Download Bài tập giải tích 12 - Nguyên hàm tích phân miễn phí



Dạng 5. Tính tích phân bằng cá ch sử dụng nguyên hàm phụ
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cầ n tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm
của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của
f(x). Ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác định nguyê n hàm của các hàm số f(x) ±g(x), tức là
F(x) + G(x) = A(x) + C1
F(x) - G(x) = A(x) + C2


/tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-33741/
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho

Tóm tắt nội dung:

nh).
Chẳng hạn: 1
( )( )
A B
x a x b x a x b
= +
- - - -
2
2 2
1 , 4 0
( )( )
A Bx C với b ac
x mx m ax bx c ax bx c
+
= + = - <
-- + + + +
D
2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
A B C D
x a x bx a x b x a x b
= + + +
- -- - - -
2. f(x) là hàm vô tỉ
+ f(x) = , m ax bR x
cx d
ỉ ư+
ç ÷
+è ø
® đặt m ax bt
cx d
+
=
+
+ f(x) = 1
( )( )
R
x a x b
ỉ ư
ç ÷ç ÷+ +è ø
® đặt t x a x b= + + +
Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 83
· f(x) là hàm lượng giác
Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ
bản. Chẳng hạn:
+
[ ]sin ( ) ( )1 1 .
sin( ).sin( ) sin( ) sin( ).sin( )
x a x b
x a x b a b x a x b
+ - +
=
+ + - + +
, sin( )1
sin( )
a bsử dụng
a b
ỉ ư-
=ç ÷-è ø
+
[ ]sin ( ) ( )1 1 .
cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( )
x a x b
x a x b a b x a x b
+ - +
=
+ + - + +
, sin( )1
sin( )
a bsử dụng
a b
ỉ ư-
=ç ÷-è ø
+
[ ]cos ( ) ( )1 1 .
sin( ).cos( ) cos( ) sin( ).cos( )
x a x b
x a x b a b x a x b
+ - +
=
+ + - + +
, cos( )1
cos( )
a bsử dụng
a b
ỉ ư-
=ç ÷-è ø
+ Nếu ( sin ,cos ) (sin ,cos )R x x R x x- = - thì đặt t = cosx
+ Nếu (sin , cos ) (sin ,cos )R x x R x x- = - thì đặt t = sinx
+ Nếu ( sin , cos ) (sin ,cos )R x x R x x- - = - thì đặt t = tanx (hay t = cotx)
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:
a)
( 1)
dx
x x +ị b) ( 1)(2 3)
dx
x x+ -ị c)
2
2
1
1
x dx
x
+
-
ị
d)
2 7 10
dx
x x- +
ị e) 2 6 9
dx
x x- +
ị f) 2 4
dx
x -
ị
g)
( 1)(2 1)
x dx
x x+ +ị h) 22 3 2
x dx
x x- -
ị i)
3
2 3 2
x dx
x x- +
ị
k)
2( 1)
dx
x x +
ị l) 31
dx
x+
ị m) 3 1
x dx
x -
ị
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau:
a) 1
1 1
dx
x+ +
ị b)
1
2
x dx
x x
+
-
ị c) 3
1
1 1
dx
x+ +
ị
d)
4
1 dx
x x+
ị e) 3
x dx
x x-
ị f) ( 1)
x dx
x x +ị
g)
3 42
dx
x x x+ +
ị h)
1
1
x dx
x x
-
+ị i)
3 1
1
x dx
x x
-
+ị
k)
23 (2 1) 2 1
dx
x x+ - +
ị l) 2 5 6
dx
x x- +
ị m) 2 6 8
dx
x x+ +
ị
Bài 3. Tính các nguyên hàm sau:
a) sin 2 sin 5x xdxị b) cos sin3x xdxị c) 2 4(tan tan )x x dx+ị
d) cos2
1 sin cos
x dx
x x+ị e) 2sin 1
dx
x +ị f) cos
dx
xị
g) 1 sin
cos
xdx
x
-
ị h)
3sin
cos
xdx
xị i)
cos cos
4
dx
x x
ỉ ư
+ç ÷
è ø
ị p
k) cos cos2 cos3x x xdxị l) 3cos xdxị m) 4sin xdxị
Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 84
1. Khái niệm tích phân
· Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Ỵ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ( )
b
a
f x dxị .
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= -ị
· Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du F b F a= = = = -ị ị ị
· Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì
diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường
thẳng x = a, x = b là: ( )
b
a
S f x dx= ị
2. Tính chất của tích phân
·
0
0
( ) 0f x dx =ị · ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= -ị ị · ( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=ị ị (k: const)
· [ ]( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±ị ị ị · ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +ị ị ị
· Nếu f(x) ³ 0 trên [a; b] thì ( ) 0
b
a
f x dx ³ị
· Nếu f(x) ³ g(x) trên [a; b] thì ( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx³ị ị
3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
[ ]
( )
( )
( ) . '( ) ( )
u bb
a u a
f u x u x dx f u du=ị ị
trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)]
xác định trên K, a, b Ỵ K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b Ỵ K thì:
b bb
a
a a
udv uv vdu= -ị ị
CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
II. TÍCH PHÂN
Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 85
Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho
b
a
vduị dễ tính
hơn
b
a
udvị .
VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên
hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= -ị
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a) ị ++
2
1
3 )12( dxxx b) ị +++
2
1
132 )3( dxe
x
x x c) ị
-2
1
2
1 dx
x
x
d)
2
2
1 2
x dx
x- +
ị e)
( )
ị
-
-
+1
2
2
24 4 dx
x
x f) 2
2
1
1 1( )
e
x x dx
x x
+ + +ị
g)
2
1
( 1)( 1)x x x dx+ - +ị h)
2
2 3
1
( )x x x x dx+ +ị i) ( )ị -+
4
1
43 42 dxxxx
k)
2 2
3
1
2x x dx
x
-
ị l)
2
1
2 5 7e x xdx
x
+ -
ị m)
8
3 21
14
3
x dx
x
ỉ ư
ç ÷-
ç ÷
è ø
ị
Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
2
1
1x dx+ị b)
5
2
dx
x 2 2x+ + -
ị c)
2
2 3
1
( )x x x x dx+ +ị
d) 2
0 21
xdx dx
x-
ị e)
22
0 3 3
3
1
x dx
x+
ị f)
4 2
0
9x x dx+ị
Bài 3. Tính các tích phân sau:
a) ị +
p p
0
)
6
2sin( dxx b)
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx+ +ị
p
p
c) ( )
6
0
sin3 cos2x x dx
p
+ị
d)
4
2
0
tan .
cos
x dx
x
ị
p
e)
3
2
4
3tan x dxị
p
p
f)
4
2
6
(2 cot 5)x dx+ị
p
p
Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 86
g)
2
0 1 sin
dx
x+ị
p
h)
2
0
1 cos
1 cos
x dx
x
-
+ị
p
i)
2
2 2
0
sin .cosx xdxị
p
k)
3
2
6
(tan cot )x x dx
-
-ị
p
p
l)
2
2
sin( )
4
sin( )
4
x
dx
x-
-
+
ị
p
p
p
p
m)
4
4
0
cos x dxị
p
Bài 4. Tính các tích phân sau:
a)
1
0
dx
x x
x x
e e
e e
-
-
-
+
ị b)
2
2
1
( 1).
ln
x dx
x x x
+
+
ị c)
21
0
4
2
x
x
e dx
e
-
+
ị
d) ln2
0 1
x
x
e dx
e +
ị e)
2
1
(1 )
x
x ee dx
x
-
-ị f)
1
0 2
x
x
e dxị
g) cos2
0
sinxe xdxị
p
h) 4
1
xe dx
x
ị i) 1
1 lne x dx
x
+
ị
k)
1
lne x dx
xị l)
21
0
xxe dxị m)
1
0
1
1 x
dx
e+
ị
VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Giả sử ta cần tính ( )
b
a
g x dxị .
Nếu viết được g(x) dưới dạng: [ ]( ) ( ) . '( )g x f u x u x= thì
( )
( )
( ) ( )
u bb
a u a
g x dx f u du=ị ị
Dạng 2: Giả sử ta cần tính ( )f x dxị
b
a
.
Đặt x = x(t) (t Ỵ K) và a, b Ỵ K thoả mãn a = x(a), b = x(b)
thì [ ]( ) ( ) '( ) ( )
b b
a a
f x dx f x t x t dt g t dt= =ị ị ị
b
a
[ ]( )( ) ( ) . '( )g t f x t x t=
Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa Cách đổi biến
2 2a x-
sin ,
2 2
x a t t= - £ £p p
hay cos , 0x a t t= £ £ p
2 2a x+
tan ,
2 2
x a t t= - < <p p
hay cot , 0x a t t= < < p
2 2x a-
{ }, ; \ 0
sin 2 2
ax t
t
é ù
= Ỵ -ê úë û
p p
hay [ ], 0; \
cos 2
ax t
t
ì ü
= Ỵ í ý
ỵ þ
p
p
Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 87
Bài 1. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
a) ị -
1
0
19)1( dxxx b) ị +
1
0
32
3
)1( x
x c) ị +
1
0
2
5
1
dx
x
x
d) ị +
1
0 12x
xdx e)
1
2
0
1x x dx-ị f)
1
3 2
0
1x x dx-ị
g) ị
+
32
5
2 4xx
dx h) ị
+
+3
0
2
35
1
2 dx
x
xx i)
ln2
0 1
x
x
e dx
e+
ị
k)
( )
ln3
30 1
x
x
e dx
e +
ị l) ị
+e
x
dxx
1 2
ln2 m) ị
+e dx
x
xx
1
lnln31
n) ị
+
2
0
22 sin4cos
2sin
p
dx
xx
x o) ị +
2
0
2
3
sin1
sin.cos
p
dx
x
xx p) ị +
6
0
22 cossin2
2sin
p
dx
xx
x
Bài 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
a) ị
-
2
1
0
21 x
dx b) ị
-
1
0
2
2
4 x
dxx c) ị -
2
1
22 4 dxxx
d) ị +
3
0
2 3x
dx e) ị ++
1
0
22 )2)(1( xx
dx f) ị ++
1
0
24 1xx
xdx
g)
0
21 2 2
dx
x x- + +
ị h) ị
-2
1
3
2 1 dx
x
x i)
( )ị +
1
0
521 x
dx
k) ...

---