Download miễn phí Giáo trình Tích phân bội



4.1.Tích phân Riemann trên hộp đóng trong Rn. 133
4.1.1. Khái niệm. 133
4.1.2. Các thí dụ. 137
4.1.3. Các tính chất ban đầu . 139
4.2. Sựtồn tại tích phân. Tích phân trên tập bất kỳ. 140
4.2.1. Hàm bậc thang và sựtồn tại của tích phân. 140
4.2.2. Tích phân trên tập bất kỳ. 142
4.2.3. Tính khảtích của hàm liên tục . 148
4.2.4. ý nghĩa của tích phân bội . 150
4.3. Tích phân lặp . 152
4.3.1. Định lý Fubini . 152
4.3.2. Các hệquảquan trọng. 156
4.4. Phép đổi biến trong tích phân bội. 159
4.4.1. Phân hoạch đơn vịvà bổ đềcơbản. 159
4.4.2. Phép đổi biến trong tích phân bội . 162
4.4.3. Một vài thí dụ. 168


http://s1.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2014-01-02-giao_trinh_tich_phan_boi.7MAAuqdW5D.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-53293/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

không phải là hàm khả tích.
144 Giải tích các hàm nhiều biến
Lưu ý. Việc định nghĩa thể tích của một tập thông qua khái niệm tích phân rất thuận tiện
cho công việc tính toán. Ngoài cách định nghĩa này, người ta còn có thể định nghĩa thể tích
theo phương pháp xấp xỉ bằng các hộp (một tập có thể tích nếu nó bị “kẹp giữa” 2 họ hình
hộp có thể tích sai lệch nhau nhỏ bao nhiêu tuỳ ý). Hai định nghĩa này tuy rất gần nhau,
nhưng không hoàn toàn trùng nhau. Dễ thấy rằng tập hợp trong thí dụ trên là không có thể
tích theo nghĩa của ta (vì tích phân không tồn tại), nhưng lại có thể tích 0 theo định nghĩa
kiểu xấp xỉ vừa nói (vì từ định nghĩa suy ra mọi tập đếm được là có thể tích 0).
Từ định nghĩa ta có ngay các kết quả sau đây về tích phân trên tập bất kỳ.
Mệnh đề
(i) Nếu các hàm f, g là khả tích trên tập A ⊂ Rn thì hàm ( )f g+ cũng khả tích
trên tập A và khi ấy
( )
A A A
f g f g+ = +∫ ∫ ∫ .
(ii) Nếu hàm f là khả tích trên tập A ⊂ Rn và c là một số thực thì cf cũng khả
tích trên A và
. .
A A
c f c f=∫ ∫ .
Chứng minh. Suy ra ngay từ các tính chất tương tự của tích phân trên hộp.
Mệnh đề. Nếu hàm f là khả tích trên tập A ⊂ Rn và không âm trên A thì
0
A
f ≥∫ .
Chứng minh. Suy ra ngay từ tính chất tương tự của tích phân trên hộp.
Hệ quả
(i) Nếu các hàm f, g là khả tích trên tập A ⊂ Rn và ( ) ( )f x g x≤ , x A∀ ∈ , thì
A A
f g≤∫ ∫ .
(ii) Nếu hàm f là khả tích trên một tập A ⊂ Rn có thể tích và ( )m f x M≤ ≤ ,
x A∀ ∈ , thì . ( ) . ( )
A
m V A f M V A≤ ≤∫ .
Chứng minh. Suy ngay từ mệnh đề trên.
Các tập có thể tích 0 sẽ được dùng nhiều trong các nghiên cứu sau này. Ta
liệt kê một số tính chất của chúng.
Mệnh đề
Chương 4. Tích phân bội 145
(i) Một tập A ⊂ Rn là có thể tích 0 khi và chỉ khi, với mỗi số 0ε> cho trước,
tồn tại một số hữu hạn các hộp (đóng hay mở) có hợp chứa tập A và có tổng
thể tích bé hơn ε.
(ii) Tập con của một tập có thể tích 0 thì cũng là một tập có thể tích 0.
(iii) Hợp của hữu hạn các tập có thể tích 0 thì cũng là tập có thể tích 0.
(iv) Nếu tập A ⊂ Rn là có thể tích 0 và tập D ⊂ Rn là có thể tích thì hợp và hiệu
của chúng cũng có thể tích và ( ) ( \ ) ( )V D A V D A V D∪ = = .
(v) Nếu tập A ⊂ Rn là có thể tích 0 thì mọi hàm f bị chặn trên A sẽ khả tích
trên A và có tích phân trên A bằng 0.
(vi) Đồ thị của một hàm số liên tục từ một tập compact S ⊂ Rn-1 vào R là một tập
có thể tích n-chiều bằng 0.
Chứng minh. (i) Vì tập có thể tích thì giới nội nên ta có thể giả sử A nằm trong
một hộp B nào đó. Gọi f là hàm nhận giá trị 1 trên A và nhận giá trị 0 trên tập
\B A . Theo định nghĩa ta có ( )
A B
V A f f= =∫ ∫ . Nếu tập có thể tích 0 thì tích
phân vế phải bằng 0, và theo định nghĩa, với mỗi số 0ε> , tồn tại phân hoạch của
hộp B (với đường kính đủ bé) sao cho mọi tổng Riemann tương ứng có trị tuyệt
đối nhỏ hơn ε. Dễ thấy rằng với phép chọn C thích hợp ( kc là điểm của A nếu
hộp con kB có giao với A), tổng Riemann này chính là tổng thể tích của các hộp
con (trong phân hoạch) chứa các điểm của tập A. Nghĩa là, A nằm trong hợp của
các hộp con có tổng thể tích nhỏ hơn ε. Ngược lại, giả sử, với mỗi ε>0 cho trước,
tập A nằm trong hợp của các hộp con 1 2, ,..., NB B B với
1
( )
N
i
i
V B ε
=
<∑ . Ta định
nghĩa các hàm if bằng cách cho nó nhận giá trị 1 trên tập iB B∩ và nhận giá trị
0 trên tập \ iB B , thì ta có
1
N
i
i
g f
=
=∑ là hàm bậc thang trên B và 0 ( ) ( )f x g x≤ ≤ ,
x B∀ ∈ . Rõ ràng
( )
1 1 1
0 ( ) ( )
N N N
i i iB Bi i i
g f V B B V B ε
= = =
− = = ∩ ≤ ≤∑ ∑ ∑∫ ∫ ,
nghĩa là f bị kẹp giữa 2 hàm bậc thang (là 0 và g) với hiệu tích phân không vượt
quá ε. Từ định nghĩa suy ra hàm f là khả tích trên hộp B. Ta có
0 0
B B B
f g ε= ≤ ≤ ≤∫ ∫ ∫ , với mọi 0ε> ,
146 Giải tích các hàm nhiều biến
cho nên 0
B
f =∫ và nghĩa là ( ) 0V A = .
Lưu ý rằng một hộp mở luôn nằm trong một hộp đóng có cùng thể tích, và một
hộp đóng có thể được chứa trong một hộp mở có thể tích gấp đôi (hộp cùng tâm và
có cạnh dãn ra theo hệ số 2n ). Cho nên về thực chất ta đã chứng minh (i) cho cả 2
trường hợp các hộp phủ A là đóng hay mở.
Các Phần (ii) - (iii) suy ra ngay từ phần (i).
Để chứng minh (iv) hãy lưu ý rằng, do (ii), ta có ( \ ) ( ) 0V A D V A D= ∩ = .
Định nghĩa các hàm
1
1
( )
0
x D
f x
x D
khi
khi
 ∈= ∉
, 2
1 \
( )
0 \
x A D
f x
x A D
khi
khi
 ∈= ∉
, 3
1
( )
0
x A D
f x
x A D
khi
khi
 ∈ ∩= ∉ ∩
.
Khi đó, hàm 1f có tích phân trên toàn không gian bằng 1 ( )D V D=∫ , hàm 2f có
tích phân trên toàn không gian bằng
\
1 ( \ ) 0
A D
V A D= =∫ , hàm 3f có tích phân
trên toàn không gian bằng 1 ( ) 0
A D
V A D∩ = ∩ =∫ .
Vì hàm 1 2f f+ nhận giá trị 1 trên tập A D∪ và nhận giá trị 0 ở ngoài tập
này nên ta có ( )V A D∪ bằng tích phân của ( 1 2f f+ ) trên toàn không gian, và do
đó bằng tổng các tích phân của 1f , 2f (trên toàn không gian), nghĩa là bằng
( ) ( \ ) ( )V D V A D V D+ = .
Đồng thời ( 1 2f f− ) là hàm nhận giá trị 1 trên tập \D A và nhận giá trị 0 ở
ngoài tập này cho nên bằng lập luận tương tự như trên ta suy ra ( \ ) ( )V D A V D= .
Như vậy (iv) đã được chứng minh đầy đủ.
Để chứng minh (v) ta giả sử rằng A nằm trong một hộp B và | ( ) |f x M< ,
x A∀ ∈ . Gọi f là thác triển của f trên toàn không gian (bằng cách cho nó nhận
giá trị 0 tại mọi điểm nằm ngoài tập A). Trong chứng minh phần (i) ta đã chỉ ra
rằng, với mỗi số 0ε> , tồn tại hàm g xác định trên hộp B sao cho ( ) 0g x ≥ ,
x B∀ ∈ , ( ) 1,g x x A≥ ∀ ∈ , và
B
g ε<∫ . Suy ra
. ( ) ( ) . ( )M g x f x M g x− ≤ ≤ , x B∀ ∈ , và [ ( )] 2 2
B B
Mg Mg M g M ε− − = ≤∫ ∫ .
Như vậy, hàm f luôn được kẹp bởi 2 hàm bậc thang có độ lệch tích phân nhỏ bao
nhiêu tuỳ ý, cho nên nó là khả tích. Cũng từ đây suy ra rằng trị tuyệt đối của tích
phân hàm f cũng là một số nhỏ bao nhiêu tuỳ ý, cho nên phải bằng 0. Điều này
có nghĩa là hàm f khả tích trên A và có tích phân bằng 0. Phần (v) đã được chứng
minh xong.
Chương 4. Tích phân bội 147
Để chứng minh (vi) ta giả sử rằng tập S được chứa trong một hộp B ⊂ Rn-1.
Với mỗi 0ε> cho trước, do tính liên tục đều của hàm liên tục trên tập compact, ta
tìm được số 0δ> sao cho | ( ) ( ) |f p f q ε− < , với mọi , , ( , )p q S d p q δ∈ < . Ta
chọn phân hoạch của B đủ mịn sao cho bề rộng của nó nhỏ hơn / 1nδ − , khi ấy
các hộp con của phân hoạch 1,..., KB B đều có các cạnh nhỏ hơn / 1nδ − và suy
ra 2 điểm trong cùng một hộp sẽ cách nhau một khoảng nhỏ hơn δ. Như vậy
, ( , ) | ( ) ( ) |ip q B S d p q f p f qδ ε∈ ∩ ⇒ < ⇒ − < .
Điều này có nghĩa là phần đồ thị của hàm f trên tập iB S∩ sẽ nằm hoàn toàn
trong một hộp n-chiều có đáy là iB và chiều cao là ε . Thể tích của hộp này là
. ( )iV Bε . Vì
1
( )
K
i
i
S B S∪
=
⊂ ∩ cho nên đồ thị của hàm f không thể nằm ngoài hợp
của các hộp với tổng thể tích là
1 1
( ) ( ) ( )
K K
i i
i i
V B V B V Bε ε ε
= =
= =∑ ∑ . Vì số ε có thể
n...

---