Download Chuyên đề Phương trình và bất phương trình mũ miễn phí



1. Phương pháp đặt ẩn phụ
Cũng nhưPT – BPT vô tỉvà lượng giác, đểgiải PT – BPT mũta có thểdùng phương pháp
đặt ẩn phụ. Tức là ta thay thếmột biểu thức chứa hàm sốmũbằng một biểu thức chứa ẩn
phụmà ta đặt và chuyển vềnhững phương trình – bất phương trình ma ta đã biết cách
giải. Phương pháp đặt ẩn phụrất phong phú và đa dạng, đểcó được cách đặt ẩn phụphù
hợp thì ta phải nhận xét được quan hệcảu các cơsốcó trong phương trình
2. Phương pháp đánh giá.
Nội dung phương pháp này là dựa vào tính đơn điệu của hàm sốmũ đểtìm nghiệm của
phương trình. ðường lối chính là ta dự đoán một nghiệm của phương trình rồi dựa vào
tính đơn điệu của hàm sốmũchứng minh phương trình có nghiệm duy nhất.


/tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-33830/
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho

Tóm tắt nội dung:

Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 1
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Công thức hàm số mũ và logarit
1. Phương trình và bất phương trình mũ cơ bản
ðể so sánh hai lũy thừa thì chúng ta phải chuyển hai lũy thừa về cùng cơ số và so sánh hai
số mũ của chúng. Trong trường hợp so sánh BðT (bất phương trình ) thì ta phải chú ý ñến
sự ñơn ñiệu của hàm số mũ ( tức là phải so sánh cơ số với 1). Ta xét các phương trình –
bất phương trình cơ bản sau.
1. f (x) g(x)a a f (x) g(x)= ⇔ = .
2. alog bf (x) aa b a f (x) log b= = ⇔ = .
3. f (x) g(x) aa b f (x) g(x)log b= ⇔ = .
4. f (x) g(x)a a> (1)
+ Nếu a>1 thì (1) f (x) g(x)⇔ >
+ Nếu 0<a<1 thì (1) f (x) g(x)⇔ <
Hay
a 0(1) (a 1)(f (x) g(x)) 0
>
⇔ 
− − >
.
ðể giải phương trình – bất phương trình mũ thì ta phải tìm cách chuyển về các phương
trình – bất phương trình cơ bản trên.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
1) 2x 3x 4 x 12 4 + − −= 2) 3x 1 5x 8(2 3) (2 3)+ ++ = −
3)
x
2 xx 28 36.3 −+ = 4) 3x 1 2x 1 3 x2 . 4 .8 2 2.0,125+ − − =
Giải:
1) 2x 3x 4 2x 2 2 2pt 2 2 x 3x 4 2x 2 x x 2 0 x 1;x 2+ − −⇔ = ⇔ + − = − ⇔ + − = ⇔ = = −
2) Ta có: 1(2 3)(2 3) 1 (2 3) (2 3)−+ − = ⇒ − = + .
3x 1 5x 8 9pt (2 3) (2 3) 3x 1 5x 8 x
8
+ − −⇒ ⇔ + = + ⇔ + = − − ⇔ = − .
3) ðK: x 2≠ −
3x x 4
2 4 x 4 xx 2 x 2
3
x 4Pt 2 2 .3 2 3 log 2 4 x
x 2
−
− −+ + −⇔ = ⇔ = ⇔ = −
+
3
3
x 4(x 4)(x 2 log 2) 0
x 2 log 2
=
⇔ − + + = ⇔ 
= − −
.
4)
4x 2 x 1 4x 2x 1 3 39 3x 39 3x 33 2 32 2 2Pt 2 .2 .2 2 .2 2 2
− + −+
+ + − −
− −⇔ = ⇔ =
Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 2
62
x
7
⇔ = là nghiệm của phương trình .
Chú ý : Nếu trong bài toán có x thì ñiều kiện của x là : x 1;x≥ ∈ℕ .
Ví dụ 2: Giải phương trình :
1) 3x x 33x2 . 4 . 0.125 4 2= 2) 2 2x x x x 2x2 4.2 2 4 0+ −− − + =
Giải:
1) ðK :
1
x
3
3x
 ≥

 ∈ ℕ
. Vì các cơ số của các lũy thừa ñều viết ñược dưới dạng lũy thừa cơ số 2
nên ta biến ñổi hai vế của phương trình về lũy thừa cơ số 2 và so sánh hai số mũ.
Phương trình
x 1 1 x 7x 12.
x 23 3x 3 3 32 2x12 .2 .( ) 2 .2 2 .2 2 2
8
−
⇔ = ⇔ =
x x 1 7
22 3 2x 3
x 3
x x 1 72 2 5x 14x 3 0 12 3 2x 3 x
5
+ −
=
⇔ = ⇔ + − = ⇔ − − = ⇔
 = −

.
Kết hợp với ñiều kiện ta có x 3= là nghiệm của phương trình .
2) Các lũy thừa tham gia trong phương trình ñều cơ số 2. Ta ñi tìm quan hệ giữa các số mũ
ta thấy 2 2 2 2(x x) (x x) 2x x x (x x) 2x+ − − = ⇒ + = − + .
Ta có:
2 2
x x 2x x x 2xPT 2 .2 4.2 2 4 0− −⇔ − − + = .
2 2
x x 2x 2x 2x x x2 (2 4) (2 4) 0 (2 4)(2 1) 0− −⇔ − − − = ⇔ − − =
2
2x
x x
2 4 x 1
x 02 1−
 = =
⇔ ⇔ 
= =
.
Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau:
2
x 3x 1
2x 1 3x 2
1) 2 4
12) ( ) (0,125)
2
−
+ +
>
≤
2
x 1 x 2 x 2 x 1
2 2x x 1 2 1 x
3) 3 5 3 5
1 14) (x ) (x )
2 2
+ + + +
+ + −
+ ≥ +
+ ≤ +
Giải:
1) x 6x 2 2BPT 2 2 x 6x 2 x
5
−⇔ > ⇔ > − ⇔ < .
2)
x
x x x x x x
5
3
5 3 3BPT 25.5 5.5 9.3 3.3 20.5 6.3 x log
3 10 10
 
⇔ − > − ⇔ > ⇔ > ⇔ > 
 
.
Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 3
3)
22x 1 3x 2 9x 6
2 21 1 1BPT 2x 1 9x 6 2x 9x 5 0
2 8 2
+ + +
     
⇔ ≤ = ⇔ + ≥ + ⇔ − − ≥     
     
1
x ( ; ] [5;+ )
2
⇔ ∈ −∞ − ∪ ∞ .
4) Vì 2 1x 0
2
+ > nên ta có các trường hợp sau
*
2 1 1
x 1 x
2 2
+ = ⇔ = ± .
*
2
2 2
11 x 1| x |x 1
2 2 1
x
2x x 1 1 x 2x 2x 0 2
 ≤ − >+ >  ⇔ ⇔   > + + ≥ − + ≥  
.
*
2
2 2
11 | x |x 1 12 2 x 0
22x x 1 1 x 2x 2x 0
 <+ < 
⇔ ⇔ − < ≤ 
 + + ≤ − + ≤ 
.
Vậy nghiệm của bất phương trình là: 1 1x ( ; 1] [ ;0] [ ; )
2 2
∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞ .
Chú ý : Ta có thể giải bài 4 như sau:
2 21BPT (x )(2x 2x) 0
2
⇔ − + ≥ . Lập bảng xét dấu ta cũng tìm ñược tập nghiệm như trên
Ví dụ 4: Tìm tất cả các cặp số thực (x;y) thỏa mãn ñồng thời các ñiều kiện sau :
2
3|x 2x 3| log 5 (y 4)3 5− − − − += (1) và 24 | y | | y 1| (y 3) 8− − + + ≤ (2).
Giải:
Vì | y | 1 | y 1| 4 | y | 1 | y 1| 0+ ≥ − ⇒ + − − ≥ nên từ (2) 2(y 3) 9 y 0⇒ + ≤ ⇒ ≤
2(2) y 3y 0 3 y 0⇒ ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ (*).
Mặt khác
2|x 2x 3| y 3(1) 3 5 y 3 0 y 3− − − −⇔ = ⇒ − − ≥ ⇒ ≤ − (**)
Tư (*) và (**) ta có y 3= − 2|x 2x 3| 23 0 x 2x 3 0 x 1;x 3− −⇒ = ⇔ − − = ⇔ = − = .
Thử lại ta thấy các giá trị này thỏa mãn (1) và (2).
Vậy (x;y) ( 1; 3), (3; 3)= − − − là những cặp (x;y) cần tìm.
Chú ý : 1) Với bài toán trên ta thấy (2) là Bất phương trình một ẩn nên ta tìm cách giải (2)
và ta dư ñoán bài toán thỏa mãn tại những ñiểm biên của y.
2) Ta có thể giải (2) bằng cách phá bỏ dấu trị tuyệt ñối ta cũng tìm ñược nghiệm của (2) là
3 y 0− ≤ ≤ , tuy nhiên cách làm vậy cho ta lời giải dài.
Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 4
Ví dụ 5: Giải và biện luận phương trình : |x 1|
1 2m 1
2 −
= − .
Giải:
* Nếu 12m 1 0 m
2
− ≤ ⇔ ≤ thì phương trình vô nghiệm.
* Nếu |x 1|1 1m PT 2 (2)
2 2m 1
−> ⇒ ⇔ =
−
.
+) Với |x 1|1 1 m 1 (2) 2 1 (2)
2m 1
−
= ⇔ = ⇒ ⇔ = ⇒
−
có 1 nghiệm x 1= .
+) Với m 1 (2)≠ ⇒ có 2 nghiệm phân biệt 2x 1 log (2m 1)= ± − .
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) x x 1 x 2 x x 1 x 22 2 2 3 3 3+ + + ++ + = + + 2) 22x x 5 2x 13 27 + + +=
3) 2x 5x 6 x 35 2− + −= 4)
x 1
x x2 .5 10
−
= 5)
2x 5x 42 2 x 4(x 3) (x 3)− + ++ = +
6)
x 5 x 17
x 7 x 332 0,25.128
+ +
− −
= ( x=10). 7) x xx x= (x=1;x=4)
8)
2x 2
x
3 9 9
.
4 16 16
−
 
= 
 
9) x 1x x x2 . 27 . 5 180+ = .
10)
2 2 2
x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 74 4 4 1− + + + + ++ = + .
Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
1) 2x 4x x 43 2− −≤ 2) 10 3 10 3
3
1
1
3+ < −
−
−
+
+) ( )
x
x
x
x
3) 22 x x(4x 2x 1) 1−+ + ≤
4) 22x x 1| x 1| 1+ −− > 5) 22 2x 3 2 x(x x 1) (x x 1)−+ + < − +
6)
x x 2
x x
2.3 2 1
3 2
+
− ≤
−
7)
2 x |x 1|
x 2x 13
3
− −
−  ≥  
 
8)
2 2 22 x 1 x 2 x4x x.2 3.2 x .2 8x 12++ + > + +
Bài 4: Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất
2|x m 2|
3m 1 2m 1
5 − +
−
= + .
Bài 5: Tìm m ñể phương trình
2|x 4x 3|
4 21
m m 1
5
− +  = − +  
có bốn nghiệm phân biệt.
Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 5
2) Các phương pháp giải PT – BPT mũ:
1. Phương pháp ñặt ẩn phụ
Cũng như PT – BPT vô tỉ và lượng giác, ñể giải PT – BPT mũ ta có thể dùng phương pháp
ñặt ẩn phụ. Tức là ta thay thế một biểu thức chứa hàm số mũ bằng một biểu thức chứa ẩn
phụ mà ta ñặt và chuyển về những phương trình – bất phương trình ma ta ñã biết cách
giải. Phương pháp ñặt ẩn phụ rất phong phú và ña dạng, ñể có ñược cách ñặt ẩn phụ phù
hợp thì ta phải nhận xét ñược quan hệ cảu các cơ số có trong phương trình.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
1) x x2.16 15.4 8 0− − = 2)
2
cos 2x cos x4 4 3 0+ − = .
Giải:
1) Nhận xét cơ số ta thấy 16 chính là bình phương của 4, tứ...

---