Download Tài liệu ôn thi Toán Đại học - Tổ hợp và số phức miễn phí
a) Hỏi công thức Viét vềphương trình bậc hai với hệsốthực có đúng cho phương trình bậc hai với
hệsốphức không? Vì sao?
b) Tìm hai sốphức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).
c) Có phải mọi phương trình bậc hai z^2 + Bz + C = 0 (B, C là hai sốphức) nhận hai nghiệm là hai
sốphức liên hợp không thực phải có các hệsốB, C là hai sốthực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng
không?
/tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-33842/
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download choTóm tắt nội dung:
Hướng dẫn: Ta có ,z a bi z a bi , 2 2 2 2 2 2( ) 2 , ( ) 2 ,z a b abi z a b abi
Và 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3( 3 ) (3 ) , ( 3 ) (3 )z a ab a b b i z a ab a b b i
Vậy 2 2 2 2( ) 2( )z z a b là số thực; 3 3 3 2( ) 3
z z b i
z z a ab
là số ảo;
2 2
2 2
( ) 4
1 . 1
z z ab i
z z a b
là số
ảo.
13)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
i) 2z là số thực âm; b) 2z là số ảo ; c) 2 2( )z z d) 1
z i là số ảo.
Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì 2 2 2 2 2 22 ; 2z x yi z x y xyi z x y xyi
a) 2z là số thực âm khi xy = 0 và 2 2 0x y x = 0 và y 0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ
O
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC
Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 6
b) 2z là số ảo khi 2 2 0x y y = x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ.
c) 2 2( )z z khi xy = 0 x = 0 hay y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ.
d) 1
z i = 2 2
1 ( 1)
( 1) ( 1)
x y i
x y i x y
là số ảo khi x = 0, y 1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0;
14).Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
j) 2 0iz i c) 2 4 0i z e) 2 4 0z
k) 2 3 1i z z d) 1 3 2 3 0iz z i z i
Hướng dẫn:
a) 1 2z i b) 1 3
10 10
z i c) 8 4
5 5
z i d) ; 3 ; 2 3i i i e) 2z i
2) Tìm :
15) Cho số phức z x yi (x, yR). Khi z 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z i
z i
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z i
z i
là số
thực dương.
Hướng dẫn:
a) Phần thực là
2 2
2 2
1
( 1)
x y
x y
, phần ảo 2 2
2
( 1)
x
x y
b) Là số thực dương khi 0x và 2 2 1 0x y Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm
biểu diễn hai số phức ,i i .
16)a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số
phức 1 2 3, ,z z z . Hỏi trọng tâm ABC biểu diễn số phức nào?
b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2 3, ,z z z thỏa 1 2 3z z z .
Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi 1 2 3 0z z z
Hướng dẫn:
a) Gọi G là trọng tâm ABC, ta có 1 2 31 13 3OG OA OB OC z z z vậy G biểu diễn số
phức 1 2 313z z z z
b) Vì OA OB OC nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G
trùng O hay 1 2 3 0z z z .
3. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
I> Căn bậc hai của số phức:
Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b i thoả 2z = w được gọi là căn bậc hai của w.
w là số thực: w = a
a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0
a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a
a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là .a i và – .a i
w là số phức: w = a + b i (a, b , b 0) và z = x + y. i là 1 căn bậc hai của w khi
2z w
2 2
2 x - y = a(x + yi) = a + bi
2xy = b
Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.
VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4 i .
Gọi z = x + y i là căn bậc hai của w. Ta có
2 2
2 2 3( ) 3 4
2 4
x y
z w x yi i
xy
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC
Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 7
2 2 4 2 23 3 4 0 4
2 2 2
x y y y y
x x x
y y y
2
1
y
x
hay
2
1
y
x
.
Vậy có 2 căn bậc hai của w là 1z = 1 + 2 i , 2z = –1 – 2 i .
II> Phương trình bậc hai:
1) Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực: 2 20 ( 0), 4ax bx c a b ac .
0: Phương trình có 2 nghiệm thực 1,2 2
bx
a
< 0: Phương trình có 2 nghiệm phức 1,2 | |.2
b ix
a
VD: Giải phương trình 3 8 0x
3 3 3 2
2
2
8 0 2 0 ( 2)( 2 4) 0
2 4 0 (1)
x
x x x x x
x x
(1) có = 1 – 4 = –3 = 23.i nên có 2 nghiệm phức 1,2 1 3.x i .
Do đó phương trình có 3 nghiệm 1 2 31 3. , 1 3. , 2x i x i x
2) Phương trình bậc hai với hệ số phức: 2 20 ( 0), 4Ax Bx C A B AC , a bi
= 0: Phương trình có nghiệm kép
2
Bx
A
0: Phương trình có 2 nghiệm 1,2 2
Bx
A
với là 1 căn bậc hai của .
VD: Giải phương trình: a) 2 1 02z iz ; b) 2 (3 2 ) 5 5 0z i z i
a) 2 1 02z iz có = –1 – 8 = – 9 = 2(3 )i .
Phương trình có 2 nghiệm phức 1 34
i iz i , 2 3 14 2
i iz i
b) 2 (3 2 ) 5 5 0z i z i có = 2 2(3 2 ) 4(5 5 ) 9 12 4 20 20 15 8i i i i i i =
2(1 4 )i Phương trình có 2 nghiệm phức 1 3 2 1 4 1 32
i iz i ;
2
3 2 1 4 2
2
i iz i
4.BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a) 23 2 1 0z z b) 27 3 2 0z z ; c) 25 7 11 0z z
Hướng dẫn:
a) 1 2
3
i b) 3 47
14
i c) 7 171
10
i
2) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a) 4 2 6 0z z b) 4 27 10 0z z
Hướng dẫn:
a) 2; 3i b) 2; 5i i
3) Cho a, b, c R, a 0, 1 2,z z là hai nghiệm phương trình 2 0az bz c . Hãy tính 1 2z z và 1 2z z
theo các hệ số a, b, c.
Hướng dẫn: 1 2z z = ba , 1 2z z =
c
a
4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm
nghiệm.
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC
Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 8
Hướng dẫn:
Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = 0 2 ( ) 0x z z x zz .
Với z + z = 2a, z z = 2 2a b . Vậy phương trình đó là 2 2 22 0x ax a b
5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì z w
Hướng dẫn: z a bi là một căn bậc hai của w 22 2z w z w z w z w
VD: 23 4 2i i tức 2z i là một căn bậc hai của 3 4w i thì z w
6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:
a) 2 1z z b) 2 2 5 0z z c) 2 (1 3 ) 2(1 ) 0z i z i
Hướng dẫn:
a)
2
2 1 1 5 1 5 1 52. .
2 4 4 2 4 2 2
z z z z
b) 2 2 22 2 5 0 1 4 1 2 1 2 1 2z z z z i z i z i
c) 2 21 3 8 1 2 1i i i i Phương trình có hai nghiệm phức là 1 22 ; 1z i z i .
7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với
hệ số phức không? Vì sao?
b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).
c) Có phải mọi phương trình bậc hai 2 0z Bz C (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai
số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B,...
