TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 08 tháng 04 năm 2010
BTVN NGÀY 08-04
Chứng minh các hệ thức tổ hợp.
Bài 1 : Chứng minh rằng với
, ;2k n k n
∈ ≤ ≤
¥
luôn có:

1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
− − − −
+
+ + + + =

Bài 2 : Chứng minh rằng:
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
+ + + + +
+ +
+ + + = +

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
HDG CÁC BTVN
• BTVN NGÀY 08-04
Bài 1 : Chứng minh rằng với
, ;2k n k n
∈ ≤ ≤
¥
luôn có:

1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
− − − −
+
+ + + + =
Giải:

( ) ( )
( )
1 1 2 2 3 3 4
1 2 3 1 1 2 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 2
2 2 2 2 2 2 2 3 3

1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
+ + + + +
+ +
+ + + = +

Giải:

( )
1 2 1 1 2 1 2 2
1 1 2
1 2 3 1 1 2 2 3
1 2 3 1 2 2 3 2 3
1 1 1 1 1 1 1 2 2
ó : 2
3 3 2
2
k k k k k k k k k k
n n n n n n n n n n
k k k k k k k k k k
n n n n n n n n n n
k k k k k k k k k
n n n n n n n n n
Ta c C C C C C C C C C C
C C C C C C C C C C
C C C C C C C C C C

S C C C C C C C C
−
−
= + + + + +
Page 2 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Giải:
( )
( )
( ) ( )
( )
2009
2010 2010
2009
0 1 2009 2009 2010
2009 2009 2009 2009
2010 !
2010! 2010! 2010.2009!
ó : .
! 2010 ! (2009 )! ! 2009 ! ! 2009 !
2010
2010 2010(1 1) 1005.2
k k
k
k
k
k
Ta c C C

( )
( ) ( )
( )
!
! ! !
. .
! ! ! ! ! ! ! !
1
0 1 2 2
1
ó: .
.
0 1 1 2 2 2
1
1 2 0
0 1 1 2 2
( 1)
1 2 0
n m
k n n
m k m k n k m n m k m n k
Thay x
k
k k
x C C x C x C x
k k k k
m k
Ta c C C
n
k

DPCM
−
= ⇒

• BTVN NGÀY 09-04
Bài 1: Tìm2 số tự nhiên x, y sao cho:

1 1
1
: : 6 :5: 2
y y y
x x x
C C C
+ −
+
=

Giải:
Page 3 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Điều kiện:
1
1
1 1
0 1
(1)
1
6 5

+ −

≤ ≤ +

=

≥

 
≤ + ≤ ⇔ ⇔
  
≥ +

 
≤ − ≤
=



+
⇔ = ⇔ + + = − − +
− + + − −
⇔ = ⇔ − −
+ − − − − +
1) 5 ( 1)
5( 1)( 1) 6( )( 1)
5( 1)( 1) 15 ( 1) 1 3
2( )( 1) 5 ( 1)
3 1 ào(4) 2(2 1)(2 ) 5 ( 1) 4(2 1) 5 5
3 8 {(8;3)}


∈

− =


¥
Giải
Đặt:

2
5 2 80 20
2 50 10
!
20
! 2
( 1) 20
( )!
20 0
!
20
! 2
2
10
( )!
!( )!
5
2
y
x


=
=


− =
− 
− − =

 
⇒ ⇒ ⇒ ⇔
   
=
=
=


 
=
−


−

=

⇔

=


n
n n n n n
n n n n n
n n n n n n
S
− ≥


− ≥ ⇒ ≥


− ≥

− − − − −
⇒ − − < ⇔ − − <
− − − − −
⇔ − − − − − < ⇔ − − < ⇔ ≤ <
⇒ =
Bài 4: Giải hệ phương trình sau:

( )
2 3
3 2
22
,
66
x y
y x
A C
x y

12
6 132 12
( 2)!
5 60 !
60
60
( 3)!
x x x
x
y
y x y
x
y
b
C A A
a
a A
a b
V Coi
a b
a
b A
C A A
b
x
A
a b a
x
b a b y
A

=
+ = =
−
 
 
⇔ ⇔⇔ ⇔ ⇔
   
= =
=
 



=

−

Page 5 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010

( )
{ }
2
4
( 1) 12 4
( 1)( 2) 60 5
( 5)( 2 12) 0
4;5

( )
1 2 20
2 1 2 1 2 1
2 1 0 1 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
2 1 2 1
2 1 0 1 0 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
20 1
2 1
2 1
ì :(1 1)
: ( 0;2 1)
2 2 2
2 1
n
n n n
n n n n
n n n n n
k n k
n n
n n n n
n n n n n n
n
C C C
V C C C C C
Do C C k n
C C C C C C
C

Trong đó:
6
1 2 3
1
4 5 6
21
10
11
1
k
A a a a
A B k
A
B a a a B
A B
=

= + +
+ = =
=



⇒ ⇒
  
= + + =



− = −

với
{ }
7
2;4;6;8a
∈
Vậy có 4 cách chọn a
7
Và 6 vị trí còn lại được chọn (có thứ tự) từ 8 số kia nhưng loại đi những số
đứng đầu là số 0.
Vậy có:
6 5
8 7
4( ) 70560A A
− =
Vậy có tất cả: 20160+70560=90720 (số)
Bài 3:
Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hồng này
xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông:
a) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng 1 bông đỏ.
b) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3 bông
đỏ?
Giải:
a) Có 3 khả năng xảy ra là:
Page 7 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
( )
( )
( )


Vậy có tất cả:
3 3 1 3 4 4 3
4 5 3 5 4 5 4
. . . . 150C C C C C C C
+ + =
Bài 4:
Có 12 giống cây 3 loại: Xoài, mít, ổi .Trong đó có 6 xoài, 4 mít, 2 ổi. Chọn ra 6
giống để trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số cậy mít nhiều hơn số cây ổi?
Giải:
Có 3 trường hợp lien quan đến việc chịn ra cây ổi:
• TH1: ( Không có ổi)
Vì: 6=4+2 nên chỉ có 4 mít và 2 xoài. Vậy có:
4 2
4 6
. 15C C
=
• TH2: ( Có 1 ổi).
Vì: 5=4+1=3+2 nên có 3 mít và 1 xoài, hay 3 mít và 2 xoài.
Vậy có:
1 4 1 1 3 2
2 4 6 2 4 6
. . . 132C C C C C C
+ =
• TH3: (Có 2 ổi).
Vì: 4=3+1 nên chỉ có 3 mít và 1 xoài. Vậy có:
2 3 1
2 4 6
. . 24C C C
=

15 10 5 10 5 10
. . 3690C C C C C C
− + + =
Bài 6:
Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9.
Giải:

6
1 2 3 4 5 6
1
9 9
k
k
a a a a a a a
=
 
⇔
 ÷
 
∑
M M
Chúng là: 100008;100017;100028;…;999999
Như vậy ta thấy các chữ số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 lập thành 1 cấp số cộng:

1
100017
999999 ( 1) 999999 18( 1) 50000
18
n n
u

1;3;5;7;9a
=
• Nếu
1 2 3 4
a a a a
+ + +
lẻ thì
{ }
5
0;2;4;6;8a
=
Mặt khác: Số các chữ số có 4 chữ số
1 2 3 4
a a a a
là:

3
9.10.10.10 9.10
=
Mà mỗi số đó sinh ra 5 số có 5 chữ số.
Vậy có tất cả là:
3
5.9.10 45000
=
(Số)
Bài 8:
Một tổ học sinh có 20 em, trong đó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng
Pháp, 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4
em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm?
Giải:

P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
• Số cách chọn tem thư là:
3
5
C
• Số cách chọn bì thư là:
3
6
C
• 3! Cách dán tem.
Vậy số cách làm là:
3 3
5 6
. .3! 1200C C
=
Bài 10:
Có nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 chữ số kề nhau phải khác nhau?
Giải:
Đặt:
{ }
0;1;2 ;9E
=
và số có 5 chữ số là:
1 2 3 4 5
1
; 1;5
0
i
a a a a a

} => Có 9 cách.
A
5
được chọn từ tập E\{ a
4
} => Có 9 cách.
Vậy số các số thõa mãn là: 9.9.9.9.9=59049
………………….Hết…………………

BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào QuangPage 11 of 11