Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN
của hàm số bằng phơng pháp chuyển về lợng giác
-----------
Các vấn đề cần chuẩn bị :
1- Các công thức lợng giác
2- Các ĐT, BĐT trong tam giác
3, Bài toán ví dụ:
Dạng 1: Sử dụng điều kiện của biến x k (k >0)
Đặt x = k.sina;
22


a
hoặc đặt x = k.cosa; 0 a
Ví dụ 1: Chứng minh các biểu thức sau:
a,
154aa93
2
+
b,
9
2
8a
2
a16a1
+
c,
3a1 với12645a
2
24a
3

5
3
cos
==

b, Điều kiện a 1. Đặt a = cos; 0
Ta có
9
2
8a
2
a16a1
+

5
2
4(2a
2
a16a
+
)15

51)
2
4(2cossin 6cos
+


524cos3sin
+

Ví dụ 2: Chứng minh các bất đẳng thức:
a,
1
2
x1y
2
y1x
+
b,
2
2
x12x1)
2
(2x3
+
Giải:
a, Điều kiện x 1; y 1
Đặt x = sina, y = sinb với







2
;
2

ba,

cos2a
2
3
2( sin2a cos2a 3
+=+
=
)
6
(cos(2a2 sin2a)
6
sin cos2a
6
2(cos

=+
=
2
=+
)
6
(cos(2a2
2
x12x1)
2
(2x3

(đpcm)
Ví dụ 3:
Chứng minh nếu x < 1 và n là số nguyên (n 2) thì ta có BĐT:
(1 - x)











+
=
n
2)
2
a
2
cos
2
a
2
(sin
n
2 )
2
a
2n
cos
2
a

y2
x3

+
b,
1yx
4
1
66
+
c, a + b = 2; chứng minh: a
4
+ b
4
a
3
+ b
3
d, a + b = c. Chứng minh:
4
3
4
3
4
3
cba
>+
e, x
2
+ y








+
(2) 2 cos sin3
(1) -2 cos sin3


Ta có:
) cos
2
1
sin
2
3
2( cos sin3

+=+
=
) cos
6
sin
6
2(



y2
x3

+
b, Đặt x = sin; y = cos
Khi đó:
x
6
+ y
6
= sin
6
+ cos
6

= (sin
2
+ cos
2
) (sin
4
- sin
2
cos
2
+ cos
4
)
= (sin
2

66
+
(đpcm)
c, * Nếu một trong hai số có hai số âm, chẳng hạn b <0
Khi đó a> 2 và ta có a
4
> a
3
; b
4
> b
3
Vậy a
4
+ b
4
> a
3
+ b
3
* Giả sử a 0; b 0. Từ điều kiện a + b = 2
Ta đặt a = 2sin
2
; b = 2cos
2
khi đó:
a
4
+ b
4

4
+ sin
2
cos
2
+ cos
4
) 0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có đpcm
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cos2 = 0 hay sin
2
= cos
2
hay a = b
d, Từ giả thiết
1
=+
c
b
c
a
Đặt

2
cos
c
b
;
2
sin

3
)
2
3
)
>+
αα
(cos(sin
(2)
V× 0 < sinα < 1 vµ 0 < cosα < 1 nªn
αα
2
sin(sin
>
2
3
)
vµ
αα
2
(cos cos
2
3
)
>
do ®ã
1
2
cos
2

2
(
)1
−
α
2
cos
1
= k
2
tg
2
α vµ tgα > 0
VÝ dô 1:
a, Cho a ≥ 1, chøng minh r»ng
2
a
31
2
a
2
≤
+−
≤−
b, Cho a ≥ 1, b ≥ 1 chøng minh r»ng
ab1
2
b1
2
a

=
; α ∈[ 0;
2
π
) ∪ [π ;
2
3
π
)
Khi ®ã:
5