1

Bất ðẳng Thức Karamata và Một Số Ứng Dụng
Cao Minh Quang
THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long
1. Lời giới thiệu
Jovan Karamata sinh ngày 1 tháng 2 năm 1902 tại Zagreb, Serbia. Bắt ñầu học ở khoa cơ khí từ
năm 1920, nhưng ñến năm 1922, ông chuyển ñến khoa toán ñể học. Tốt nghiệp năm 1925, ngay lập tức
Karamata ñược nhận làm trợ giảng cho giáo sư Mihailo Petrovic. Ông nhận ñược học vị tiến sĩ năm
1926, trở thành giáo sư ðại học Belgrade vào năm 1950. Năm 1951 Karamata rời Belgrade, ñến giảng
dạy tại ðại học Geneva. Ông sống và làm việc ở ñây ñến cuối ñời. Karamata mất ngày 14 tháng 8 năm
1967.
Bất ñẳng thức Karamata là một dạng tổng quát của bất ñẳng thức Jensen.
2. Bất ñẳng thức Karamata
Trước hết, ta sẽ ñịnh nghĩa các bộ trội.
2.1. ðịnh nghĩa.
Nếu
1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1
, , , x , ,
n n n n
x x x y y y x y x y y x x x y y y
− −
≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ + ≥ + + + + ≥ + + +

và
1 2 1 2

n n
x x x y y y
+ + + = + + +

1 2 1 2
, , , , , ,
n n
y y y x x x
≺
.
Hiển nhiên, nếu
1 2

n
x x x
≥ ≥ ≥
thì
(
)
(
)
1 2
, , , , , ,
n
x x x x x x
≻
, trong ñó
1 2

n
x x x
x
n
+ + +

x x x y y y
≻
v
ớ
i m
ọ
i ,
i i
x y I
∈
thì
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2

n n
f x f x f x f y f y f y
+ + + ≥ + + +
.
ðẳ

i chi
ề
u d
ấ
u b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c.
Chứng minh. Vì
(
)
f x
là hàm lồi nên
(
)
(
)
(
)
(
)
. ' , ,
f x f y x y f y x y I
− ≥ − ∀ ∈
. Thật vậy:
•
Nếu

y x
β β
−
= ≤ ∈
−
.
Từ ñó suy ra
(
)
(
)
(
)
(
)
. ' , , , 1,2, ,
i i i i i i i
f x f y x y f y x y I i n
− ≥ − ∀ ∈ =
.
Chú ý rằng
(
)
(
)
1 1 2 1 2
' ' , , 1,2, , 1
i i i i
f y f y x x x y y y i n
+

)
1 1 1 2 1 2 1 2 2 3
' ' ' '
x y f y f y x x y y f y f y
 
 
= − − + + − − − +
 
 (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 1 2 1 2
' ' ' 0
n n n n n n n
x x x y y y f y f y x x x y y y f y
−
 
+ + + + − − − − − + + + + − − − − ≥
 
.

I a b
=
, thì với mọi
(
)
, 1,2, ,
i
x I i n
∈ =
, ta có
( ) ( ) ( )
1 2
1 2n
n
x x x
f x f x f x nf
n
 
+ + +


+ + + ≥




 

(
)
1 2
, , , , , ,
n
x x x x x x
≻
, trong
ñ
ó
1 2

n
x x x
x
n
+ + +
= . S
ử
d
ụ
ng b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c Karamata ta
có ngay
ñ

ụ

ñể
minh h
ọ
a cho vi
ệ
c
ứ
ng d
ụ
ng c
ủ
a b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c Karamata.
4. Một số ví dụ

4.1. Ví dụ 1
. Cho
2
n
s
ố
th
ự

1 1 1 2 1 2 1 2 1 2
, , ,
n n
a b a a b b a a a b b b
≥ ≥ ≥
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1 2 1 2

n n
a a a b b b
+ + + ≥ + + +
.
Lời giải. ðặ
t
(
)
ln , ln 1,2, ,
i i i i
x a y b i n
= = =
. V
ớ
i các
ñ
i
ề

(
)
x
f x e
=
là hàm l
ồ
i trên
(
)
0,
+∞
, do
ñ
ó, áp d
ụ
ng b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c Karamata, ta có
1 2 1 2

n n
x y
x x y y
e e e e e e
+ + + ≥ + + +

ứ
c?
Lời giải.
Không m
ấ
t tính t
ổ
ng quát, gi
ả
s
ử
r
ằ
ng
A B C
≥ ≥
. Khi
ñ
ó ,
3 3
A C
π π
≥ ≤
. Vì
2 3
A
π π
≥ ≥

và

y
(
)
f x
là hàm lõm th
ậ
t s
ự
trên
ñ
o
ạ
n
0,
2
I
π
 
 
=
 
 
, do
ñ
ó, theo b
ấ
t
ñẳ
ng
th

ng th
ứ
c th
ứ
nh
ấ
t, d
ấ
u
ñẳ
ng th
ứ
c không x
ả
y ra (vì hai góc c
ủ
a tam giác không th
ể
cùng
vuông).
Ở
b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c th
ứ
hai,

t tính t
ổ
ng quát, gi
ả
s
ử

A B C
≥ ≥
. Khi
ñ
ó, d
ễ
dàng ki
ể
m tra
ñượ
c

3

, , , ,
2 2 2 4 8 8
A B C
π π π
   
 
 
 
 

v
ớ
i m
ọ
i
0,
2
x
π
 


∈




 
.
T
ừ

ñ
ó suy ra
(
)
f x
là hàm s
ố
l

A B C
π π π
+ + ≥ + + = −
.
ðẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
( )
, , , ,
2 4 4
A B C
π π π
 


=




 
và các hoán v
ị
.
4.4. Ví dụ 4

a b c
≥ ≥
. Khi
ñ
ó, d
ễ
dàng ki
ể
m tra
ñượ
c
(
)
(
)
2 ,2 ,2 , ,
a b c a b a c b c
+ + +
≻
.
Vì
( )
1
f x
x
=
là hàm l
ồ
i trên kho
ả

2 2 2
a b b c c a a b c
+ + ≤ + +
+ + +
.
ðẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
a b c
= =
.
4.5. Ví dụ 5
.
[IMO 2000/2]
Cho
, ,
a b c
là các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng th
ỏ

Vì
1
abc
=
nên t
ồ
n t
ạ
i các s
ố
d
ươ
ng
, ,
x y z
sao cho , ,
x y z
a b c
y z x
= = =
. B
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
c
ầ
n ch

, ,
x y z y z x z x y
− + − + − +

không th
ể
có tr
ườ
ng h
ợ
p hai s
ố
cùng âm. N
ế
u trong ba s
ố
trên có m
ộ
t ho
ặ
c ba s
ố
âm, hi
ể
n nhi
ế
n ta có
b
ấ
t

(
)
ln ln ln ln ln ln
x y z y z x z x y x y z
− + + − + + − + ≤ + +
.
Không m
ấ
t tính t
ổ
ng quát, gi
ả
s
ử

x y z
≥ ≥
. Khi
ñ
ó,
(
)
(
)
, , , ,
y z x x y z z x y x y z
− + − + − +
≻
.
Vì

)
ln ln ln ln ln ln
y z x x y z z x y x y z
− + + − + + − + ≤ + +
.
ðẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
x y z
= =
hay
1
a b c
= = =
.
4.6. Ví dụ 6
Cho
,
a b
là các s
ố
th
ự
c không âm. Ch
ứ

, thì
1
x
là s
ố

l
ớ
n nh
ấ
t,
4
x
là s
ố
nh
ỏ
nh
ấ
t. Vì
1 4 2 3
x x x x
+ = +
nên
(
)
(
)
1 4 2 3
, ,

ó, theo b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c Karamata, ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
1 4 2 3
f x f x f x f x
+ ≤ +
hay
3 3 3 3
3 3 3 3
a a b b a b b a
+ + + ≤ + + +
.
ðẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi và ch

Không m
ấ
t tính t
ổ
ng quát, gi
ả
s
ử

a b c
≥ ≥
. Khi
ñ
ó
1 1 1
1 , 1
2 2 2
a c a b
≥ = − ≥ − − = +
.
Do
ñ
ó
( )
1
1, , 1 , ,
2
a b c
 


12
1 1
1 1 2
2 2
a b c f a f b f c f f f
 


+ + = + + ≤ + − + − = +




 
.
ðẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra, ch
ẳ
ng h
ạ
n khi
1
1, , 1
2
a b c
= = − = −

c không âm,
2
n
≥
. Hãy xác
ñị
nh h
ằ
ng s
ố

C

nh
ỏ
nh
ấ
t sao cho
( )
4
2 2
1 1
n
i j i j i
i j n i
x x x x C x
≤ < ≤ =
 



i
0
C
≥
. N
ế
u có ít nh
ấ
t m
ộ
t s
ố

0
i
x
>
, suy ra
1 2
0
n
x x x
+ + + >
. Vì b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c trên

1 1 1
, , ,
n i j i j i j i j
i j n i j n i j n
F x x x x x x x x x x x
≤ < ≤ ≤ < ≤ ≤ < ≤
= + = +
∑ ∑ ∑( ) ( )
3 3
1 1 1
1
n
i j i i i
i n j i i n i
x x x x f x
≤ ≤ ≠ ≤ ≤ =
= = − =
∑ ∑ ∑ ∑
, với
(
)
3 4
f x x x
= −
.
Vì v
ậy, ta cần xác ñịnh hằng số

(
)
(
)
(
)
2 3
' 3 4 , '' 6 1 2
f x x x f x x x
= − = −
).
Do tính
ñối xứng, không mất tính tổng quát, giả sử
1 2

n
x x x
≥ ≥ ≥
. Ta sẽ xét các trường hợp sau.
Tr
ường hợp 1.
1
1
2
x
≥
. Khi
ñ
ó, d
ễ

ứ
c Karamata, ta có
( )
( ) ( )
1
1 1 1
0 0
2 2 8
n
i
i
f x f f f f
=
   
 
 
≤ + + + + =
 
 
 
 
   
∑
.

5

Tr
ườ
ng h

ng th
ứ
c
Karamata, ta có
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
1 2
1 0 0 1
n n
i i
i i
f x f x f x f x f x f f f x f x
= =
= + ≤ + − + + + = + −
∑ ∑
.
M
ặ
t khác,
(
)
(
)
(
)
(
)

x x x x
 
 
 
+ −


 

 


= − + − ≤ =




 
 

 



 
 
 
 
.
Do

với
0
α
<
.
b)

3
1 sin sin sin
2 2 2 2
A B C
α α α
α
< + + ≤ với
1 0
α
≥ >
.
c)
1
2
3
cos cos cos
2 2 2 2
A B C
α
α α α
α
+
+ + ≥

2 2
1 2
1 2
2 3 1
1 1 1 1 1 1
n
n
a
a a
a a a
a a a
 
  

 

 

 
+ + + ≤ + + +

 

 
 

 
  
  
 

− + − + + − ≤ + + +
.

Tài li
ệu tham khảo
[1]. Aleksandar Nikolic, Jovan Karamata (1902 – 1967).
[2]. Hojoo Lee, Topics in Inequalities – Theorems and Techniques, 2007.
[3]. Kin Y. Li, Majorization Inequality, Mathematical Excalibur, Vol.5, No.5, 11/2000.
[4]. Nguyễn Văn Nho, Olympic Toán học Châu Á Thái Bình Dương, NXB Giáo Dục, 2003.
[5]. Nguyễn Hữu ðiển, Giải toán bằng phương pháp ðại Lượng Bất Biến, NXB Giáo Dục, 2004.
[6]. Phạm Kim Hùng, Sáng tạo Bất ðẳng Thức, NXB Tri Thức, 2006.