Download miễn phí Luận văn Các dạng hội tụ của dãy hàm đo được



MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .7
1. Lý do chọn đề tài .7
2. Giớihạncủa đề tài.7
3. Mục tiêu đề tài.7
NỘI DUNG .9
Chơng 1: KIẾN THỨC CHUẨNBỊ. .9
1.1 ĐỘ ĐO.9
1.1.1 Đạisốtậphợp .9
1.1.2. σ- Đạisố .9
1.1.3. σ- Đạisố Borel. 10
1.1.4. Độ đo trênmột đạisốtậphợp . 11
1.1.5Mởrộng độ đo . 13
1.1.6 Độ đo trên r . 15
1.2- HÀMSỐ ĐO ĐƯỢC . 17
1.2.1 Định nghĩa . 17
1.2.2Mộtsố tính chấtcủa hàmsố đo được . 18
1.2.3 Các phép toán trên các hàmsố đo được. 20
1.3- TÍCH PHÂN LEBESGUE . 23
1.3.1. Tích phâncủa hàm đơn giản không âm . 23
1.3.2 Tích phâncủa hàm đo được không âm . 24
1.3.3 Tích phâncủa hàm đo đượcbấtkỳ . 26
1.3.4 Tính chất . 26
1.3.5 Giớihạn quadấu tích phân. 27
Chơng 2:SỰHỘITỤCỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC . 30
2.1 CÁCDẠNGHỘITỤCỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC. 30
2.1.1 Hộitụhầu khắpnơi (converges almost everywhere) . 30
2.1.2 Hộitụ đều (converges uniformly) . 31
2.1.3 Hộitụ đềuhầu khắpnơi (converges uniformly almost everywhere). 32
2.1.4 Hộitụ theo độ đo (converges in measure) . 32
2.1.5 Hộitụ trung bình (converges in the mean) . 34
2.1.6 Hộitụhầu như đều (converges almost uniformly) . 35
2.2 CÁCDẠNG DÃYCƠBẢN . 36
2.2.1 Dãycơbảnhầu khắpnơi (Cauchy almost everywhere, hay fundamental
almost everywhere) . 36
2.2.2 Dãy cơbản đều ( uniformly Cauchy). 37
2.2.3 Dãy cơbảnhầu như đều (almost uniformly Cauchy). 37
2.2.4 Dãy hàmcơbản trung bình (Cauchy in the mean hay mean fundamental). 37
2.2.5 Dãycơbản trong độ đo (Cauchy in measure, hay fundamental in
measure). . 37
2.3SỰ LIÊNHỆ GIỮA CÁCDẠNGHỘITỤCỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC . 38
2.3.1 Liênhệ giữa hộitụ trung bình và hộitụ theo độ đo . 38
2.3.2 Liênhệ giữa hộitụ trung bình và hộitụhầu khắpnơi . 39
2.3.3 Liênhệ giữa hộitụ theo độ đo và hộitụhầu khắpnơi . 40
2.3.4 Liênhệ giữa hộitụ trung bình vàhộitụ đều . 43
2.3.5 Liênhệ giữa hộitụhầu như đều và hộitụhầu khắpnơi . 43
2.3.6 Liênhệ giữa hộitụ theo độ đo và hộitụhầu như đều . 45
2.3.8 Liênhệ giữa hộitụhầu khắpnơi và hộitụ đều . 48
2.3.9 Liênhệ giữa hộitụ trung bình và cơbản trung bình. 49
2.3.10 Liênhệ giữa cơbản trung bình và cơbản theo độ đo . 50
2.3.11 Liênhệ giữa cơbản trung bình và hộitụhầu như đều. 50
2.3.12 Liênhệ giữa cơbảnhầu như đều và hộitụhầu như đều. 50
2.3.13 Liênhệ giữa cơbản theo độ đo và cơbảnhầu như đều . 52
2.3.14 Liênhệ giữa cơbản theo độ đo và hộitụ theo độ đo . 53
2.3.15Lược đồ thể hiệnmối liênhệ giữa cácdạnghộitụ. 54
Chơng 4: BÀITẬP . 56
KẾT LUẬN . 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 73


http://s1.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2014-01-02-luan_van_cac_dang_hoi_tu_cua_day_ham_do_duoc.S5hQJJiQMR.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-53348/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

đề trên nói chung không đúng. Nghĩa
là, nếu ta có f g+ đo được thì chưa suy ra được f và g đo được.
Ví dụ: Xét các hàm số
( )
î
í
ì
Ï
Î
=
Ax
Ax
xf
,0
,1
và ( ) 1, ;
0, .
x A
g x
x A
- Îì
= í Ïî
Với ,A AÌ ¡ là tập không đo được Lebesgue.
Ta có:
( )1 ,0f A- -¥ =
và ( ) Ag =+¥- ,01 .
nên gf , là những hàm số không đo được trên .¡
Nhưng, ( )( ) 0,f g x x+ = " ÎR nên gf + đo được trên .¡
( )iii Nếu f và g đo được và hữu hạn trên A thì f g- cũng đo được trên A .
Thật vậy, vì g đo được nên g- đo được. Do đó, ( )f g f g- = + - đo
được trên A .
( )iv Nếu f và g đo được, hữu hạn trên A thì .f g đo được trên A .
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 22 -
Thật vậy, ( ) ( )2 21.
4
f g f g f gé ù= + - -ë û nên .f g đo được trên .A
* Tuy nhiên, mệnh đề đảo của mệnh đề ( )iv không đúng.
Ví dụ: Xét các hàm số
( ) 1, ;
0, .
x A
f x
x A
Îì
= í Ïî
và ( ) 0, ;
1, .
x A
g x
x A
Îì
= í Ïî
Với ,A AÌ ¡ là tập không đo được Lebesgue.
Rõ ràng, ,f g không đo được trên ¡ .
Nhưng, ( )( ). 0,f g x x= " Ρ nên gf . là hàm đo được trên .¡
Nhận xét:
Hàm f đo được A Û hàm f + và f - đo được trên .A
Trong đó:
{ }max ,0 ;f f+ = { }max ,0f f- = -
( )v Nếu f và g đo được, hữu hạn trên A thì { } { }max , , min ,f g f g đo được
trên .A
Thật vậy, ta có:
{ } ( )1max ,
2
f g f g f gé ù= + + -ë û ;
{ } ( )1min ,
2
f g f g f gé ù= + - -ë û là những hàm đo được trên .A
Do đó { }min ,f g , { }max ,f g đo được trên A .
( )vi Nếu f và g đo được và hữu hạn trên A , ( ) 0, ,g x x A¹ " Î thì f
g
đo
. được trên .A
Thật vậy, do ( ) 0,g x x A¹ " Î nên:
,a" Î ¡ 22
, 0;
1
1 , 0
A
A
a
a
g ag
a
Æ £ì
ì ü ï >í ýî þ ïî þî
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 23 -
Þ 2
1 .
A
a
g
ì ü
< Îí ý
î þ
F
Như vậy, 2
1
g
đo được trên .A
Do 2
1.f f g
g g
= nên suy ra
g
f đo được trên .A
( )vii Nếu dãy ( ){ }n nf x ÎN là một dãy những hàm số đo được và hữu hạn trên
A thì các hàm số ( ){ }sup n nn f x ÎN , ( ){ }inf n nn f x ÎN , ( ){ }lim n nf x ÎN ,
( ){ }lim n nf x ÎN là những hàm đo được, và nêu tồn tại lim nx f f®¥ = , thì f
cũng đo được trên A .
Thật vậy,
,a" ÎR ( ){ }{ } { }
1
sup n n A
n A n
f x a f a
³
£ = £ ÎI F
,a" ÎR ( ){ }{ } { }
1
inf n n An A n
f x a f a
³
< = < ÎU F
Do đó, ( ){ }sup n nn f x ÎN , ( ){ }inf n nn f x ÎN là những hàm đo được trên .A
Vì
1
lim inf sup ;n mn m n
f f
³ ³
=
1
lim sup infn mm nn
f f
³³
=
Nên suy ra nn ff lim,lim cũng là những hàm đo được trên .A
Do đó, nếu ff nn =¥®lim thì lim nf f=
Vậy, f đo được trên A .
1.3- TÍCH PHÂN LEBESGUE
1.3.1. Tích phân của hàm đơn giản không âm
Å Định nghĩa
Xét một không gian có độ đo ( ), ,X mF , AÎF .
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 24 -
Hàm số f xác định trên A được gọi là hàm đơn giản nếu f đo được và nhận
một số hữu hạn những giá trị hữu hạn.
Như vậy, nếu f là hàm đơn giản không âm xác định trên tập .AÎF Khi đó, f
có dạng:
( )å
=
=
n
i
A xaf i
1
c ( )*
Trong đó, iA đo được, rời nhau và U
n
i
iAA
1=
= .
Người ta gọi ( )å
=
n
i
ii Aa
1
m là tích phân của hàm đơn giản f đối với độ đo m trên .A
Ký hiệu:
A
fdmò .
Tích phân của hàm đơn giản không âm f được xác định bởi ( )* là duy nhất với
mọi cách biểu diễn của hàm f .
1.3.2 Tích phân của hàm đo được không âm
Trước khi trình bày định nghĩa tích phân hàm đo được không âm, luận văn đề
cập lại định lý về cấu trúc của hàm đo được:
Å Định lý
Mỗi một hàm số đo được trên A đều là giới hạn của một dãy { }n nf những hàm
đơn giản trên A : lim , .nn f f x A®¥ = " Î
Hơn nữa, nếu 0,f ³ thì tồn tại { }n nf sao cho:
nf đơn giản, 0nf ³ , 1n nf f+ ³ , và lim , .nn f f a®¥ = " Î ¡
Chứng minh
• Ta chứng minh cho trường hợp 0³f trên .A
Với mỗi số tự nhiên n , ta đặt:
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 25 -
( ){ }nxfAxCn ³Î= :0
( ) ( )1: , 1, 2,..., 22 2
i n
n n n
i iC x A f x i-ì ü= Î £ < =í ý
î þ
Đặt:
( )
0,
1 ,
2
n
n i
nn
n x C
f x i x C
ì Î
ï= í -
Îïî
Khi đó, nf là hàm đơn giản trên A , 0³nf , và 1n nf f+ ³
Ta chứng minh lim nnf f®¥=
+ Nếu ( ) ¥<xf thì n$ đủ lớn: nfn <
Do đó, :i$ ( ) nn
ixfi
22
1
<£
-
( ) nn
ixf
2
1-
=Þ
( ) ( ) 0
2
1
®<-Þ nn xfxf khi n ® ¥
Như vậy, .lim nn ff ¥®=
+ Nếu ( ) +¥=xf thì ( ) ,f x n n> "
Do đó ( ) nxfn = và ( ) ( ).lim xfxfnn =+¥=¥®
• Xét trường hợp f là hàm đo được bất kỳ trên A .
Khi đó, f f f+ -= -
Vì -+ ff , là các hàm không âm nên theo chứng minh trên tồn tại hai dãy
hàm đơn giản { } { }-+ nn ff , :
lim nnf f
+ +
®¥
= ; lim nnf f
- -
®¥
=
Đặt: n n nf f f+ -= -
Ta được { }nnf là dãy hàm đơn giản và .lim ffffnn =-=
-+
¥®
Å Định nghĩa
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 26 -
Giả sử f là đo được không âm, xác định trên tập A . Khi đó, tồn tại nf
dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng, và lim .nx f f®¥ =
Tích phân của hàm f trên A đối với độ đo m được định nghĩa là:
fdmò = lim nn
A
f dm
®¥ ò .
1.3.3 Tích phân của hàm đo được bất kỳ
Nếu f là hàm đo được bất kỳ, ta phân tích: -+ -= fff .
Nếu
A
f dm+ò hay
A
f dm-ò hữu hạn thì hiệu số
A
f dm+ -ò
A
f dm-ò có nghĩa và nó
được gọi là tích phân của hàm f trên A đối với độ đo .m
Hàm f được gọi là khả tích trên A nếu ò
A
fdm hữu hạn.
1.3.4 Tính chất
( )i Các tính chất đơn giản:
Å ( ).
A
cd c Am m=ò
Å ( ) ( ).B
A
x d A Bac m am= Çò
Å ( ) ( )
1 1
.
i
n n
i B i i
i iA
x d A Ba c m a m
= =
= Çå åò
( )ii Nếu f đo được trên A và ( ) 0Am = thì 0.
A
fdm =ò
( )iii Nếu f đo được, giới nội trên A và ( )Am < ¥ thì f khả tích trên A .
( )iv Tính chất cộng tính:
Nếu A BÇ = Æ thì
A B A B
fd fd fdm m m
È
= +ò ò ò , nếu một trong hai vế của
đẳng thức có nghĩa.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 27 -
( )v Tính bảo toàn thứ tự:
Å Nếu gf = h.k.n trên A thì .
A A
fd gdm m=ò ò
( gf = h.k.n trên A nếu ( ) 0: =Ì$ BAB m và ( ) ( ) B\, Axxgxf Î"= ).
Å Nếu f g£ trên A thì
A A
fd gdm m£ò ò
( )vi Tính chất tuyến tính:
Å ,
A A
cfd c gd cm m= " Îò ò .¡
Å ( ) .
A A A
f g d fd gdm m m+ = +ò ò ò (nếu vế phải có nghĩa).
1.3.5 Giới hạn qua dấu tích phân
Định lý hội tụ đơn điệu
Cho dãy hàm đo được { }nf .
Nếu 0 nf f£ ­ trên A thì lim nn
A A
f d fdm m
®¥
=ò ò .
Chứng minh
● Nếu { }nf là dãy các hàm đơn giản thì hiển nhiên theo định nghĩa tích phân ta
có lim .nn
A A
f d fdm m
®¥
=ò ò
● Xét trường hợp { }nf bất kỳ.
Gọi ijh là các hàm đơn giản không âm sao cho :
11131211 ... fhhhh n ­££££
22232221 ... fhhhh n ­££££
………………………….
Đặt { }1 2max , ,...,n n n nnh h h h=
Ta có: nh là dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng và nn fh £
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 28 -
Do đó, ( )*n n
A A A
h f f£ £ò ò ò
Mặc khác, nk £" thì nnkn fhh ££
Cho ¥®n ta được : fhf nnk ££ ¥®lim
Cho k ® ¥ , ta có fhnn =¥®lim
Kết hợp với (*), và cho ¥®n ta suy ra : lim nn
A A
f d fdm m
®¥
=ò ò .
Å Bổ đề Fatou
Nếu 0nf ³ trên A thì lim lim .n n
A
f d f dm m£ò ò
Chứng minh
Đặt { },...,inf 1+= nnn ffg
Ta có nn fg ...

---