20 cách chứng minh bất đẳng thức NesBit
Loạt bài này sẽ giới thiệu 20 cách chứng minh bất đẳng thức Nesbit nổi tiếng. Trước hết ta
phát biểu lại bất đẳng thức này: Với mọi a, b, c lớn hơn 0, ta luôn có

Xin nói ngoài lề một chút, trong bài này ta sử dụng một cách viết công thức trong Blogspot
mới, cho một kết quả tốt hơn chưa xuất hiện ở đâu trên thế giới. Nó sẽ ra mắt bạn đọc trong
một ngày không xa.
Ta trở lại với bài toán.
Cách 1:
Cộng thêm 1+1+1 vào hai vế của bất đẳng thức , ta được:

Đây là bất đẳng thức quen thuộc (nhân hai vế với 2 rồi sử dụng BĐT Cauchy 2 lần và nhân lại).
Cách 2: Đặt
Ta có
Từ đó

Cách 3: Không mất tính tổng quát, ta giả sử: . Xét hàm số:

trên khoảng I=(0;1), ta có

Do đó là hàm lồi trên , áp dụng bất đẳng thức Jensen thì

Cách 4:
Đặt


Khi đó

hay

Theo BDT hoán vị thì

và

Cộng vế theo vế ta có kết quả mong muốn
Cách 8:
Theo Cauchy-Schwarz ta có:

Ta còn có : Kết hợp lại là xong .
Cách 9:
BDT ban đầu tương đương với hay : Theo AM-GM: Cộng theo vế 6 BDT tương tự ta có kết quả mong muốn.

Theo AM-GM ta có:

Cách 14:

Đặt

Lúc đó

BDT cần chứng minh là

Ta chứng minh bằng phản chứng, nếu

thì theo 2 BDT quen thuộc ta có

Mâu thuẫn!!!
Cách 15:
Theo AM-GM cho 2 số thì

hay

Hoàn toàn tương tự, ta được

và Cộng vế theo vế ta có kết quả

Cách 16:
Ta có thể giả sử


Theo AM-GM ta có các BDT

và

Suy ra

hay

Điều này quá gần với BDT Nesbit. Công việc còn lại dành cho bạn đọc.
Cách 20:
Ta có: Áp dụng BDT sau của Vasile Cirtoaje (có thể tìm thấy chứng minh trong cuốn Sáng tạo BDT
của Phạm Kim Hùng).

Áp dụng BDT Schwarz cho 3 số