
Bài 10. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh bên bằng a và góc giữa các mặt bên
và mặt đáy là
a
. Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC,
Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và


Khối tròn xoay Trần Só Tùng
Trang 20 Bài 1. Cho một tứ diện đều có cạnh là a.
a) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng.
Bài 2. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một
góc
0
60
.
a) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng.
Bài 3. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, góc giữa mặt bên và đáy là a.
a) Tính bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp.
b) Tính giá trò của
tan
a
để các mặt cầu này có tâm trùng nhau.
Bài 4. Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai mặt phẳng (ACD)
và (BCD) vuông góc với nhau.
a) Chứng minh tam giác ACD vuông.
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 5. Cho hình cầu tâm O bán kính R và đường kính SS¢. Một mặt phẳng vuông góc với
SS¢ cắt hình cầu theo một đường tròn tâm H. Gọi ABC là tam giác đều nội tiếp trong
đường tròn này. Đặt SH = x (0 < x < 2R).
a) Tính các cạnh của tứ diện SABC theo R, x.
b) Xác đònh x để SABC là tứ diện đều, khi đó tính thể tích của tứ diện và chứng minh

==
. Tính thể tích V
của tứ diện SABC theo R và
a
.
Bài 10. Cho tứ diện SABC có SA ^ (ABC), SA = a, AB = b, AC = c. Xác đònh tâm và tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:
ÔN TẬP KHỐI TRÒN XOAY

Trần Só Tùng Khối tròn xoay
Trang 21
a)
·
0
90
BAC = b)
·
0
60
BAC = , b = c c)
·
0
120
BAC = , b = c.
Bài 11. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác
đònh tâm, bán kính và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.
Bài 12. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính S
xq
và S

a) Tính diện tích thiết diện (C) vuông góc với trục tại M.
b) Tính thể tích V của khối nón đỉnh O và đáy (C) theo R, h và x. Xác đònh x sao cho V
đạt giá trò lớn nhất.
Bài 17. Một hình nón đỉnh S có chiều cao SH = h và đường sinh bằng đường kính đáy.
Một hình cầu có tâm là trung điểm O của đường cao SH và tiếp xúc với đáy hình nón.
a) Xác đònh giao tuyến của mặt nón và mặt cầu.
b) Tính diện tích của phần mặt nón nằm trong mặt cầu.
c) Tính S mặt cầu và so sánh với diện tích toàn phần của mặt nón.
Bài 18. Cho hình nón tròn xoay đỉnh S. Trong đáy của hình nón đó có hình vuông ABCD
nội tiếp, cạnh bằng a. Biết rằng
·
00
2045
ASB
,()
aa
=<< . Tính thể tích khối nón và
diện tích xung quanh của hình nón.
Bài 19. Cho hình nón có bán kính đáy bằng R và góc ở đỉnh là 2
a
. Trong hình nón có một
hình trụ nội tiếp. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, biết rằng thiết diện qua
trục của hình trụ là một hình vuông.
Bài 20. Cho hình nón có bán kính đáy R, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón là
a
.
Một mặt phẳng (P) song song với đáy của hình nón, cách đáy hình nón một khoảng h,
cắt hình nón theo đường tròn (C). Tính bán kính đường tròn (C) theo R, h và
a
.

asin
sin
a
a
+
,

SK =
2
1
a
sin
a
+
, V =
3
2
2
241
a sin
(sin)
a
a
+

Bài 2. Cho DABC cân tại A có AB = AC = a và góc
·
BAC
= 2a. Trên đường thẳng d qua
A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S sao cho SA = 2a. Gọi I là trung

ç÷
èø
2
0 < x <
2
và AC = AD = BC = BD = 1.
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.
a) Chứng minh AB ^ CD và IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và
CD.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x. Tìm x để thể tích này lớn nhất và tính giá trò lớn
nhất đó.
HD: b) V =
22
212
3
xx
-
; MaxV =
2
93
khi x =
3
3

Bài 4. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a, có tâm là O. Trên các nửa
đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P) lấy lần lượt
hai điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y.
a) Tính độ dài MN. Từ đó chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để DOMN vuông tại O
là:
2

hoặc
2
a
a
;
ỉư
ç÷
èø
.
ÔN TẬP TỔNG HP
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Trần Só Tùng Khối tròn xoay
Trang 23
Bài 5. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của 2
đường chéo của hình vuông ABCD. Trên đường thẳng Ox vuông góc (P) lấy điểm S.
Gọi a là góc nhọn tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp SABCD.
a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABCD theo a và a.
b) Xác đònh đường vuông góc chung của SA và CD. Tính độ dài đường vuông góc
chung đó theo a và a.
HD: a) V =
3
6
a
tan
a
, S
tp
=
2
1


Bài 7. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Trên đường thẳng d qua trung điểm I của cạnh
AB và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm E sao cho IE = a. M là điểm thay
đổi trên cạnh AB, hạ EH ^ CM. Đặt BM = x.
a) Chứng minh điểm H di động trên một đường tròn. Tính độ dài IH.
b) Gọi J là trung điểm của đoạn CE. Tính độ dài JM và tìm giá trò nhỏ nhất của JM.
HD: a) IH =
22
2
4
axa
ax
-
+
b) JM =
2
2
5
24
aa
x
ỉư
-+
ç÷
èø
,
MinJM =
5
2
a

b) Tính thể tích khối chóp S.ACD rồi suy ra khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD).
HD: b) V =
3
3
12
a
, d =
3
2
a

Bài 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = a.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và B’C.
b) Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỷ số
3
AM
MD
=
. Hãy tính khoảng cách từ
điểm M đến mặt phẳng (AB’C).