Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN
của hàm số bằng phương pháp chuyển về lượng giác
-----------
Dạng 1: Sử dụng điều kiện của biến x k (k >0)
Đặt x = k.sina;
22
ππ
≤≤−
a
hoặc đặt x = k.cosa; 0 a
Ví dụ 1: Chứng minh các biểu thức sau:
a,
154aa93
2
≤+−
b,
9
2
8a
2
a16a1
≤+−≤−
c,
3a1 víi12645a
2
24a
3
4a ≤≤≤−+−
Giải:
a, Điều kiện:
22

b, Điều kiện a 1. Đặt a = cos; 0
Ta có
9
2
8a
2
a16a1
≤+−≤−

5
2
4(2a
2
a16a ≤−+−≤− )15

51)
2
4(2cossin 6cos
≤−+
ααα

524cos3sin
≤+
αα

)
5
3
vµsin
5

2
2
x12x1)
2
(2x3 ≤−+−
Giải:
a, Điều kiện x 1; y 1
Đặt x = sina, y = sinb với






−∈
2
;
2
ππ
ba,
Khi đó:
2
x1y
2
y1x −+−
= sinacosb + sinbcosa = sin(a + b)

1b)sin(a
2
x1y

2(cos
πππ
−=+
=
2
≤−=−+−
)
6
(cos(2a2
2
x12x1)
2
(2x3
π
(đpcm)
Ví dụ 3:
Chứng minh nếu x < 1 và n là số nguyên (n 2) thì ta có BĐT:
(1 - x)
n
+ (1 +x)
n
< 2
n
Giải:
Với điều kiện bài toán x < 1
đặt x = cosa, a K
Khi đó (1 - x)
n
+ (1 +x)
n

2)
2
a
2
cos
2
a
2
(sin
n
2 )
2
a
2n
cos
2
a
2n
(sin
n
2
=+<+
(vì với n 2 sin
2n
x < sin
2
x và cos
2n
x < cos
2

4
a
3
+ b
3
d, a + b = c. Chứng minh:
4
3
4
3
4
3
cba
>+
e, x
2
+ y
2
= u
2
+ v
2
= 1
Chứng minh:
2v)y(uv)x(u
≤++−
Giải:
a, Từ điều kiện x
2
+ y

) cos
2
1
sin
2
3
2( cos sin3
αααα
+=+
=
) cos
6
sin
6
2(
α
π
α
π
+
=
(1) -2)
6
2sin(
⇒≥+
π
α
và
) cos
2

= (sin
2
+ cos
2
) (sin
4
- sin
2
cos
2
+ cos
4
)
= (sin
2
+ cos
2
)
2
- 3sin
2
cos
2
= 1-
4
3
sin
2
2
Vì 0 sin

4
> a
3
+ b
3
* Giả sử a 0; b 0. Từ điều kiện a + b = 2
Ta đặt a = 2sin
2
; b = 2cos
2
khi đó:
a
4
+ b
4
> a
3
+ b
3
16sin
8
+ 16cos
8
8sin
6
+ 8cos
6

8sin
6

1
=+
c
b
c
a
Đặt
αα
2
cos
c
b
;
2
sin
c
a
==
Khi đó (1)
4
3
4
3
4
3
cba
>+
>1
1
4

và
αα
2
(cos cos
2
3
) >
do đó
1
2
cos
2
sin
2
3
)
2
3
)
=+>+
αααα
(cos(sin
tức là ta có (2) từ đó suy ra đpcm
Dạng 3: Sử dụng điều kiện x k (k > 0)
Đặt
α
cos
k
x
=

31
2
a
2
≤
+−
≤−
b, Cho a 1, b 1 chứng minh rằng
ab1
2
b1
2
a ≤−+−
c, Cho x, y, x, t là nghiệm hệ







≥+
=+
=+
12tyzx
16
2
z
2
t

=
+−
αα
α
α
tg
31
a
31
2
a
=
3
cos + sin = 2 (
αα
sin
2
1
cos
2
3
+
)
= 2 (cos
6
π
cos + sin
6
π
sin) = 2 cos( -

3
π
)
Khi đó:
A =
ab
1
2
b1
2
a
−+−
=
βα
βα
cos
1
.
cos
1
1
2
cos
1
1
2
cos
1
−+−
= coscos(tg + tg) = sin( + )

1
2
b1
2
a ++ .
b,
2
1
)1)(
2
1
≤
+
−+
≤−
22
ba-(1
ab)b)(a(a
Giải:
a, Đặt a = tg; b = tg với , (-
2
π
;
2
π
)
Khi đó: 1 + ab 1 + tgtg =
βα
ααβα
coscos

π
;
2
π
)
Khi đó:
A=
βα
βαβα
2
tgtg (1
gtg-)(1tg(tg
)
2
b)(1
2
a(1
ab)b)(1(a
2
+++
+
=
++
−+
1()
t
= cos
2
.cos
2

A
2
1
(đpcm)
Ví dụ 2: Chứng minh a, b, c R ta có:
2
c1.
2
b1
c-b
2
b1.
2
a1
ba
2
c1.
2
a1
ca
++
+
++
−
≤
++
−
Đặt a = tg; b = tg, c= tg
Biểu thức cần chứng minh: