Download Chuyên đề Lượng giác và phương trình lượng giác - Ôn thi Toán đại học miễn phí



Nội dung chính
1. Hệ phương trình lượng giác
2. Hệ thức lượng trong tam giác
3. Lượng giác
4. Nhận dạng tam giác
5. Phương trình bậc 2 với hàm lượng giác
6. Phương trình bậc nhất theo sin & cos
7. Phương trình đẳng cấp
8. Phương trình đối xứng theo sin & cos
9. Phương trình lượng giác cơ bản
10. Phương trình lượng giác không mẫu mực
11. Phương trình lượng giác


/tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-33488/
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho

Tóm tắt nội dung:

CHƯƠNG IX: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. GIẢI HỆ BẰNG PHÉP THẾ
Bài 173: Giải hệ phương trình:
( )
( )
2cos x 1 0 1
3sin2x 2
2
− =⎧⎪⎨ =⎪⎩
Ta có: ( ) 11 cos x
2
⇔ =
( )x k2 k
3
π⇔ = ± + π ∈ Z
Với x k
3
2π= + π thay vào (2), ta được
2 3sin2x sin k4
3 2
π⎛ ⎞= + π =⎜ ⎟⎝ ⎠
Với x
3
π= − + πk2 thay vào (2), ta được
2 3sin2x sin k4
3 2
π⎛ ⎞= − + π = − ≠⎜ ⎟⎝ ⎠
3
2
(loại)
Do đó nghiệm của hệ là: 2 ,
3
π= + π ∈x k k
Bài 174: Giải hệ phương trình:
sin x sin y 1
x y
3
+ =⎧⎪ π⎨ + =⎪⎩
Cách 1:
Hệ đã cho
x y x y2sin .cos 1
2 2
x y
3
+ −⎧ =⎪⎪⇔ ⎨ π⎪ + =⎪⎩
π − −⎧ ⎧= =⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ππ⎪ ⎪ + =+ = ⎪⎪ ⎩⎩
x y x y2.sin .cos 1 cos 1
6 2 2
x yx y
33
42
2
33
−⎧ − = π= π ⎧⎪⎪ ⎪⇔ ⇔ π⎨ ⎨π + =⎪ ⎪+ = ⎩⎪⎩
x y x y kk
x yx y
( )
2
6
2
6
π⎧ = + π⎪⎪⇔ ∈⎨ π⎪ = − π⎪⎩
x k
k Z
y k
Cách 2:
Hệ đã cho
3 3
3 1sin sin 1 cos sin 13 2 2
3 3
sin 1 2
3 3 2
2
6
2
6
π π⎧ ⎧= − = −⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨π⎛ ⎞⎪ ⎪+ − = + =⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎩⎩
π⎧ π⎧= − = −⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨π π π⎛ ⎞⎪ ⎪+ = + = + π⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎩⎝ ⎠⎩
π⎧ = + π⎪⎪⇔ ∈⎨ π⎪ = − π⎪⎩

y x y x
x x x x
y x y x
x x k
x k
k
y k
Bài 175: Giải hệ phương trình:
sin x sin y 2 (1)
cos x cos y 2 (2)
⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩
Cách 1:
Hệ đã cho
x y x y2sin cos 2 (1)
2 2
x y x y2cos cos 2 (2)
2 2
+ −⎧ =⎪⎪⇔ ⎨ + −⎪ =⎪⎩
Lấy (1) chia cho (2) ta được:
+⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
x y x ytg 1 (do cos 0
2 2
− = không là nghiệm của (1) và (2) )
2 4
2 2
2 2
+ π⇔ = + π
π π⇔ + = + π⇔ = − + π
x y k
x y k y x k
thay vào (1) ta được: sin x sin x k2 2
2
π⎛ ⎞+ − + π =⎜ ⎟⎝ ⎠
sin x cosx 2⇔ + =
2 cos 2
4
2 ,
4
π⎛ ⎞⇔ −⎜ ⎟⎝ ⎠
π⇔ − = π ∈
=

x
x h h
Do đó: hệ đã cho
( )
2 ,
4
2 , ,
4
π⎧ = + π ∈⎪⎪⇔ ⎨ π⎪ = + − π ∈⎪⎩


x h h
y k h k h
Cách 2: Ta có
A B A C B
C D A C B D
= + =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨= − =⎩ ⎩
D+
−
Hệ đã cho
( ) ( )
( ) ( )
⎧ − + − =⎪⇔ ⎨ + + − =⎪⎩
⎧ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩
sin x cos x sin y cos y 0
sin x cos x sin y cos y 2 2
2 sin x 2 sin y 0
4 4
2 sin x 2 sin y 2 2
4 4
sin sin 0
4 4
sin sin 0
4 4
sin 1
4
sin sin 2
4 4
sin 1
4
2
4 2
2
4 2
sin sin 0
4 4
x y
x y
x
x y
y
x k
y h
x y
⎧ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎧ π π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ π⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⇔ ⇔ + =⎨ ⎨ ⎜ ⎟π π ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ π⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎩ + =⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎩
⎧ π π+ = + π⎪⎪ π π⎪⇔ + = + π⎨⎪⎪ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩
π⎧ = + π⎪⎪⇔ ⎨ π⎪ = + π ∈⎪⎩
x k2
4
y h2 , h, k
4
Z
Bài 176: Giải hệ phương trình:
− − =⎧⎪⎨ + = −⎪⎩
tgx tgy tgxtgy 1 (1)
cos 2y 3 cos 2x 1 (2)
Ta có: tgx tgy 1 tgxtgy− = +
( )
2
1 tgxtgy 0
tg x y 1
tgx tgy 0
1 tgxtgy 0
1 tg x 0 (VN)
⎧ + =− =⎧⎪ ⎪⇔ ∨ − =⎨ ⎨+ ≠⎪⎩ ⎪ + =⎩
(x y k k Z
4
π⇔ − = + π ∈ ) , với x, y k
2
π≠ + π
x y k
4
π⇔ = + + π, với x, y k
2
π≠ + π
Thay vào (2) ta được: cos2y 3 cos 2y k2 1
2
π⎛ ⎞+ + + π = −⎜ ⎟⎝ ⎠
cos 2 3 s 2 1
3 1 1s 2 cos 2 sin 2
2 2 2 6
y in y
in y y y
⇔ − = −
π⎛ ⎞⇔ − = ⇔ −⎜ ⎟⎝ ⎠
1
2
=
( )52 2 2 2
6 6 6 6
y h hay y h h Zπ π π π⇔ − = + π − = + π ∈
, ,
6 2
( lọai)y h h hay y h hπ π⇔ = + π ∈ = + π ∈
Do đó:
Hệ đã cho
( ) ( )
5
6 ,
6
x k h
h k Z
y h
π⎧ = + + π⎪⎪⇔ ∈⎨ π⎪ = + π⎪⎩
Bài 177: Giải hệ phương trình
3
3
cos x cos x sin y 0 (1)
sin x sin y cos x 0 (2)
⎧ − + =⎪⎨ − + =⎪⎩
Lấy (1) + (2) ta được: 3 3sin x cos x 0+ =
3 3
3
sin x cos x
tg x 1
tgx 1
x k (k
4
⇔ = −
⇔ = −
⇔ = −
π⇔ = − + π ∈ Z)
Thay vào (1) ta được: ( )3 2sin y cos x cos x cos x 1 cos x= − = −
= =2 1cos x.sin x sin 2x sin x
2
π π⎛ ⎞ ⎛= − − +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
1 sin sin k
2 2 4
⎞π⎟⎠
π⎛ ⎞= − − + π⎜ ⎟⎝ ⎠
1 sin k
2 4
⎧⎪⎪= ⎨⎪−⎪⎩
2 (nếu k chẵn)
4
2 (nếu k lẻ)
4
Đặt 2sin
4
α = (với 0 2< α < π )
Vậy nghiệm hệ
( )π π⎧ ⎧= − + π ∈ = − + + π ∈⎪ ⎪⎪ ⎪∨⎨ ⎨= α + π ∈ = −α + π ∈⎡ ⎡⎪ ⎪⎢ ⎢⎪ ⎪= π − α + π ∈ = π + α + π ∈⎣ ⎣⎩ ⎩



x 2m , m x 2m 1 , m
4 4
y h2 , h y 2h , h
y h2 , h y h2 , h
II. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG
Bài 178: Giải hệ phương trình:
( )
( )
1sin x.cos y 1
2
tgx.cotgy 1 2
⎧ = −⎪⎨⎪ =⎩
Điều kiện: cos x.sin y 0≠
Cách 1: Hệ đã cho
( ) ( )1 1sin x y sin x y
2 2
sin x.cos y 1 0
cos x.sin y
⎧ + + − =⎡ ⎤⎣ ⎦⎪⎪⇔ ⎨⎪ − =⎪⎩
−
( ) ( )
( ) ( )
( )
+ + − =⎧⎪⇔ ⎨ − =⎪⎩
−
+ + − =⎧⎪⇔ ⎨ − =⎪⎩
sin x y sin x y 1
sin x cos y sin y cos x 0
sin x y sin x y 1
sin x y 0
−
( )
( )
+ = −⎧⎪⇔ ⎨ − =⎪⎩
π⎧ + = − + π ∈⎪⇔ ⎨⎪ − = π ∈⎩


sin x y 1
sin x y 0
x y k2 , k
2
x y h , h
( )
( )
π π⎧ = − + + ∈⎪⎪⇔ ⎨ π π⎪ = − + − ∈⎪⎩
≠


x 2k h , k, h
4 2
y 2k h , k, h
4 2
(nhận do sin y cos x 0)
Cách 2: ( ) sin x cos y2 1
cos xsin y
⇔ = ⇔ =sin x cos y cos x sin y
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) (
( ) ( ) (
1sin cos 3
2
1cos sin 4
2
sin 1 3 4
sin 0 3 4
Thế 1 vào 2 ta được:
x y
x y
x y
x y
⎧ = −⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩
+ = − +⎧⎪⇔ ⎨ − = −⎪⎩
)
)
2 ,
2
,
x y k k
x y h h
π⎧ + = − + π ∈⎪⇔ ⎨⎪ − = π ∈⎩


( )
( )
( )
2
4 2 ,
2
4 2
x k h
h k Z
y k h
π π⎧ = − + +⎪⎪⇔ ∈⎨ π π⎪ = − + −⎪⎩
III. GIẢI HỆ BẰNG ẨN PHỤ
Bài 179: Giải hệ phương trình:
( )
( )
2 3 1
3
2 3cotg cotg 2
3
tgx tgy
x y
⎧ + =⎪⎪⎨ −⎪ + =⎪⎩
Đặt = =X tgx, Y tgy
Hệ đã cho thành:
2 3 2 3X Y X Y
3 3
1 1 2 3 Y X 2 3
X Y 3 YX
⎧ ⎧+ = + =⎪ ⎪⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ +⎪ ⎪+ = − = −⎪ ⎪⎩ ⎩ 3
2
2 3X Y2 3X Y 3
3
2 3XY 1 X X 1 0
3
X 3 3X
33Y Y 33
⎧⎧ + =⎪+ =⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪= − − − =⎩ ⎪⎩
⎧ ⎧= = −⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨= −⎪ ⎪ =⎩ ⎩
Do đó:
Hệ đã cho :
tgx 3 3tgx
33tgy tgy 33
⎧ ⎧= = −⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨= −⎪ ⎪ =⎩ ⎩
, ,
3 6
, ,
6 3
π π⎧ ⎧= + π ∈ = − + π ∈⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨π π⎪ ⎪= − + π ∈ = + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩


x k k x k k
y h h y h h
Bài 180: Cho hệ phương trình:
1sin x sin y
2
cos2x cos2y m
⎧ + =⎪⎨⎪ + =⎩
a/ Giải hệ phương trình khi 1m
2
= −
b/ Tìm m để hệ có nghiệm.
Hệ đã cho ( ) ( )2 2
1sin x sin y
2
1 2sin x 1 2sin y m
⎧ + =⎪⇔ ⎨⎪ − + −⎩ =
( )
⎧ + =⎪⎪⇔ ⎨ −⎪ + =⎪⎩
⎧ + =⎪⎪⇔ ⎨⎪ + − = −⎪⎩
2 2
2
1sin x sin y
2
2 msin x sin y
2
1sin x sin y
2
msin x sin y 2sin xsin y 1
2
⎧ + =⎪⎪⇔ ⎨⎪ − =⎪⎩
1sin x sin y
2
1 m2sin xsin y 1
4 2
−
⎧ + =⎪⎪⇔ ⎨⎪ = − +⎪⎩
1sin x sin y
2
3 msin xsin y
8 4
Đặt X sin x,Y sin y với X , Y 1= = ≤
thì X, Y là nghiệm của hệ phương trình
( )2 1 m 3t t 0
2 4 8
− + − = *
a/ ( )= − 1Khim thì * thành :
2
− − =
⇔ − − =
⇔ = ∨ = −
2
2
1 1t t 0
2 2
2t t 1 0
1t 1 t
2
Vậy hệ đã cho
sin x 1 1sin x
21sin y sin y 12
=⎧ ⎧ = −⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨= −⎪ ⎪ =⎩ ⎩
2 , ( 1) ,
2 6
( 1) , 2 ,
6 2
π π⎧ ⎧= + π ∈ = − − + π ∈⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨π π⎪ ⎪= − − + π ∈ = + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩


h
h
x k k x h h
y h h y k k
b/ Ta có : ( ) 2m 1* t
4 2
⇔ = − + + 3t
8
Xét ( ) [ ]2 1 3y t t C trênD 1,1
2 8
= − + + = −
thì: 1y ' 2t
2
= − +
1y ' 0 t
4
= ⇔ =
Hệ đã cho có nghiệm ( ) [ ]* có 2 nghiệm trên -1,1⇔
( ) md y
4
⇔ = cắt (C) tại 2 điểm hay tiếp xúc [ ]trên -1,1
⇔ − ≤ ≤
⇔ − ≤ ≤
1 m 7
8 4 16
1 7m
...

---