Một số lưu ý khi giải phương trình có chứa tham số bằng phương pháp đặt ẩn phụ - pdf 17

Download miễn phí Một số lưu ý khi giải phương trình có chứa tham số bằng phương pháp đặt ẩn phụ



Bài giải được trình trên 2 cột: cột bên trái ghi các nhận xét
hay các bước giải; cột bên phải trình bày lời giải, cuối cùng là một sốbài tập tựluyện.
Mong rằng bài viết này sẽgiúp ích cho một sốem học sinh hay chí ít cũng cho các em ôn
lại những điều mà mình đã biết đểchuẩn bịcho tốt trong các kì thi, đồng thời cùng trao đổi,
học hỏi với các đồng nghiệp. Chúc các em học sinh đạt kết quảcao trong các kì thi sắp tới.



Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Tài liệu ôn thi ĐH&CĐ 2009
1
MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ
CHỨA THAM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Mở đầu
Hầu hết trong các đề thi ĐH & CĐ đều có các bài toán giải và biện luận phương trình (pt)
và hệ pt, tìm các giá trị tham số m∈R để phương trình (hệ pt) có nghiệm trong miền D nào
đó…. Một trong những công cụ chủ đạo để giải đó là dùng khảo sát hàm số trong chương
trình 12 và đa số thông qua biến phụ t để đưa phương trình đầu tiên về các dạng quen thuộc
hay có thể đặt được dưới dạng một hàm số mà có thể khảo sát được. Một điều cần lưu ý
nữa, đó là trong chương trình THPT đã giảm tải phần so sánh nghiệm của pt bậc hai với số
α hayβ cho trước, do đó việc dùng các tính chất đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của hàm số là điều tất yếu để giải quyết vấn đề. Bài viết này xin điểm qua các bài toán
về dạng này trong các đề thi gần đây, qua đó sẽ phân tích, nhận xét mối tương quan giữa
các số hạng, các yếu tố, tính chất của các biến… trong bài toán để hình thành phương pháp
giải quyết và đưa ra một số lỗi kĩ thuật mà thí sinh hay mắc phải do thói quen hay nhầm lẫn
trong quá trình trình bày lời giải. Để giúp cho tất cả mọi học sinh (đủ trình độ) hiểu rõ hơn
trong khi đọc, chúng tui trình bày từng bước một, nên bài giải hơi dài, các bạn có thể lướt
qua nếu thấy mình đã nắm được vấn đề. Tuy nhiên trong bài thi chúng ta phải trình bày chặt
chẽ, lập luận thật loogic để đi đến kết quả, chứ không được làm tắt quá bắt giám khảo phải
hiểu cho mình là điều nên tránh. Bài giải được trình trên 2 cột: cột bên trái ghi các nhận xét
hay các bước giải; cột bên phải trình bày lời giải, cuối cùng là một số bài tập tự luyện.
Mong rằng bài viết này sẽ giúp ích cho một số em học sinh hay chí ít cũng cho các em ôn
lại những điều mà mình đã biết để chuẩn bị cho tốt trong các kì thi, đồng thời cùng trao đổi,
học hỏi với các đồng nghiệp. Chúc các em học sinh đạt kết quả cao trong các kì thi sắp tới.
1. Các ví dụ
Ví dụ 1. (ĐH & CĐ 2002–A)
Cho phương trình: 2 23 3log log 1 2 1 0x x m+ + − − = (1) (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3[1; 3 ].
Giải:
Nhận xét:
2 2
3 3log log 1 1x x= + − ≥ 0
⇒ 23log 1 1x + ≥
Thêm bớt 1 vào (1)
Đặt t và bình phương t.
(1) ⇔ 2 23 3log 1 log 1 2 2 0x x m+ + + − − = (2)
Đặt 23log 1 1 t x= + ≥ ⇒ 23log 1 1 t x= + ≥ (*)
Thay t vào (1) (1) ⇔ t2 + t – 2m – 2 = 0 , t ≥1 (3)
Câu a) Với m = 2
ƒ (2) ⇔ t2 + t – 6 = 0 , t ≥1 (4)
Giải pt (4) và chọn nghiệm thỏa
điều kiện (*)
⇔ ( t = –3) V ( t = 2), t ≥1
⇔ t = 2.
Vậy nghiệm của phương trình (3): t = 2
Gv Phan Hữu Thiềm
Thạc sỹ Toán học
Trường THPT Nguyễn Trãi Tây Ninh
Tài liệu ôn thi ĐH&CĐ 2009
2
Tìm x ƒ t = 2 ⇔ 23log 1 4x + = ⇔ 23log 3x =
⇔ 3log 3x = ± ⇔ 33x ±= .
Kết luận Vậy khi m = 2, nghiệm của phương trình (1): 33x ±= .
Câu b)
Tìm điều kiện của biến phụ t
ƒ 3 31 3 0 log 3x x≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ 231 log 1 4x≤ + ≤
⇔ 231 log 1 2x≤ + ≤ ⇔ 1 ≤ t ≤ 2. (**)
Bài toán trở thành: Tìm m để pt
(5) có ít nhất một nghiệm thuộc
đoạn [1; 2].
ƒ (1) ⇔ t2 + t – 2m – 2 = 0 , 1 ≤ t ≤ 2
⇔ t2 + t – 2 = 2m , 1 ≤ t ≤ 2 (5)
Lập bảng biến thiên của hàm:
y = t2 + t – 2
+ y’=2t + 1.
+ y’ = 0 ⇔ t = – ½
ƒ Đặt
2 2 ( )
2 ( ) / /Ox
y t t P
y m d
⎧ = + −⎨ =⎩
. Như vậy số nghiệm của
(5) là số giao điểm của (P) và đường thẳng (d) trên
đoạn [1; 2]. Ta có bảng biến thiên của (P) sau:
Chú ý: Ở đây các em học sinh
hay nhầm 0 ≤ m ≤ 4, vì do thói
quen hay đặt y = m là sai, mà
phải: 0 ≤ 2m ≤ 4
ƒ Căn cứ vào bảng trên ta được:
Pt (1) có nghiệm thỏa điều kiện bài toán ⇔ pt (5) có
nghiệm t thỏa (**) ⇔ 0 ≤ 2m ≤ 4 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2.
Nhận xét:
∗ Đối với pt có chứa tham số m và có câu hỏi giải pt với giá trị của m cụ thể (ví dụ 1), chúng ta
không nên thay m liền để giải, mà nên biến đổi đến mức tối thiểu (pt 3) có thể được, rồi sau đó mới
thay giá trị m để giải câu a. Làm như vậy để tránh lập lại bước biến đổi đầu tiên từ pt (1)→ pt(3)
trong cả 2 câu a) và b).
∗ Học sinh dễ mắc bẩy ở đây: Hể cứ đặt ( )t f x= thì chúng ta liền viết t≥0, điều này thường dẫn
đến dư nghiệm, nếu như bài toán có chứa tham số m. Như ví dụ 1) ở trên: do
2 2
3 3log log 1 1x x= + − ≥ 0 ⇔ 23log 1 1x + ≥ ⇔ 23log 1 1x + ≥ , nên điều kiện t≥ 1. Hơn nữa hàm f
đôi lúc còn được xác định trên miền D cho trước [(**)], vì thế chúng ta phải tìm miền giá trị của
hàm f ⇒ các cận của t. Bằng cách quen thuộc là khảo sát hàm t: xem biến phụ t là hàm theo x trên
tập xác định của x như ví dụ 2 sau.
Ví dụ 2. (ĐH & CĐ 2004–A) Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( )2 2 4 2 21 1 2 2 1 1 1 .m x x x x x+ − − + = − + + − − (1).
Giải:
Nhận xét: 2 2 41 . 1 1x x x+ − = −
Tìm miền giá trị của t
Khảo sát t = f(x) / [–1; +1]
ƒ Điều kiện: –1≤ x ≤ 1
ƒ Đăt 2 2( ) 1 1t f x x x= = + − − , với x∈[–1; +1].
Cách 1
Ta có:
2 2 2 2
1 1'( )
1 1 1 1
x xf x x
x x x x
⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟+ − + −⎝ ⎠
Tài liệu ôn thi ĐH&CĐ 2009
3
Do
2 2
1 1
1 1x x
++ − >0 với x ∈ (–1; 1).
Nên: f’(x) = 0 ⇔ x = 0.
Bảng biến thiên của t=f(x).
Như vậy: 0 2t≤ ≤
Nhận xét: 1+ x2 ≥ 1 – x2≥0.
Bình phương t:
Cách 2
Với x∈[–1; +1].Ta có:
2 21 1x x+ ≥ − ⇒ 2 21 1 0t x x= + − − ≥
⇒ 2 2 22 2 1 . 1 2t x x= − + − ≤
Điều kiện của biến phụ t ⇒ 0 2t≤ ≤ .
Tính 41 x− theo t
ƒ 2 2 2 42 2 1 . 1 2(1 1 )t x x x= − + − = − −
⇔ 4 22 1 2x t− = −
Thay t vào (1) ƒ (1) ⇔ m( t + 2) = 2 – t2 + t, 0 2t≤ ≤
Tính m theo t ⇔
2 2
2
t tm
t
− + += + ; 0 2t≤ ≤
Chia đa thức ⇔
43
2
m t
t
= − + + − + ; 0 2t≤ ≤ (2)
Bài toán trở thành: Tìm m để
phương trình (2) có nghiệm t
thỏa: 0 ≤ t ≤ 2 .
ƒ Đăt: 4( ) 3
2
m g t t
t
= = − + + − + ; 0 2t≤ ≤
2
4'( ) 1
( 2)
g t
t
= − + + ; g’(t) = 0 ⇔ (t = –4) V (t = 0).
Dùng phương pháp đồ thị để tìm
m.
Lập bảng biến thiên..
Cách 1
Kết luận: Căn cứ vào bảng biến
thiên ta có kết quả.
ƒ Vậy pt (1) có nghiệm ⇔ pt (2) có nghiệm / [0; 2 ]
⇔ 2 1 1m− ≤ ≤ .
Chú ý: Phải nói m = g(t) là hàm
xác định và liên tục trên đoạn
đang xét ⇒ Hàm đạt giá trị nhỏ
nhất và lớn nhất trên đoạn đó.
Kết luận
Cách 2
ƒ Nhận xét: m= g(t) là hàm liên tục trên đoạn [0; 2 ]
và có đạo hàm g’(t) < 0 trên (0; 2 ) , vì thế:
0; 2
min ( ) ( 2) 2 1f t f
⎡ ⎤⎣ ⎦
= = − .và
0; 2
m ax ( ) (0) 1f t f
⎡ ⎤⎣ ⎦
= =
ƒ Vậy pt(1) có nghiệm ⇔ pt (2) có nghiệm / [0; 2 ]

0; 2 0; 2
min ( ) m ax ( )f t m f t
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
≤ ≤
⇔ 2 1 1m− ≤ ≤
Tài liệu ôn thi ĐH&CĐ 2009
4
Nhận xét
∗ Ta có: .a b ab= vì ( a≥0 & b ≥0)⇒ a.b≥0. Tuy nhiên điều ngược lại: . .a b a b=
thường không đúng, vì a.b ≥ 0 ⇒ a; b cùng dấu ⇒ a; b có thể đều âm ⇒ , a b vô nghĩa. Tương tự
như: log log log ( )a a aA B AB+ = , ngược lại chúng ta không có: log ( ) log loga a aAB A B= + .
∗ Cách 2 trong việc tìm cận (chận) của t là cách làm đẹp, tuy nhiên nếu không nhận ra dược t≥0
thì bài toán không hoàn chỉnh, thậm chí sai. Hơn nữa phép bình phương là ...
Music ♫

Copyright: Tài liệu đại học © DMCA.com Protection Status