I HC À NNG
TRNG I HC BÁCH KHOA
2. Chuyn đng xy ra trong không gian và theo thi gian. Không gian trong c
hc là không gian Euclide ba chiu. Tt c các phép đo lng trong không gian này
đc xác đnh theo phng pháp hình hc Euclide. n v chiu dài đ đo khong
cách là mét (m). Thi gian trong c hc đc coi là thi gian trôi đu không ph thuc
vào h quy chiu kho sát. n v đo thi gian là giây (s). Thi gian đc xem là đi
s đc lp khi kho sát chuyn đng ca các vt th.
3.  xác đnh v trí ca vt (hoc đim) đang chuyn đng ngi ta gn vi vt
chun dùng đ kho sát chuyn đng mt h to đ nào đó mà cùng vi nó to thành
h quy chiu. Nu to đ ca tt c các đim ca vt trong h quy chiu đã chn luôn
không đi ta nói vt đng yên. Còn nu to đ ca các đim thay đi theo thi gian ta
nói vt chuyn đng trong h quy chiu.
4. Kho sát v mt chuyn đng ca mt đim hay ca mt vt rn là tìm cách
xác đnh v trí ca đim y đi vi h quy chiu đã chn  mi thi đim, đng thi
tìm cách mô t chuyn đng y theo thi gian. Mun vy, ngi ta dùng nhng khía
nim sau đây:
a) Thông s xác đnh v trí ca đim hay ca mt vt rn trong h quy chiu đã
chn.
b) Phng trình chuyn đng ca đim hay vt rn chuyn đng là nhng biu
thc liên h gia thông s đnh v nói trên vi thi gian mà ta xem là đi s đc lp.
Chng I ng hc đim Trang 1
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
c) Vn tc chuyn đng là đi lng biu th hng và tc đ chuyn đng ca
đim hay vt rn  thi đim đang xét. Nói chung, vn tc chuyn đng cng là đi
lng bin thiên theo thi gian.
d) Gia tc chuyn đng là đi lng biu th tc đ thay đi ca vn tc chuyn
đng (phng chiu, đ ln) theo thi gian. Gia tc chuyn đng cng là hàm ca thi
gian.
5. ng hc đc chia làm hai phn chính:
- ng hc đim
- ng hc vt rn

Biu thc (1.1) là phng trình chuyn đng ca đim vit di dng véct. Qu tích
các v trí ca chuyn đng đim trong không gian quy chiu đc gi là : Qu đo ca
chuyn đng đim trong h quy chiu y.
Phng trình (1.1) cng chính là phng trình qu đo di dng thông s.
Chng I ng hc đim Trang 2
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
2. Vn tc chuyn đng ca đim :
Gi thuyt ti thi đim t đng đim
M có véc t đnh v , và ti thi
đim t’=t+t đng đim  v trí M’
có véct đnh v r .
r
r
r
Véct
'
MM
r
= - = mô t gn
đúng hng đi và quãng đng đi
đc ca đng đim trong thi gian
, gi là véct tc đ li ca đim.
'r
r
r
r
r
r
t∆
i lng

rdr
VV
tdt
∆→ ∆→
r
∆
===
∆
=
r r
rr
r
&
(1.2)
ngha là : Vn tc tc thi ca đng đim là đo hàm cp mt theo thi gian ca véct
đnh v ca đng đim (Ký hiu
(t)-t nay v sau ta hiu là đo hàm theo thi gian) r
r
&
V mt hình hc khi ti gii hn, vn tc tc thi V
r
phi hng tip tuyn vi
qu đo ca đng đim ti M và thun theo chiu chuyn đng qua đó ca đng đim.
n v chính ca vn tc là m/s (mét/giây).
3. Gia tc ca đng đim :
Nói chung, véct
V bin
đi c v hng và đ ln theo
thi gian V =V (t). a lng :
r

theo thi gian ca vn tc:
W
r
WVr
= =
r r
r
&
&&
(1.3)
V mt hình hc, chú ý rng véct V
∆
r
bao gi cng hng vào b lõm ca qu
đo.
n v chính đ tính gia tc là m/s
2
4. Mt s tính cht đc suy ra trc tip t biu thc cu vn tc và gia tc:
a) Nu V đng nht trit tiêu thì VW∧
rr
r
và W
r
luôn luôn cùng phng. Do đó
có phng không đi nên chuyn đng ca đim là chuyn đng thng. V
r
- Nu V không đng nht trit tiêu thì chuyn đng là chuyn đng cong
vì khi y V đi phng.
W∧
rr

rr
≠ 0 thì chuyn đng bin đi, c th :
+ > 0 : Nhanh dn .VW
rr
+ < 0 : Chm dn .VW
rr

Chng I ng hc đim Trang 4
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
B- Kho sát chuyn đng ca đim bng to đ Descartes
1. Phng trình chuyn đng ca đng đim:
Xét chuyn đng ca
đim trong to đ Descartes
Oxyz. V trí ca đim đc xác
đnh bi các to đ x,y,z. Vì
vy:
Phng trình chuyn
đng ca đim s là :
()
()
()
x xt
yyt
zzt
=
⎧
⎪

r
trong đó i
r
, j
r
, k
r
là hng.
Ta có :
(yj+zk) = yj+z
d
kxi xi
dt
== + +Vr
r rrr
r
r r
r
&

jk
xyz
VViV V=++
r r
r
r

Vy :
⎪
⎨

=
r
,
os(Oy, )
y
V
cV
V
=
r
,
os(Oz, )
z
V
cV
V
=
r Chng I ng hc đim Trang 5
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
3.Gia tc chuyn đng ca đim :
Tng t nh đi vi vn tc,
W = V
r
r


os(Ox, )
x
W
cW
W
=
r
,
os(Oy, )
y
W
cW
,
W
=
r
os(Oz, )
z
W
cW
W
=
r

Cui cùng da vào hình chiu ca vn tc V
r
và gia tc W
r
ta có th mô t các đc đim

H to đ t nhiên là h ba trc vuông góc đc xác đnh nh sau:
Trc tip tuyên ti M có hng
dng đã chn trùng vi hng
dng đã chn trên qu đo, véct
đn v trên trc này ký hiu
τ
r
.
Ly cung vô cùng bé
ds = 'MM nm trong mt phng duy
nht qua M và cha tip tuyn M.
Mt phng  ti M đc gi là mt phng mt tip. Trong mt phng  ta đim M k
pháp tuyn ca qu đo và đnh hng dng vào b mt lõm ca qu đo. Pháp tuyn
y gi là pháp tuyn chính ti M. Kí hiu là n
r

b
r
n
r
τ
r
Hình 1.6
Trc vuông góc vi mt phng gi là trc trùng pháp tuyn, ký hiu là b
r
là
véct đn v, và chn sao cho Mnb là mt tam din thun. b
r
b)  cong và bán kính cong ca qu đo ti
M

τ
r
ϕ
∆
∆s
Hình 1.7
M’ Chng I ng hc đim Trang 7
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
3. Xác đnh vn tc và gia tc ca chuyn đng :
a) Xác đnh hng vn tc ca đim M
Vì hng theo tip tuyn vi qu đo ti đim M, nên ta có th vit :
.VV
τ
τ
=
r
r
(a)
Mt khác ta cng có :
.
dr dr ds
V
dt ds dt
==

ds
VVV
&
r
====
τ

Xét quan h gia V

và
dt
ds
:
- Khi M chuyn đng theo chiu dng thì V
r
và
τ
r
cùng chiu, ngha là V

>0 khi
y
s tng theo thi gian có ngha là s
&
>0. vy V

và s
&
cùng du.
- Khi M chuyn đng theo chiu âm thì V

==
cho tc đ chuyn đng, còn du ca V

cho bit chiu chuyn
đng ca đim thun hay ngc vi chiu dng đã chn trên qu đo.
b) Xác đnh gia tc W ca M:
Ta vit :
trong h to đ Mnb, cn phi tìm các giá tr W
bWnW
bn
r
rr
r
...WW ++=
τ
τ
,
W
n
, W
b
theo
s

T (1.3) và (1.7) ta có:
τττ
τττ
&
rr
&

..
rr
&
r
==

Do đó ta có :
n
V
V
n
V
rr
&
r
r
&
r
...)(.VW
2
2
ρ
τ
ρ
τ
ττ
+=+=

T đó suy ra :
sV

0W ==
ττ
V
&
0
+ V
0
.t, trong đó s
0
là to đ t nhiên ban đu ca đng đim.
- Chuyn đng bin đi đu là chuyn đng trong đó gia tc tip W

= a = const. T đó
suy ra : V

= V
0
+ at, V
0
là vn tc đu ca chuyn đng, phng trình chuyn đng có
dng : s = s
0
+ V
0
t +
2
at
2
, s
0

Chng I ng hc đim Trang 9
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
Bài gii :
a. Lp phng trình chuyn đng :
Kho sát chuyn đng
ca đim M trên đng tròn,
rõ ràng rt nhiu ln M vt
chm vi đng ta Ox. Ta
chn ngay mt đim nh th
làm gc O và bt đu kho
sát t y.
M
I

H
P
O
x
y
Gi  =
),( PIMI
rr
. Tìm s liên h :
)(),(),( tyyxx
ϕϕϕϕ
===
trong đó x, y là ta đ ca M. Ta có :
HPOPx
M
−=

1
ϕ

Do đó phng trình chuyn đng ca đim M đc vit nh sau:
∫
=
−=
−=
t
dttV
R
Ry
Rx
0
).(
1
)cos1(
)sin(
ϕ
ϕ
ϕϕ

Qu đo ca đim M gm nhng đng cong xyclôít tun hoàn vi chu k là 2 cho
nên ta ch xét chuyn đng ca nó trong 0 ≤  ≤ 2.

Chng I ng hc đim Trang 10
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC

sincos
)cos1(sin
2
2
&&&
&&
&&&
&&
r
RRyW
RRxW
W
y
x

M  v trí chm mt đng
ϕ
= 0 hoc
ϕ
= 2 thì sin
ϕ
= 0, cos
ϕ
= 1.
Vy :
⎩
⎨
⎧
=
=

= const.
∫
==
t
tV
R
dtV
R
0
00
11
ϕ
vy 0,
0
==
ϕϕ
&&&
R
V

Do đó:
⎩
⎨
⎧
=
−=
ϕ
ϕ
sin
)cos1(

V
W
W
y
xr

[]
ϕϕϕϕϕ
sincossin)cos1(sin...
2
0
2
0
R
V
R
V
WVWVWV
yyxx
=+−=+=
rr
⎩
⎨
⎧
<
>
=

tin nên
MN không đi hng. Ngoài
ra MN=const. Vy vect
MN không
đi trong chuyn đng.
T đó suy ra rng các t giác M
0
N
0-
M
1
N
1
, M
1
N
1
M
2
N
2
đu là nhng hình
bình hành, vì vy ta có
2121
NNMM = , NNMM
22
= , ... rõ ràng hai đng gãy M
0
M
1

0
M
W
r

M
N
N
V
r

Vì '' NNMM = nên ta có :
N
tt
M
V
t
NN
t
MM
V
rr
=
∆
=
∆
=
→∆→∆
'
lim

Mô hình không gian
O
Mô hình phng
Mô hình ca nó đc biu din :

Chng II Chuyn đng c bn ca vt rn Trang 13
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
A. Kho sát chuyn đng quay ca c vt rn:
1. Phng trình chuyn đng:
Dng hai mt phng 
0
,  qua trc quay AB trong
đó 
0
là mt phng gn vi vt. nh chiu quay dng
ca vt. V trí ca  xác đnh v trí ca vt. Gi
ϕ
là góc
đi s gia hai mt phng (
0
, ). Ta có th coi

Vn tc góc tc thi :
ϕ
ϕϕ
ωω
&
==
∆
∆
==
→∆→∆
dt
d
t
t
tb
t 00
limlim (2.2)
Nh vy: Vn tc góc ca vt rn quay quanh mt trc c đnh là đo hàm cp
mt theo thi gian ca góc đnh v ca vt y.
Du ca
ω
cho bit chiu quay ca vt quay quanh trc, vì nu
ω
>0 ngha là
ϕ
tng theo thi gian và vt quay theo chiu dng.
Ngc li nu
ω
<0 thì vt quay theo chiu âm.
Giá tr

là đo hàm cp mt theo thi gian ca vn tc
góc hay bng đo hàm cp hai ca mt góc quay
ϕωε
&&&
==
n v đ tính gia tc góc : rad/s
2
hay s
-2

3. Véct vn tc góc và véct gia tc góc:
a) Véct vn tc góc:
Véct vn tc góc kí hiu
ω
r
đc xác đnh nh sau:
ω
r
nm trên trc quay ca vt, sao cho nhìn t ngn
đn gc véct
ω
r
s thy vt quay ngc chiu kim
đng h và
ωω
=
r
. Nu gi là véct đn v trên
trc quay, ta có:
k

- Nu tc đ góc  thay đi thì chuyn đng quay đc gi là bin đi, nu  tng lên
thì chuyn đng quay nhanh dn, nu  gim thì chuyn đng quay chm dn.
Chú ý rng s bin đi ca giá tr  đc đt trng bi s bin đi ca 
2
và 
2
=
2
ω
r

nên đ nhn xét tính cht chuyn đng ta có th xét du ca đo hàm
dt
d
2
)(
ω
r
.
Ta có :
εωωω
ω
rr
&
rr
r
..2..2
)(
2
==

2
00
t
t
εωϕϕ
++=
và cùng tho mãn vi điu kin trên là: 0. >
εω
rr
chuyn đng quay nhanh dn đu,
ngc li 0. <
εω
rr
chuyn đng chm dn đu.
ω
r
c)b)a)
ε
r
ε
r
0=
ε
ω
r
ω
r

B. Kho sát chuyn đng ca các đim thuc vt rn :
1. Qu đo và phng trình chuyn đng: