Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang
83

CHỈÅNG 16
PHỈÅNG PHẠP TOẠN TỈÍ LAPLACE TÊNH QUẠ TRÇNH QUẠ ÂÄÜ
MẢCH TUÚN TÊNH HÃÛ SÄÚ HÀỊNG

§1. Phẹp biãún âäøi Laplace
I. Phẹp biãún âäøi Laplace thûn
Nãúu hm f(t) hm biãún thỉûc tha mn âiãưu kiãûn Âiriclet thç :
)p(Fdte)t(f
0
pt
=
∫
∞
−
häüi tủ (16 -1)
Hm f(t) nhỉ váûy gi l hm gäúc. Cạc phẹp tênh lãn hm gäúc l âảo hm, têch
phán, phán bäú trong khäng gian gäúc l hãû phỉång trçnh vi phán theo t.
Hm F(p) gi l hm nh Laplace ca gäúc f(t), F(p) l hm biãún phỉïc trong âọ p
= α + jω.
Váûy phẹp biãún âäøi Laplace thûn chuøn (ạnh xả) hm gäúc thỉûc f(t) thnh hm
nh F(p) biãún phỉïc, phán bäú trong khäng gian nh, tỉïc l ta cọ quan hãû dọng âäi :
f(t) ↔ F(p)
Biãún âäøi Laplace (16 -1) l biãún âäøi mäüt phêa, nh ca nọ khäng phủ thüc vo
hm f(t) åí t < 0.
II. Phẹp biãún âäøi Laplace ngỉåüc :
Cọ cäng thỉïc Rieman - Mellin âãø tçm hm gäúc f(t) theo hm nh F(p) nhỉ sau :
∫
ω+α

kk
kk
=↔
↔
∑∑

2. nh Laplace ca âảo hm hm gäúc :

[][ ] []
?)
t
('
f
)0(
f
)
t
(?)
t
('
f
)
t
(1)0(
f
')
t
(1?')
t
(

t
khi)
t
(
)t(evçdt)t(e)p(F)t(
pt
0
pt

nãn :
. Váûy nh Laplace ca
1dt)t(dt)t(e
00
pt
=δ=δ
∫∫
∞∞
−
)
t
(
δ
l 1.
Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang
84
)
t
( 1 nón coù )
t

t
(
f
ddvcoỡn,euỷ
t
pt
p
t
==
==



thay vaỡo bióứu thổùc tờch phỏn ta õổồỹc :

)p(pFdt)t(fepdt)t(fpe:coỡn
)0(f0)t(fe,dt)t(fpe)t(fevduuvudv
0
pt
0
pt
0
pt
0
pt
0
pt
0
0
0

trổỡ õi sồ kióỷn cuớa gọỳc (giọỳng aớnh phổùc cuớa õaỷo haỡm haỡm õióửu hoỡa bũng tờch j vồùi aớnh
phổùc haỡm õióửu hoỡa naỡo õoù; coù khaùc laỡ aớnh phổùc gừn vồùi baỡi toaùn xaùc lỏỷp hỗnh sin nón
khọng quan tỏm õóỳn sồ kióỷn).
Coù thóứ noùi pheùp õaỷo haỡm lón gọỳc doùng õọi vồùi pheùp nhỏn vồùi p aớnh cuớa gọỳc õoù
trổỡ õi sồ kióỷn :

[]
)0(
f
)p(pF')
t
(
f

(16 -4)

[]
)0('
f
)0(pf)p(Fp")t(
f
2

(16 -5)

(16 -6)
[]
)0(f )0("fp)0('fp)0(fp)p(Fp)t(f
1n3n2n1nn
n

[
]
)
p
(
p
F'
t
f

(16 -7)
Vỏỷy muọỳn xaùc õởnh aớnh cuớa õaỷo haỡm gọỳc cỏửn phaới tờnh sồ kióỷn cuớa baỡi toaùn.
3. Anh cuớa tờch phỏn gọỳc :

p
)p(F
)p(nón)p(p)p(Fdt)t(f
dt
d
)t(fmaỡ
)p()t(f
)
p
(F)
t
(
f
t
0
t


)
p
(Fe)t(
f
).t(1
p

(16 -9)
Pheùp dởch gọỳc thồỡi gian ổùng vồùi pheùp nhỏn e
-p.


lón aớnh.
5.
ởnh lyù dởch aớnh :
ổồỹc bióứu dióựn bũng bióứu thổùc (16 -10) :

)p(F)t(
f
e)t(1
t


m
(16 -10)
Pheùp nhỏn
lón gọỳc ổùng vồùi pheùp dởch aớnh mọỹt õoaỷn lón mỷt phúng phổùc.
t
e

ởnh lyù õaỷo haỡm aớnh : Mọ taớ bồới bióứu thổùc (16 -13) :

)t(f)t()p(F
dp
d
), ,t(f)t()p(F
dp
d
n
n
n

(16 -13)
9.
ởnh lyù tờch phỏn aớnh : Mọ taớ bồới bióứu thổùc (16 -14) :

t
)t(
f
dp)p(F
0



(16 -14)
10.
ởnh lyù vóử caùc giaù trở bồỡ : Giaù trở ồớ t = 0, t =

)p(pFlim)t(flim
)

t.at.a

=
(aùp duỷng õởnh lyù dởch aớnh)
4.

ap
1
e).t(1e
t.at.a
+
=


5.

k
k
t.p
k
pp
A
eA
k


(daỷng aớnh - gọỳc rỏỳt hay gỷp)
6.

22

Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang
86
Coù :
[]
22
tjtj
p
p
jp
1
jp
1
2
1
ee
2
1
tcos
+
=






+
+

+=

2
2
t
0
p
2
p.p
2
tdt2t,
p
1
p.p
1
dt)t(1t ====
1n
t.an
3
t.a2
2
at
1n
n
4
3
)ap(
!n
et;

!n
et
+

+


10.

n
1
t.a
1
n
1
)ap(
A
e
)!1n(
t.
A
+





11.

p

2
0
0
p
cossinp
)tcos(
+




+

15.

22
t.a
)ap(
tsine
++




16.

22
t.a
)ap(
p

VI. Cạch tçm gäúc theo nh Laplace
Cọ 3 phỉång phạp âãø tçm nghiãûm gäúc theo nghiãûm nh Laplace
1.
Thỉûc hiãûn phẹp têch phán ngỉåüc (Riman - Mellen) :

∫
∞+
∞−
π
=
j
a
ja
pt
dpe)p(F
j2
1
)t(f

Viãûc sỉí dủng trỉûc tiãúp cäng thỉïc ny âãø xạc âënh hm gäúc f(t) theo hm nh
F(p) nọi chung khäng dãù dng cho nãn trong thỉûc tãú k thût âiãûn hay dng 2 phỉång
phạp sau âáy :
2.
Tra bng nh gäúc (cọ åí cạc cáøm nang toạn, cáøm nang KTÂ)
Theo phỉång phạp ny ta phi cọ bng nh - gäúc (xem pháưn phủ lủc)
3.
Dng cäng thỉïc khai triãøn Hãvisaid (âënh l phán têch)
Trong trỉåìng håüp thäng thỉåìng ta cọ nghiãûm nh Laplace F(p) l mäüt phán thỉïc
hỉỵu tè biãún p, hãû säú thỉûc v báûc ca tỉí säú nh hån báûc ca máùu säú(m < n) dảng rụt gn
nhỉ :

Vç F(p) l mäüt phán thỉïc hỉỵu tè nãn bàòng cạch phán têch phán thỉïc hỉỵu tè thnh
täøng cạc phán thỉïc täúi gin m mäùi phán thỉïc täúi gin dãù dng tçm âỉåüc gäúc tỉång ỉïng
v nhỉ váûy s xạc âënh âỉåüc gäúc ỉïng våïi phán thỉïc hỉỵu tè.
Âãø phán têch phán thỉïc hỉỵu tè (16 -16) thnh cạc phán thỉïc täúi gin cáưn gii
nghiãûm ca âa thỉïc máùu F
n
(p) = 0, âỉåüc gi l cạc âiãøm cỉûc. Trong trỉåìng håüp âa thỉïc
cọ báûc låïn hån 2 thç viãûc tçm cạc âiãøm cỉûc ráút khọ khàn. Âáy chênh l hản chãú ca
phỉång phạp toạn tỉí. Dỉåïi âáy dáùn ra cäng thỉïc tçm gäúc cho ba trỉåìng håüp thäng
thỉåìng ca cạc âiãøm cỉûc gii tỉì F
n
(p) = 0
a.
Trỉåìng håüp F
n
(p) = 0 cọ n nghiãûm thỉûc, âån : p
1
, p
2
, , p
k
thç :

∑
−
=
−
++
−
+

k
pp
A
−
suy ra gäúc
tp
k
k
e
A
(âënh l nh - gäúc)
Nãn nh ca F(p) =
∑∑
+++=↔
−
kk
tp
k
tp
2
tp
1
tp
k
k
k
k21k
eA eAeAeA
pp
A

k
:

k
kk
2
k2
1
k1
k
n
m
pp
)p
p
(
A

pp
)
p
p
(
A
pp
)
p
p(
A
)pp(

ppk
k
==

(daỷng vọ õởnh 0/0) vỗ p
k
laỡ
nghióỷm cuớa F
n
(p) = 0 nón cho p p
k
thỗ F
n
(p) = 0 vaỡ p - p
k
= 0.
Duỡng quy từc Lopital õóứ khổớ daỷng vọ õởnh ta coù :

[]
)p('F
)p(F
)p('F
)p(F
limA
)p('F
)p(F)
p
p
).(
p

,
)p('F
)p(F
)p('F
)
p
(F
limA,
)p('F
)
p
(F
)p('F
)p(F
limA
2n
2m
n
m
pp2
1n
1m
n
m
pp1
21
====


Vỏỷy khi F

(F
e
)p('F
)
p
(F
e
)p('F
)
p
(F
)t(f +++=
(16 -20)
b.
Khi F
2
(p) = 0 coù nghióỷm phổùc lión hồỹp : p
k
= - j
0
ta coi nhổ hai nghióỷm
õồn : p
k
= - + j
0
vaỡ p
*
k
= - - j
0

)p(F



+=

Vỗ p
k
vaỡ p
*
k
laỡ lión hồỹp phổùc vồùi nhau nón :







=+



t.p
kn
km
t.p
kn
km
tp

()
[]
()()
[]
{}
()
+=+++
===







+



t.coseA2t.sinjt.coseARe2
eeARe2e.eeARe2e
)p('F
)p(F
Re2
0
t
k00
t
k
tj

0
t
k
(16 -21)
c.
Khi F
2
(p) = 0 coù nghióỷm bọỹi : p
k
bọỹi r.
Luùc naỡy phỏn tờch
)p(F
)p(F
n
m
thaỡnh caùc sọỳ haỷng tọỳi giaớn sau õỏy :
Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn
Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang
89
r
k
kr
1r
k
1kr
2r
k
2kr
2
k



(16 -22)
Ta õaợ coù daỷng aớnh - gọỳc :

t.p
1r
kr
r
k
kr
k
e.t
)!1r(
A
)pp(
A




;
()
t.p
2k
2
k
2k
t.p
1k

k
r
k2kr
2
k
r
k2k
k
r
k1k
r
k
n
m
A
)pp(
)pp(
A
)pp(
)
p
p
(
A

)pp(
)
p
p
(

k1k
r
k
n
m
A)pp(A)pp.(A)pp.(A)pp.(A)pp(
)p(F
)p(F
++++=


Cho p p
k
vóỳ phaới chố coỡn A
kr
coỡn caùc sọỳ haỷng khaùc bũng 0 nón ta coù :

r
k
n
m
ppkr
)pp(
)p(F
)p(F
limA
k
=

(16 -24)

1
, vóỳ phaới cuớa bióứu thổùc (16 -25) chố coỡn A
kr-1
, coỡn caùc sọỳ haỷng khaùc
bũng 0 nón ta coù :







=

r
k
n
m
pp1kr
)pp(
)p(F
)
p
(F
dp
d
limA
k
(16 -26)
óứ xaùc õởnh A

1
, vóỳ phaới cuớa bióứu thổùc (16 -27) chố coỡn 2.A
kr-1
, coỡn caùc sọỳ haỷng khaùc
bũng 0 nón ta coù :







=

r
k
n
m
2
2
pp2kr
)pp(
)p(F
)
p
(F
dp
d
2
1

!3
1
limA
k
(16 -29)
cổù nhổ vỏỷy tỗm caùc hóỷ sọỳ tióỳp theo cho õóỳn :









=



r
k
n
m
1r
1r
pp1k
)pp(
)p(F
)
p

↔
−
nãn khi F
n
(p) cọ nghiãûm bäüi r thç gäúc thåìi gian l :

t.p
1r
kr
2
3k2k
1k
t.p
1r
kr
t.p
2
3k
t.p
2k
t.p
1k
k
kkkk
et
)!1r(
A
t
!2
A

−
(16 -31)
Ta thỉåìng gàûp F
n
(p) báûc 2 nãn F
n
(p) = 0 cọ thãø cọ nghiãûm kẹp p
k
(bäüi r = 2). Lục ny
nghiãûm nh l
()
2
k
22
k
21
2
1
pp
A
pp
A
)p(F
)p(F
)p(F
−
+
−
==


)p(F
limA
kk
(16 -33)
Suy ra hm gäúc :
(
tp
2221
k
e
)
t
A
A
)
t
(
f
+= (16 -34)
Vê dủ 1 : Cọ dng âiãûn nh
2
)3p(p
)2
p
(
)p(I
+
+
= xạc âënh gäúc i(t) ?


e
0.t
= A
1

Xạc âënh
9
2
)3p(p2)3p(
2
p
lim
)p('F
)
p
(F
limA
2
0p
2
1
0p1
=
+++
+
==
→→

- Khi F
2

1
pp1l
2
2
3p
r
l
2
1
pp2l
l
l
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
=
−

A
e
A
−−
+
Täøng håüp cọ gäúc :
t.3t.3
e.t.
3
1
e
9
2
9
2
)t(i
−−
+−=

Vê dủ 2 : Xạc âënh gäúc u(t) ca nh :
34p6p
4
p
4
)p(U
2
++
+
=
)'5021t5cos(e3,4)'5021t5cos(.eA2)t(u:gäúcÂỉåüc

§2. Näüi dung phỉång phạp toạn tỉí Laplace tênh quạ trçnh quạ âäü mảch
tuún tênh :
Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang
91
Tỉì tinh tháưn phỉång phạp toạn tỉí Laplace â nãu åí mủc trãn, ta tháúy cọ thãø gii
QTQÂ theo cạc bỉåïc :
1.
Chuøn ngưn kêch thêch thåìi gian v hãû phỉång trçnh vi phán mä t quạ
trçnh quạ âäü våïi så kiãûn thnh hãû phỉång trçnh âải säú nh toạn tỉí cọ chỉïa så kiãûn. Viãûc
lm ny thỉûc cháút l váûn dủng cạc tênh cháút ca phẹp biãún âäøi Laplace âãø âải säú họa hãû
phỉång trçnh vi phán.
2.
Gii hãû phỉång trçnh âải säú våïi nh toạn tỉí bàòng cạc phỉång phạp cå bn â
hc nhỉ phỉång phạp dng nhạnh, dng âiãûn vng, thãú âènh hồûc biãún âäøi tỉång
âỉång âãø tênh cạc nghiãûm nh.
3.
Tçm cạc nghiãûm gäúc tỉång ỉïng cạc nghiãûm nh.
Theo trçnh tỉû trãn ta tháúy cáưn phi láûp hãû phỉång trçnh vi phán mät t QTQÂ räưi måïi
âải säú họa nọ thnh hãû phỉång trçnh âải säú våïi nh toạn tỉí. Âãø trạnh viãûc phi viãút hãû
phỉång trçnh vi phán v sỉí dủng âỉåüc tênh ỉu viãût ca mä hçnh mảch l cọ thãø v ra
cạc så âäư mảch âãø biãøu diãùn v tỉì âọ láûp ngay hãû phỉång trçnh âải säú tênh mảch, ta âỉa
ra khại niãûm vãư så âäư toạn tỉí Laplace mä t QTQÂ ca mảch âiãûn. Viãûc dáùn ra så âäư
toạn tỉí ny chênh l âải säú họa trãn så âäư âãø hãû phỉång trçnh viãút theo så âäư ny l hãû
phỉång trçnh âải säú.
I. Så âäư toạn tỉí ca mảch :
R
Chụng ta â biãút quan hãû giỉỵa 2 biãún u v i trãn
mäüt vng nàng lỉåüng - chênh l âënh lût Ohm - nọi lãn
phn ỉïng ca vng nàng lỉåüng âọ. Váûy quan hãû giỉỵa nh

)
p
(U
)p(Ihay)p(I.R)p(U
R
R
RR
===
(16 -35)
Váûy âiãûn tråí trong så âäư toạn tỉí váùn l R nhỉ
biãøu diãùn hçnh hc nhỉ hçnh (h.16 -1) hồûc cọ thãø biãøu
diãùn bàòng âiãûn dáùn
R
1
g =
.
L
U
L
(p)
I
L
(p)
Li
L
(-0)
2.
Våïi âiãûn cm L :
Tỉì phỉång trçnh trảng thại theo thåìi gian :
h.(16 -2)

IL)p(U
LLLLL
−
−
=
−−=
(16 -36)
Så âäư thay thãú mảch nghiãûm âụng phỉång trçnh trãn chênh l så âäư toạn tỉí ca
cün cm L, cọ L.i
L
(-0) l lỉåüng â biãút nọ nhỉ ngưn ạp gi l ngưn så kiãûn. Nọ l
tin tỉïc nọi lãn quạ trçnh c tạc âäüng vo mảch sau âọng måí. Biãøu diãùn åí hçnh (h.16 -2)
Så âäư trãn giäúng nhỉ så âäư ngưn ạp Tãvãnin, nhỉ váûy cọ thãø xạc âënh så âäư
ngưn dng Norton tỉång ỉïng.
Tháût váûy gii phỉång trçnh (16 -36) I
L
(p) theo U
L
(p) ta cọ :

p
)0(i
Lp
)p(U
)p(I
LL
L
−
+=
(16 -37)

(p)).
h.16 -3

C
1/pC
U
C
(p)
h.(16 -4a)
u
C
(-0)
I
C
(p)
3. Våïi âiãûn dung C :
Tỉì phỉång trçnh trảng thại thåìi gian :
dt
d
u
Ci
C
C
=

Chuøn sang dảng nh :
)p(I)t(i
)
p
(U)

pC
)p(I
)p(U
CC
C
−
+=
(16 -39)
Trong âọ
p
)0(
u
C
−
l ngưn så kiãûn så âäư toạn tỉí
nhỉ hçnh (h.16 -4b).
1/pC
u
C
(-0)/p
U
C
(p)
I
C
(p)
Âãø cọ så âäư toạn tỉí ca tủ C, ta thay C bàòng 1/pC
näúi song song våïi ngưn dng Cu
C
(-0). Hồûc thay C

nhaùnh R - L - C nhổ hỗnh (h.16 -5). Tổỡ õoù ruùt ra õởnh
luỏỷt Ohm daỷng toaùn tổớ cho nhaùnh khọng nguọửn R - L - C :
I(p)
R
pL
U(p)
1/pC
h.16 -5






++=++=
pC
1
pLR)p(I)p(U)p(U)p(U)p(U
CLR
(16 -40)
Trong õoù :
)p(Z
pC
1
pLR =++
goỹi laỡ tọứng trồớ toaùn tổớ cuớa nhaùnh (tổồng tổỷ nhổ
tọứng trồớ phổùc Z(j) trong maỷch xaùc lỏỷp õióửu hoỡa khi thay j bũng p). Ngổồỹc laỷi
()
)p(Z
1


L
M

i
k
(-0)
L
l
i
l
(-0)
Mi
l
(-0)
k
i
k
(-0)
p
L
l
p
L
k
I
l
(p)
p
M

M
dt
di
Lu
lk
kK
kl
LL
(16 -41)
(Chuù yù tuỡy cổỷc tờnh vaỡ chióửu doỡng õióỷn õóứ aùp họự caớm coù dỏỳu +). Chuyóứn sang daỷng aớnh
toaùn tổớ nhổ hỗnh (h.16 -8) :




+=
+=
)0(Mi)0(iL)p(pMI)p(IpL)p(U
)0(Mi)0(iL)
p
(pMI)p(I
p
L)p(U
lkklkkk
kllkllL
(16 -42)
II. ởnh luỏỷt Kirhof daỷng toaùn tổớ :
Tổỡ luỏỷt Kirhof 1 daỷng tổùc thồỡi chuyóứn sang daỷng aớnh Laplace :
0)t(i
n

trçnh Kirhof 1, 2 theo âụng thỉï ngun.
Vê dủ : Xẹt mảch âiãûn nhỉ hçnh (h.16 -9)
Thay r, L, C v cạc ngưn trong mảch sang dảng toạn tỉí âỉåüc så âäư mảch dảng
toạn tỉí nhỉ hçnh (h.16 -10). Trong tỉìng nhạnh ta cọ phỉång trçnh lût Äm dảng toạn
tỉí, trong ton mảch cọ lût K
1
, K
2
dỉåïi dảng âải säú nh toạn tỉí.
r
2
r
1
r
i
i
2
i
1
C
2
C
1
L
e(t)
h.16 -9
h.16 -10
u
C2
(0)/p

a

Dỉûa vo så âäư toạn tỉí hçnh (h.16 -10) viãút ngay hãû phỉång trçnh K1, K2 dỉåïi
dảng âải säú våïi nh toạn tỉí :
P/t K1 cho nụt a :
)
p
(I)p(I)p(I
21
+
=

P/t K2 cho vng 1 :
p
)0(u
)0(Li)p(E
pC
1
pLr)p(Ir).p(I
1C
L
1
11
−+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

c
(-0), i
L
(-0) tỉì så âäư trỉåïc khi âọng måí (åí t < 0)
- Láûp så âäư toạn tỉí cho mảch sau khi âọng måí (åí t > 0 chụ cọ cạc ngưn så
kiãûn).
- Viãút phỉång trçnh K1, K2 ca mảch dỉåïi dảng âải säú ca nh toạn tỉí.
Do sỉû tỉång tỉû vãư hçnh thỉïc våïi så âäư mảch åí trảng thại xạc láûp âiãưu ha nãn cọ
thãø dng cạc phỉång phạp : dng nhạnh, dng vng, thãú âènh, cạc biãún âäøi tỉång
âỉång âãø gii hãû phỉång trçnh âải säú âãø cho nghiãûm nh. Sau âọ xạc âënh nghiãûm
gäúc.
Vê dủ 1 : Mäüt tủ C âỉåüc nảp cọ âiãûn lỉåüng q
o
. Tải t = 0 cho nọ phọng vo cün
dáy cọ âiãûn cm L nhỉ hçnh (h.16 -11). Xạc âënh sỉû biãún thiãn ca âiãûn têch trãn tủ q(t)
v xạc âënh dng âiãûn trong mảch i(t) sau khi âọng khọa K.
Ta cọ så kiãûn :
)0(u
C
q
C
)0(q
)0(u),0(qq)0(q
C
0
C0
+==
−
=−==−


t
dq
i ==

ổồỹc phổồng trỗnh theo bióỳn q laỡ :
K
h.16 -11

0
C
q
d
t
qd
L0
d
t
qd
Ldt
d
t
dq
C
1
2
2
2
2
=+=+


=+

Lổu yù :
0)0(i)0(
dt
dq
)0('q ===
(do chổa õoùng khoùa K thỗ i
L
(0) = 0)
2
2
0
2
0
2
0
0
2
LC
1
p
pq
LC
1
p
p
q
C
1

LC
1
cosq)t(q
0
= .
Vaỡ doỡng õióỷn trong maỷch :
t
LC
1
sin
LC
1
.q
dt
dq
)t(i
0
==
2.
Giaới bũng phổồng phaùp sồ õọử toaùn tổớ :
u
C
(0)/p
Tổỡ sồ õọử toaùn tổớ hỗnh (h.16 -12) tờnh I(p) :
1LCp
q
C
1
LpC
)0(q









+

=
+==

=

h.16 -12
1/pC
pL
I(p)
Chia caớ tổớ, mỏựu vồùi LC ta coù :
2
2
0
2
2
0
2
0
LC
1






+

=






+

=

Suy ra gọỳc doỡng õióỷn trong maỷch laỡ :
LC
t
sin
LC
q
)t(i
0

=
Vaỡ bióứu thổùc õióỷn tờch :
LC

)0(u0)0(u
CC
+
==
(khi chổa õoùng khoùa K tuỷ chổa
õổồỹc naỷp). Trổồùc khi õoùng khoùa K quaù trỗnh xaùc lỏỷp cuợ
(t < 0) nhổ sồ õọử hỗnh (h.16 -14). Vỗ xaùc lỏỷp hỗnh sin nón
coù :
A10)0(icoù0ttaỷithay
)A()45t314sin(210i
e210
319,0.314j100
902000
Z
U
I
L
0
Lxlcuợ
45j
0
rL
Lxlcuợ
0
==
+=
=
+

==

1prC
r
pL
pC
1
r
pC
1
.r
pL)p(Z
2
V
+
++
=
+
+=
+
+=
Theo õởnh luỏỷt Kirhof tờnh doỡng õióỷn aớnh :
()
()
)p(F
)p(F
)1pLrLCp)(314p(
)1prC)](0(Li)314p(p2000[
)p(I
1pLrLCp
1prC)0(Li
314p

+
=
+
=

Li
L
(0)
I(p)
U(p)
p
L
1/pC
r
h.16 -15
óứ xaùc õởnh doỡng õióỷn gọỳc : sổớ duỷng khai trióứn Hóvisaid.
Giaới : F
4
(p) = (p
2
+ 314
2
).(p
2
rLC + pL + 1) = 0
Vồùi (p
2
+ 314
2
) = 0 coù nghióỷm thuỏửn aớo : p

1
|cos(314t + ), trong õoù :
0
314jp
4
3
1
3710
)p('F
)p(F
A ==
=

- ặẽng vồùi p
3,4
= -314 j 314
Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang
97
Ta coù daỷng gọỳc : 2|A
2
|e
-314t
.cos(314t + ) trong õoù :

3016110
)p('F
)p(F
A
0
314j341p



- Qua vờ duỷ thỏỳy õổồỹc noùi chung phổồng phaùp toaùn tổớ coù thóứ tờnh õổồỹc aùp,
doỡng quaù õọỹ dổồùi daỷng tọứng cuớa caùc thaỡnh phỏửn tổỷ do vaỡ cổồợng bổùc.
- Nóỳu maỷch chổùa caùc nguọửn hũng hay nguọửn õióửu hoỡa thỗ coù thóứ xaùc õởnh dóự
daỡng thaỡnh phỏửn cổồợng bổùc maỡ khọng cỏửn aùp duỷng phổồng phaùp toaùn tổớ. Trong trổồỡng
hồỹp naỡy phổồng phaùp toaùn tổớ õổồỹc aùp duỷng õóứ tờnh thaỡnh phỏửn tổỷ do.
- Thaỡnh phỏửn tổỷ do laỡ gọỳc cuớa aớnh õaùp ổùng tổỷ do. Aớnh õaùp ổùng tổỷ do õổồỹc tờnh
tổỡ sồ õọử toaùn tổớ tổỷ do (sồ õọử chố coù caùc nguọửn sồ kióỷn, khọng coù nguọửn aùp, nguọửn doỡng
cổồợng bổùc) vaỡ vỏỷy aớnh cuớa aùp, doỡng tổỷ do seợ õồn giaớn hồn rỏỳt nhióửu so vồùi aớnh aùp,
doỡng quaù õọỹ.
- Vióỷc ổùng duỷng phổồng phaùp toaùn tổớ rỏỳt thuỏỷn lồỹi õóứ tờnh thaỡnh phỏửn cổồợng
bổùc cuớa aùp, doỡng khi kờch thờch chu kyỡ khọng õióửu hoỡa.
Vỏỷy khi gỷp baỡi toaùn quaù trỗnh quaù õọỹ coù kờch thờch chu kyỡ õióửu hoỡa ta thổỷc hióỷn
nhổ sau :
a.
Tổỡ sồ õọử phổùc xaùc lỏỷp sau õoùng mồớ nhổ hỗnh (h.16 -16) bũng phổồng phaùp
phổùc tờnh õổồỹc :

0
6
6
0
xl
3720
10.95,15.314j
1
100
10.95,15.314j
1

A
(37
t
314cos20)
t
(i
0
xl
=
U
.
I
xl
.
L
j
1/
j
C
r
Li
Ltd
(0)
I
t
d
(p)
p
L
1/pC

LxlLLtd

=

giaới F
2
(p) = 0 õổồỹc
314
j
314p
4,3

=

suy ra gọỳc :
)30161t314cos(e102)t(i
0t314
td
=


c.
Xóỳp chọửng i
xl
vaỡ i
td
õổồỹc nghióỷm cuớa quaù trỗnh quaù õọỹ i
qõ
: