Download miễn phí Chuyên đề Bài toán liên quan đến cực trị và tiệm cận hàm số



2. Cực trịcủa hàm số.
2.1. Các bài toán đơn thuần tìm cực trị:
Các bạn học sinh cần lưu ý rằng chúng ta có 2 quy tắc đểtìm cực trị. Quy tắc 1 và
quy tắc 2. Chúng tôi có lời khuyên sau:
- Nếu việc xét dấu của đạo hàm bậc nhất là dễdàng, các bạn nên dùng quy tắc 1.
- Nếu việc xét dấu ấy khó khăn (VD trong các bài toán mà hàm số đã cho có dạng
lượng giác, hay trong các bài toán có tham số), thì các bạn nên dùng quy tắc 2. Xét VD
sau:


http://s1.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2014-01-01-chuyen_de_bai_toan_lien_quan_den_cuc_tri_va_tiem_c.2h2ujo6DQr.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-53132/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT
VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009
MÔN: TOÁN
BIÊN SOẠN: TỔ TOÁN - TT BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN
CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ VÀ TIỆM CẬN HÀM SỐ
I. MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ
Hệ thống lại lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán về tiệm cận, điểm cực đại
và cực tiểu.
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Quy tắc tìm cực đại, cực tiểu của hàm số y = F(x)
1.1. Quy tắc 1:
- Tìm đạo hàm y’.
- Cho đạo hàm y’= 0, dễ tìm thấy các điểm dừng x1,x2,x3…xn
(xi gọi là điểm dừng của y = F(x) nếu y’(xi)= 0).
- Lập bảng xét dấu y’. Từ đó suy ra cực đại, cực tiểu cần tìm.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 với ∈x R
Ta có y’= 3x2 – 6x. Cho y’= 0 ta có:
3x2 – 6x= 0 => x1= 0, x2 = 2.
Lập bảng xét dấu:
x -∞ 0 2 +∞
y' + 0 - 0 +
y
Vậy hàm số y = x3 – 3x2 đạt cực đại tại M(0,0) và cực tiểu tại N(2,-4).
1.2. Quy tắc 2:
- Tìm đạo hàm y’.
- Cho đạo hàm y’= 0, dễ tìm thấy các điểm dừng x1,x2,x3…xn
- Nếu y’’(xi) > 0, thì hàm số đạt cực tiểu khi x= xi. Nếu y’’(xi) < 0, thì HS đạt cực đại
tại xi.
Ví dụ 2: Cho hàm số y= sin2x – sinx xét trên [0,2π ].
y’= 2sinxcosx – cosx = sin2x – cosx.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 1
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009
y'= 0 ta có : cosx(2sinx - 1) = 0
=> cosx = 0, sinx = 1
2
.
Trên [0,2π ], các điểm dừng của hàm số là: x1= π
6
; x2= π
2
; x3 = π5
6
;
x4 = π3
2
. Dễ thấy y’’ = 2cos2x + sinx.
- y’’(x1) = 2cos π
3
+ sin π
6
> 0 => hàm số đạt cực tiểu tại ( π
6
,- 1
4
).
- y’’(x2) = 2cos + sinπ π
2
= -1 hàm số đạt cực đại tại ( π
2
,0).
- y’’(x3) = 2cos π5
3
+ sin π5
6
= 2cos π
3
+ sin π
6
> 0 => hàm số đạt cực tiểu tại ( π5
6
,- 1
4
).
- y’’(x4) = 2cos3π + sin3 π
2
= -3 hàm số đạt cực đại tại (3 π
2
,0).
2. Cực trị của hàm số.
2.1. Các bài toán đơn thuần tìm cực trị:
các bạn học sinh cần lưu ý rằng chúng ta có 2 quy tắc để tìm cực trị. Quy tắc 1 và
quy tắc 2. Chúng tui có lời khuyên sau:
- Nếu việc xét dấu của đạo hàm bậc nhất là dễ dàng, các bạn nên dùng quy tắc 1.
- Nếu việc xét dấu ấy khó khăn (VD trong các bài toán mà hàm số đã cho có dạng
lượng giác, hay trong các bài toán có tham số), thì các bạn nên dùng quy tắc 2. Xét VD
sau:
Ví dụ 1: Cho hàm số y= (x - m)3 – 3x.
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x= 0.
Ta có: y’ = 3(x - m)2 – 3
y'’ = 6(x - m)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ, x= 0 khi:
m = -1
⎧ =⎪⎪⎨⎪ >⎪⎩
'( )
''( )
y 0 0
y 0 0
⎧⎪ − =⎪⎨⎪− >⎪⎩
23m 3 0
6m 0
Nhận xét: Rõ ràng sử dụng quy tắc 2 trong trường hợp này là phù hợp.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 + 2. Tìm cực trị của hàm số.
Hãy giải thích vì sao không dùng được quy tắc 2 trong VD này?
Ta có: y’ = 4x3
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 2
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009
y’= 0 4x3 = 0 x= 0.
Lập bảng biến thiên như sau:
x -∞ 0 +∞
y’ - 0 +
y
Vậy hàm số có cực tiểu tại điểm (0,2).
(Xin lưu ý với các bạn: Vì x3 = x2.x, nên việc xét dấu của y = x3 giống hệt như xét dấu của y
= x).
- Ta thấy: y’’= 12x2
y'’(0) = 0.
Vậy nếu dùng quy tắc 2 thì do y’’ = 0 khi x = 0, nên chưa thể nói gì về cực trị của hàm số tại
x = 0.
Nói cách khác, quy tắc 2 chỉ là một điều kiện đủ để nhận biết hàm số có đạt cực trị tại
một điểm cho trước hay không? (Nếu không thỏa mãn thì chỉ có thể nói rằng: không thể
dùng quy tắc 2 trong trường hợp này mà thôi!)
2.2. Các bài toán định tính về cực trị:
- Các bài tập này thường có dạng sau: Tìm điều kiện để một hàm số đã cho có cực trị và cực
trị thỏa mãn một điều kiện nào đó (tính chất này thường cho dưới dạng một hệ thức có thể là
đẳng thức hay bất đẳng thức).
- Lược đồ chung để giải bài toán này như sau:
+ Trước hết tìm điều kiện để hàm số đã cho có cực trị (nói cách khác tìm điều kiện
cần để lời giải). Xin lưu ý với các bạn rằng: học sinh hay quên điều này vì họ cho rằng
khi đầu bài yêu cầu tìm điều kiện để cực trị của hàm số thỏa mãn một điều kiện nào đó thì
họ mặc nhiên công nhận là
∃
cực trị đã tồn tại . Chính vì thế dẫn đến chuyện trong các
nghiệm tìm được rất có khả năng gặp phải nghiệm ngoại lai (nghiệm thừa).
+ Vận dụng các kiến thức khác (ở đây hay dùng định lý Viet) để CM hệ thống mà
cực trị của hàm số cần thỏa mãn.
- Ta rất hay sử dụng một số kiến thức sau:
• Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a# 0) có cực đại, cực tiểu PT y’ = 0 (3ax2 +
2bx + c = 0) có 2 nghiệm phân biệt.
• Hàm số y = + ++' '
2ax bx c
a x b
(a, a’ # 0).
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 3
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009
Có cực đại và cực tiểu y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt #− '
'
b
a
• Hàm số y = + ++' '
2ax bx c
a x b
(a, a’ # 0) nếu có cực trị tại x0 thì:
y(x0) =
+
'
02ax b
a
Một cách tổng quát: Nếu y = ( )
( )
x
x
P
Q
đạt cực trị tại x = x0 , thì
y(x0) =
( )
( )
'
'
x0
x0
P
Q
Xét các VD sau:
Ví dụ3: Cho hàm số y= x3 + 2(m - 1)x2 + (m2 – 4m + 1)x – 2(m2 +1).
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại 2 điểm có hoành độ x1, x2 sao cho:
+ = +( )1 2
1 2
1 1 1 x x
x x 2
Trước hết để hàm số có cực trị ta cần có PT: y’ = 0 có 2 No phân biệt.
Ta có y’ = 0 3x2 + 4(m -1)x + (m2 - 4m + 1) = 0 (1).
(1) có 2 No phân biệt khi ∆’ > 0.
m2 + 4m +1 > 0
<− −
>− −
m 2
m 2
3
3
(2)
Vậy (2) là điều kiện để đường cong có cực trị.
Khi có cực trị, hoành độ x1, x2 của nó là No của (1).
Ta có: + = +( )1 2
1 2
1 1 1 x x
x x 2
+1 2
1 2
x x
x x
= +( )1 21 x x2
2(x1 + x2) = x1 x2 (x1 + x2)
(x1 + x2)(2- x1 x2) = 0
* Nếu x1 + x2 = 0. Theo định lý Viet ta có:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 4
− =( )4 1 m 0
3
m = 1
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009
Giá trị m = 1 thỏa mãn (2).
* Nếu x1 x2 = 2. Theo định lý Viet ta có:
− + =
2m 4m 1 2
3
m2 – 4m – 5 = 0
m= -1 hay m = 5
Ta nhận thấy m= -1 không thỏa mãn (2), còn m= 5 thỏa mãn (2).
Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là: m= 1 và m= 5.
Chú ý: Đây là VD chứng minh rằng nếu bỏ qua điều kiện cần (tìm điều kiện để có cực trị)
thì sẽ dẫn đến thừa No (ở đây thừa No m = -1).
Ví dụ 4:
Cho F(x) = − + +
3 2x x mx 1
3 2
G(x)= + + +
3
2x x 3mx
3
m
Tìm m để mỗi hàm số có 2 cực trị, vì giữa 2 hoành độ cực trị của hàm số này có một
hoành độ cực trị của hàm số kia.
Ta có: F’(x) = x2 – x + m
G’(x)= x2 + 2x + 3m.
Trước hết ta cần tìm điều kiện để F(x) và G(x), mỗi hàm số đều có cực trị. Điều kiện
đó là các PT: F’(x) = 0 và G’(x) = 0 đều có 2 No phân biệt.
Nói khác đi ta cần có:
m <
⎧Δ = − >⎪⎪⎨⎪Δ = − >⎪⎩
1
2
1 4m 0
1 3m 0
1
4
(1)
Với điều kiện (1) thì: F(x) có 2 cực trị tại x1, x2 (x1 < x2).
G(x) có 2 cực trị tại x3, x4 (x3 < x4).
Theo...

---