Bách Khoa Online: hutonline.net

Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com

Bách Khoa Online: hutonline.net
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com

-99-
Chơng 8
Chuyển động song phẳng Của vật rắn
8.1. Phơng trình chuyển động, vận tốc và gia tốc của cả
vật.
8.1.8.Định nghĩa và phân tích chuyển động song phẳng.
Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động khi mỗi điểm thuộc
vật luôn luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định song song với mặt
phẳng quy chiếu đã chọn trớc ( mặt phẳng cơ sở ). Nói cách khác chuyển động
song phẳng là chuyển động của vật khi mỗi điểm của nó trong quá trình chuyển
động có khoảng cách đến mặt phẳng cơ sở là không đổi .
Trong kỹ thuật có nhiều chi tiết máy chuyển động song phẳng nh bánh

phẳng có mặt phẳng cơ sở (hình 8.1 )
Đờng thẳng ab thuộc vật vuông góc
với mặt phẳng cơ sở, sẽ thực hiện chuyển
động tịnh tiến. Mọi điểm nằm trên đờng
thẳng này có chuyển động nh nhau và đợc
đặc trng bởi chuyển động của điểm M năm
trên ab. Nếu xem vật là tập hợp vô số các
đờng ab nh vậy suy ra chuyển động của
vật đợc đặc trng bởi tiết diện S trên mặt
phẳng oxy. Mô hình bài toán chuyển động
song phẳng của vật rắn đợc đa về nghiên
cứu chuyển động của một tiết diện (S) trong
mặt phẳng oxy của nó (hình 8.2) gọi tắt là
Hì
nh 8-
2
Bỏch Khoa Online: hutonline.net
Tỡm kim & download ebook: bookilook.com

-100-
chuyển động phẳng của tiết diện S.
Vị trí của tiết diện (S) trong mặt phẳng oxy đợc xác định khi ta biết đợc
vị trí của một đoạn thẳng AB thuộc tiết diện (S).
Xét chuyển động của tiết diện (S) từ
vị trí (1) xác định bởi vị trí đoạn thẳng A
1
B
1

đến vị trí (2) xác định bởi vị trí của đoạn

hay
2
. Vì A
2
B'
1
//A'
1
B
2
nên ở đây
1
=
2
= .
Có thể đi đến kết luận ; chuyển động của tiết diện (S) trong mặt phẳng của
nó (chuyển động song phẳng ) luôn luôn có thể phân tích thành hai chuyển động:
tịnh tiến theo một tâm cực và chuyển động quay quanh tâm cực đó. Chuyển động
tịnh tiến phụ thuộc vào tâm cực nhng chuyển động quay không phụ thuộc vào
tâm cực. Nh vậy chuyển động song phẳng chính là chuyển động tổng hợp của
vật rắn khi nó đồng thời tham gia hai chuyển động quay quanh một trục có
phơng không đổi và tịnh tiến theo phơng vuông góc với trục quay.
8.1.2. Phơng trình chuyển động, vận tốc và gia tốc của vật .
Xét tiết diện (S) chuyển động trong
mặt phẳng oxy chứa nó. Nếu chọn A là tâm
cực và dựng đoạn thẳng AB trên tiết diện ta
sẽ thấy vị trí của tiết diện (S) trong mặt phẳng
oxy sẽ đợc xác định nếu ta biết vị trí của cực
A và phơng của AB so với trục ox. Nói khác
đi, thông số định vị của tiết diện (S) trong

x
A
y
O
y
A
Hình 8-4
Bỏch Khoa Online: hutonline.net
Tỡm kim & download ebook: bookilook.com

-101-
Trong thời gian chuyển động các thông số này biến đổi theo thời gian ta
có :
x
A
= x
A
(t)
y
A
= y
A
(t) (8.1)
= (t)
Biết quy luật biến đổi (8.1) ta có thể xác định vị trí của tiết diện (S) ở bất
kỹ thời điểm nào. Các phơng trình (8.1) là phơng trình chuyển động của tiết
diện phẳng (S) trong mặt phẳng của nó (phơng trình chuyển động song phẳng ).
Từ phơng trình chuyển động (8.1) ta thấy vận tốc và gia tốc của vật đợc
biểu diễn bởi hai thành phần : vận tốc và gia tốc trong chuyển động tịnh tiến theo
tâm cực A là :

tâm A nên có :

A1
=
A2
=
Ai
=
Hình 8.5

A1
=
A2
=
Ai
=
Vận tốc góc và gia tốc góc có thể biển diễn bằng véc tơ vuông góc với
tiết diện (S) nh hình( 8.5) . Khi hai véc tơ này cùng chiều ta có chuyển động
quay nhanh dần và nếu chúng ngợc chiều có chuyển động quay chậm dần.
Bỏch Khoa Online: hutonline.net
Tỡm kim & download ebook: bookilook.com

-102-
8.2. Phơng trình chuyển động, vận tốc và gia tốc của điểm
Trên vật chuyển động song phẳng
8.2.1. Phơng trình chuyển động
Xét điểm M bất kỳ trên tiết diện. Giả thiết chọn tâm cực A có toạ độ x
A
y
A

A
, y
A
và là các hàm của tthời gian, nghĩa là :
x
A
= x
A
(t) y
A
= y
A
(t) = (t)
Do đó x
M
, y
M
cũng là hàm của thời gian . Ta có :
x
M
=x
M
(t) = x
A
(t)+b.cos(t) ;
y
M
=y
M
(t)=y

d
t
rd
v
A
M
r
r
r
r
+==
.
Thay
AMv
d
t
'rd
;v
d
t
rd
MAA
A
ì===
r
r
r
r
r



Chứng minh định lý : Theo định lý 8-1, nếu chọn A làm tâm cực thì vận
tốc điểm B xác định theo biểu thức :
BAAB
vvv
r
rr
+=
với vuông góc
AB. Chiếu biểu thức trên lên phơng AB ta
có :
()
BA
v
r
() ( )
AB
BA
AB
A
AB
B
vvv
r
r
r
+=
. Trong đó :
()
0v

Ta có thể minh họa định lý trên bằng
hình vẽ( 8-7). Trên hình vẽ ta có :
Aa = Bb hay v
A
cos = v
B
cos.
8.2.2.2. Tâm vận tốc tức thời - Xác định vận tốc của điểm trên tiết diện
chuyển động phẳng theo tâm vận tốc tức thời
- Tâm vận tốc tức thời là điểm thuộc tiết diện có vận tốc tức thời
Bỏch Khoa Online: hutonline.net
Tỡm kim & download ebook: bookilook.com

-104-
bằng không. Nếu gọi P là tâm vận tốc tức thời thì : v
P
= 0.
Định lý 8-3 : Trong chuyển động song phẳng của vật rắn tại mỗi thời
điểm luôn luôn tồn tại một và chỉ một tâm vận tốc tức thời.
Chứng minh định lý :
Xét tiết diện (S) chuyển động phẳng với vận tốc của tâm cực A là
A
v
r
và
vận tốc góc trong chuyển động quay là
. Quay véc tơ V đi một góc bằng 90
theo chiều quay của
ta sẽ dựng đợc tia
. Trên tia lấy một điểm P cách A một


A
v
A
P
v
PA
Phơng của
PA
v
r
vuông góc với AP
hớng theo chiều quay vòng của
nghĩa là
PA
v
r
có độ lớn bằng với độ lớn của
v
A
, cùng phơng nhng ngợc chiều với
A
v
r
.
H
ình 8.8
Thay vào biểu thức tính
P
v

v00
r
+
=
.
Thay v
P2P1
= . P
2
P
1
ta thấy v
P2P1
= 0 khi = 0 hoặc P
2
P
1
= 0. Vì vật
chuyển động song phẳng nên
0


vậy chỉ có thể P
2
P
1
= 0. Điều này có nghĩa
P
1
trùng với P

vvv
r
r
r
+=

Thay v
P
= 0 ta có :
MPM
vv
r
r
=

Nh vậy vận tốc tức thời của điểm M đợc
tính nh vận tốc của điểm M trong chuyển động của
vật quay tức thời quanh tâm vận tốc tức thời P.
H
ình 8.9
M
v
r
có phơng vuông góc với PM, hớng
theo chiều quay vòng của
quanh P, có độ lớn v
M
=PM .
Ta có kết luận : vận tốc của điểm bất kỳ trên vật chuyển động song phẳng
luôn luôn hớng vuông góc và tỷ lệ thuận với khoảng cách từ tâm vận tốc tức b)
v
B

P
v
A

Pặ

v
A

v
B

P
S
v
A

P
A
B
v
B

, C
2
với CC
1
= Aa, CC
2
= Bb.
Các đoạn này là hình chiêú của V
C
lên hai phơng AC và BC. Ta vẽ tứ giác
vuông góc tại C
1
và C
2
(hình 8-11) đờng chéo CC' của tứ giác đó chính là vận
tốc V
C
.
A
K
C

C
1
C
2
b
a
v
A

2
= 20 cm;
AB = 130 cm.
Bài giải :
Cơ cấu có 5 khâu : bánh xe 1 chuyển động quay quanh trục O; con trợt B
chuyển động tịnh tiến theo phơng ngang; Thanh AB chuyển động song song
phẳng; Bánh xe 2 chuyển động song phẳng; tay quay OA chuyển động quay
quanh O.
1) Xét trờng hợp tay quay OA ở vị trí song song với phơng ngang (hình
8-12a).
Vận tốc góc thanh OA là :
s/12
30
60
30
n
=

=

= .
Vận tốc điểm A : v
A
=OA . = 2 . (r
1
- r
2
) = 60 = 188,5 cm / s.
Trên thanh AB có phơng vận tốc hai điểm A và B đã biết nên xác định
đợc tâm vận tốc tức thời P


2
v
C

P
2
C
H
ình 8.12Bỏch Khoa Online: hutonline.net
Tỡm kim & download ebook: bookilook.com

-108-
Từ hình vẽ xác định đợc :
P
2
B = r
1
= 50cm

cm12050130BPABAP
222
AB
2
2
=+==


=
2
. P
2
C;
Trong đó :
)s/1(
2120
60
AP
V
2
A
2

=

==
Thay vào các biểu thức của V
B
và V
C
ta có :

)s/cm(2550.
2
V
B
=


cos = V
B
cos suy ra
BA
VV
r
r
= . Thanh AB tức thời
chuyển động tịnh tiến. Mọi điểm trên nó và bánh xe 2 gắn với nó có chuyển
động nh nhau. Ta có :
Bỏch Khoa Online: hutonline.net
Tỡm kim & download ebook: bookilook.com

-109-
)s/cm(5,188
50
60
VVV
ACB
=

=== .
Phơng chiều của các vận tốc biểu diễn trên hình vẽ .
Vận tốc góc của bánh xe 1 dễ dàng tìm đợc :

r
=
=

=

A
v
A
I
II
O
P
P
45
0
90
0
45
0
90
0
D

Bài giải :
Trong cơ cấu bánh răng I và
thanh truyền BD chuyển động song
phẳng. Bánh răng 1 có tâm vận tốc
tức thời P. Vận tốc điểm A đợc
tính nh sau :
H
ình 8.13
V
A
=
OA

V
B
Có phơng vuông góc với với PB có chiều theo chiều quay của bánh
răng 1 quanh P (hình vẽ 8-13).
Thanh BD chuyển động song phẳng, Đầu B có vận tốc đã xác định, đầu D
có phơng vận tốc vuông góc với CD do đó nhận đợc tâm vận tốc thức thời P
1

nh trên hình vẽ .
Trên hình ta có
.
2
21
BP
1
=
Vận tốc điểm B đợc xác định theo P
1
:
V
B
= P
1
.B.
BD
suy ra :
OA
1
B
BD


Với : W

MA
= .AM và W
n
MA
=
2
.AM
Chứng minh định lý :
Đạo hàm bậc hai theo thời gian phơng trình chuyển động (8-2) ta có :

2
2
2
A
2
2
2
M
d
t
'rd
d
t
rd
d
t
rd

t
'rd
r
r
r
=ì=MAMA
VAMAM
dt
d
AM
dt
d
w
r
rr
r
+ì=ì+ì

=

Bỏch Khoa Online: hutonline.net
Tỡm kim & download ebook: bookilook.com

-111-
Với chú ý
AM
có độ lớn không đổi nên

wwww
rrrr
++=


Vì các véc tơ
có phơng vuông góc với mặt phẳng của tiết diện nghĩa là
vuông góc với AM và
nên dễ dàng tìm đợc :
MA
V
r
W
MA

= AM . còn W
MA
n
= AM .
2
Suy ra :
42
MA
.AMw +=

Véc tơ
có phơng hợp với AM một góc à với
MA
w
r

. Dựng nửa đờng thẳng Ax theo phơng đó.và lấy trên Ax
Bỏch Khoa Online: hutonline.net
Tỡm kim & download ebook: bookilook.com

-112-
một điểm J cách A một đoạn
42
A
w
AJ
+
= .
Điểm J đó có gia tốc :

JAAJ
www
rrr
+
=

Trong đó W
JA
có độ lớn bằng
42
JA
.AJw +=
.'
Thay
42
A

A
w
r
JA
w
r

0www
JAAJ
=
+
=
rrr


w
A
B
J
à
C
à
w
B
w
C
A
x

w

ình 8.1
6
H
ình 8.15
H
ình 8.14
Điểm J chính là tâm gia tốc tức thời của tiết diện .
Tiếp theo ta chứng minh tính duy nhất của tâm gia tốc tức thời J : giả thiết
tại thời điểm trên tiết diện có hai tâm gia tốc tức thời J
1
và J
2
.
Khi đó W
J1
= 0 và W
J2
= 0.
Theo biểu thức (4-8) ta có thể viết :
1J2J1J2J
www
r
r
r
+
=
.
Thay W
J1
= 0 và W

Không thể có hai tâm gia tốc cùng một thời điểm trên tiết diện chuyển động
phẳng.
Nếu trên tiết diện có một tâm gia tốc tức thời J và chọn J là tâm cực thì
gia tốc của điểm M trên tiết diện có thể xác định theo biểu thức :
MJJM
www
r
r
r
+
=
.
Vì w
J
= 0 nên có thể viết :
n
MJMJMJM
wwww
rrrr
+==

.
Về trị số
42
M
.MJw +=
có phơng hợp với MJ một góc à với
2
tg


B
J
H
ình 8.17


w
A
A
J
B
w
B
H
ình 8.19

Bỏch Khoa Online: hutonline.net
Tỡm kim & download ebook: bookilook.com

-114-
Trên hình (8-17) và (8-18) khi 0<
à<90
0
;
0
0,0
;
0,0



m/s và W
C
= 0,2 m/s
2
. Xác định gia tốc
của các điểm M
1
, M
2,
M
3
, M
4
trên vành
ngoài của bánh xe tại thời điểm đang
xét nh hình (8-23). Biết r = 40cm, R =
50cm.
Bài giải :
Bánh xe chuyển động song
phẳng đã biết vận tốc và gia tốc tâm C.
Trớc hết xác định vận tốc góc
và gia tốc góc của bánh xe.
w

MC
w
3
w
4
w

MC
w
C
w

MC
w
n
MC
w
2
M
2


w
A
J
B
w
B

H
ình 8.20
w
A
A
J
B
w

v
CC
====

Gia tốc góc :
Bỏch Khoa Online: hutonline.net
Tỡm kim & download ebook: bookilook.com

-115-
)s/rad(59,0
4,0
2,0
r
w
dt
dv
.
r
1
r
v
dt
d
dt
d
2
CCC
====




= CM. = R. =0,5.0,5 = 0,25 m/s
2
;
W
MC
n
= CM.
2
= R.
2
= 0,5.1
2
= 0,5 m/s
2
;
Phơng chiều các véc tơ này ở các điểm biểu diễn trên hình vẽ. Căn cứ vào
hình vẽ và trị số đã thu đợc ta có thể tính gia tốc các điểm M
1
, M
2,
M
3
, M
4
nh
sau :
()
()
22

CM3
s/m39,025,02,05,0wwww =++=++=


()
()
22
2
2
n
MC
2
CCM4
s/m50,05,02,025,0wwww =++=++=


Thí dụ 8-5 : Tay quay OA quay đều với vận tốc góc
OA
. Tìm gia tốc của
con trợt B và gia tốc góc của thanh AB trên cơ
cấu hình vẽ (8-24). Cho biết tại thời điểm khảo
sát góc BOA = 90
0
; độ dài OA = r ; AB = 1.
B
w
r
A
v
A

0
2
có phơng chiều hớng từ A vào O.
Bỏch Khoa Online: hutonline.net
Tỡm kim & download ebook: bookilook.com

-116-
Gia tốc điểm B luôn có phơng nằm ngang.
Để xác định tâm gia tốc tức thời ta xác định góc
à:

=


=à
2
tg
do đó à = 90
0
Dễ dàng tìm đợc tâm gia tốc tức thời của thanh AB là giao điểm của hai
đờng thẳng hạ vuông góc với phơng W
A
và W
B
tại A và B.
Vì

AB
= 0 nên có thể viết : W
A


Phơng của
theo phơng ngang, chiều hớng theo chiều quay vòng
của

B
w
r
AB
quanh J nh hình vẽ.
Từ biểu thức : W
A
= JA.
AB
suy ra
22
22
AA
AB
s/rad.
rl
w
JA
w


==

Thay W
A

2
1
P
D

2

2
v
A
w
A

w
An


O
y
x
D
w
An
w
A

w
n
D
w

A
= OA.
OA
= 0,5 m/s ;
W
A

= OA.
OA
= -2 m/s
2
; W
A
n
= OA.
2
= 0,5 m/s
2
.
Ta có thể xác định đợc vận tốc góc

2
của bánh răng 2 :
s/rad5,2
2,0
5,0
r
v
2
A

=

===

=


Điều này chứng tỏ bánh răng 2 chuyển động chậm dần, chiều của

2
ngợc
chiều với
2
.
Gia tốc điểm D có thể viết :

n
DADA
n
AAD
wwwww
r
r
rrr
+++=

(a)
Tại thời điểm khảo sát có :
W
DA


+ W
DA
n
= 2 + 1,25 = 3,25 m/s
2
;
W
Dy
= W
DA

- W
A
n
= 2 - 0,5 = 1,5 m/s
2
.
Suy ra :
2222
Dy
2
DxD
s/m58,35,125,3www +=+=Bỏch Khoa Online: hutonline.net
Tỡm kim & download ebook: bookilook.com