I HC À NNG
TRNG I HC BÁCH KHOA
c hc nghiên cu các quy lut chuyn đng ca các vt th di tác dng ca các lc.
Lý thuyt đng lc hc đc xây dng trên nhng đnh lut c bn đng lc hc.
Chúng là kt qu ca hàng lot các thí nghim và quan sát và đã đc kim nghim
qua thc tin. Nhng đnh lut này ln đu tiên đc Newton trình bày mt cách có h
thng nm 1687 vì vy ngi ta còn gi là các đnh lut Newton hay là nhng đnh lut
c hc c đin.
§2. CÁC KHÁI NIM C BN
1. Không gian, thi gian :
Nh chúng ta đã bit, chuyn đng c hc là s di ch ca các vt th trong
không gian theo thi gian. Không gian và thi gian đây hiu theo ngha tuyt đi c
đin (Khác vi khái nim không gian, thi gian trong lý thuyt tng đi). Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 1
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
2. Quán tính :
Thc t cho thy rng tác dng ca mt lc lên hai vt th t do khác nhau, nói
chung chúng chuyn đng khác nhau.
Tính cht ca vt th thay đi vn tc chuyn đng nhanh hn hay chm hn khi
có cùng lc tác dng gi là quán tính. i lng dùng đ đo lng quán tính có th là
khi lng.
3. Cht đim :
nghiên cu chuyn đng ca các vt th có kích thc nh so vi đ di ca
chúng, ngi ta đa vào khái nim cht đim.
Cht đim là vt th có khi lng mà kích thc có th b qua đc trong khi
nghiên cu chuyn đng ca nó.
4. C h :
C h là tp hp các cht đim mà chuyn đng ca các cht đim này liên quan
đn chuyn đng ca các cht đim khác thuc h.
5. Vt rn :
H quy chiu trong đó tho mãn đnh lut quán tính gi là h quy chiu quán tính.
2. nh lut c bn ca đng lc hc (nh lut II) :
Di tác dng ca lc, cht đim t do chuyn đng vi gia tc cùng hng vi
hng ca lc và có đ ln t l vi đ ln ca lc :
WmF
ff
.=
(1.1)
Trong đó m là khi lng ca cht đim.
H thc (1.1) đc gi là phng trình c bn ca đng lc hc.
T h thc (1.1) chúng ta thy rng di tác dng ca cùng mt lc, cht đim nào
có khi lng nh hn s có gia tc ln hn. Nh vy khi lng là đi lng vt lý
đc trng cho mc đ cn tr s thay đi vân tc ca cht đim-quán tính ca cht
đim.
Trong c hc c đin khi vn tc chuyn đng ca cht đim nh hn nhiu so vi
vn tc ánh sáng, ngi ta coi khi lng là đi lng không đi.
Nh h thc (1.1) ta có th tìm đc h thc liên h gia trng lng và khi
lng ca mt vt. Tht vy, thc nghim đã ch rng di tác dng ca trng lc P
mt vt ri t do ( đ cao không ln lm và không tính đn sc cn ca không khí)
đu có cùng gia tc là g.
Do đó t (1.1) ta suy ra :
P = m.g (1.2)
Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 3
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
Cn nói thêm rng, cng nh gia tc g, trng lng thay đi theo v đ và đ cao
nhng khi lng là mt đi lng không đi vi mt vt.
3. nh lut v tác dng và phn tác dng : (nh lut III)
Hai lc mà hai cht đim tác dng lên nhau bng nhau v s, cùng hng tác dng
nhng ngc chiu.
Ta cn chú ý rng các lc tác dng tng h này không to thành mt h lc cân
21
(1.3)
Nhân hai v ca (1.3) vi m và đ ý đn tiên đ th 2 ta đc :
n
WmWmWmWm
ffff
.......
21
+++=
n
FFFWm
ffff
+++= .....
21
Hay là :
WmF
n
i
i
ff
.
1
=
∑
=
(1.4)
5. H đn v :
đo các đi lng c hc ngi ta phi dùng ba đn v c bn. Tu thuc vào
W
f
ca cht đim đc biu th qua véct bán kính
r
f
ca nó nh sau :
rW
$$
f
f
=
Vì vy phng trình c bn ca đng lc hc cht đim (1.4) có dng :
∑
=
k
Frm
f
$$
f
. (1.5)
Phng trình (1.5) là phng trình vi phân chuyn đng ca cht đim di dng
véct.
2. Dng to đ Descarte :
Xét chuyn đng ca cht đim trong h
to đ Descarte Oy. Chiu phng trình (1.5)
lên các trc to đ Ox, Oy, Oz ta đc :
⎪
⎩
Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 5
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
hay :
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
kz
ky
kx
F
dt
zd
m
F
dt
∑
∑
kbb
knn
k
FWm
FWm
FWm
.
.
.
ττ
Vì W
= ,
s
$$
ρ
2
s
W
, W
n
$
=
b
= 0 nên
⎪
⎪
phép chúng ta xác đnh quy lut chuyn đng ca h, hai phng trình còn li dùng đ
xác đnh các yu t khác cha bit ca bài toán (phn lc liên kt, bán kính cong
,...v..v)
Hình 2
τ
f
b
f
n
f
W
f
M
II. PHNG TRÌNH VI PHÂN CHUYN NG CA H :
Xét c h gm n cht đim m
1
,
m
2
, ..., m
n
. Gi
k
e
F
ie
FFWm
fff
+=
..........................
n
i
n
e
nn
FFWm
fff
+=
Hay :
x
i
x
e
FFxm
11
1
. +=
$$
y
i
y
e
FFym
n
FFym +=
$$
.
nz
i
nz
e
n
FFzm +=
$$
.
(1.8) là h gm 3.n phng trình.
Trong trng hp nu chúng ta phân loi lc ra thành lc hot đng
k
a
F
f
và phn
lc liên kt
k
N
f
thì tng t vi h (1.8) ta có :
1
1
11
NFWm
Trong đng lc hc cn gii quyt hai bài toán c bn sau đây:
1. Xác đnh lc tác dng lên cht đim khi đã bit quy lut chuyn đng ca nó.
(Bài toán th nht ca đng lc hc ).
2. Xác đnh quy lut chuyn đng ca đim khi bit các lc tác dng lên nó (Bài
toán th hai ca đng lc hc ).
gii quyt bài toán này ta có th s dng các phng trình (1.5), (1.6), (1.7) -
đi vi cht đim và các h phng trình (1.8) hay (1.9)-đi vi h c.
Tuy nhiên, cho đn nay cha có phng pháp tng quát đ tích phân các h dng
(1.8) vì vy trong thc t ngi ta thng dùng nhng phng pháp khác hiu qu hn
mà chúng ta s xét trong nhng phn sau.
I. GII BÀI TOÁN TH NHT CA NG LC HC I VI CHT IM:
Khi bit quy lut chuyn đng ca cht đim, chúng
ta dùng các công thc đã bit trong phn đng hc đ tính
gia tc ca cht đim và cui cùng dùng phng trình c
bn (1.5), (1.6), hay (1.7) đ xác đnh các lc tác dng lên
nó.
Ví d 1.1 : Mt thang máy có trng lng P (hình 3) bt
đu đi lên vi gia tc W. Hãy xác đnh sc cng ca dây
cáp.
Ví d 1.2 : Tìm áp lc ca ô-tô lên mt
cu ti đim A. Cho bit ô-tô có trng
lng P, vn tc chuyn đng là
v
f
và
bán kính cong ca cu ti A là (hình
4).
W
f
P
ff
ff
=
Khi đó phng trình vi phân chuyn đng ca cht đim có dng :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
),,,,,,(.
),,,,,,(.
),,,,,,(.
zyxzyxtFzm
zyxzyxtFym
zyxzyxtFxm
kz
ky
kx
$
$$
$$
$
$$$$
0
.
000
,, zzyyxx
$$
$$$$
===
(1.12)
Vic gii h phng trình (1.10) không phi lúc nào cng thc hiên đc trong
dng gii tích. Chúng ta ch có th tích phân h (1.10) vi các điu kin ban đu (1.12)
trong s trng hp đn gin.
1. Chuyn đng thng ca đim :
Trong phn đng hc, chúng ta đã bit vn tc
và gia tc ca đim trong chuyn đng thng luôn
luôn hng theo đng qu
đo. Vì gia tc có
chiu trùng vi chiu ca hp lc tác dng lên cht
đim do đó chuyn đng thng ch xy ra khi :
∑
=
k
FR
ff
có hng không đi và có vn
tc ban đu bng không hoc cùng hng vi
R
f
.
Hình 5
dt
dx
=
(1.14)
Ngay c trong trng hp đn gin này, phng trình (1.13) không phi lúc nào
cng gii đc bng phng pháp gii tích. Chúng ta xét mt s trng hp mà
phng trình (1.13) có th phân tích đc dng hu hn :
a) Lc ch ph thuc vào thi gian )(tfR
xx
= khi đó :
)(
2
2
tf
dt
xd
m =
)(tf
dt
dv
m =
∫
=+= ),().(
1
111
ctfcdttf
m
w
dt
xd
.
2
2
$$
==
nên :
)(xf
dx
dv
mv =Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 10
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
ây là phng trình tách bin có th phân tích đc :
v = f
1
(x,c
1
)
),(
11
cxf
dt
dx
=
dt
=
(1.17)
Tích phân phng trình tách bin này ta đc :
t = g
1
( ,c
x
$
1
)
Hay : = f
x
$
1
(x,c
1
)
),(
11
ctf
dt
dx
=
Tip tc tích phân phng trình này ta đc :
x = f
2
(t,c
1
,c
m
r
f
O
F
f
y
x
Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 11
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
Ví d 1.4: Vt có trng lng P bt đu chuyn đng t trng thái đng yên trên
mt phng nm ngang nhau di tác dng ca lc R
f
có hng không đi và có tr s
tng t l vi thi gian theo quy lut R=kt. Tìm quy lut chuyn đng ca vt.
Ví d 1.5 : Gii bài toán vt ri trong không khí t
đ cao không ln lm và sc cn t l vi bình phng
ca vn tc :
2
2
1
SvcR
x
ρ
=
trong đó là mt đ môi trng, S là din tích hình chiu
ca vt trên mt phng vuông góc vi phng chuyn đng,
nh vy s dng các đnh lý tng quát s làm cho quá trình gii đn gin và nhanh
chóng hn.
§1. CÁC C TRNG HÌNH HC KHI LNG
CA H VÀ VT RN
1.1 Khi lng ca h - Khi tâm :
Nh chúng ta đã bit, chuyn
đng ca mt c h ngoài vic ph
thuc vào lc tác dng còn ph thuc
vào tng khi lng và phân b các
khi lng ca h đó. Khi lng ca
h bng tng lng ca tt c các
phn t hp thành h đó :
∑
=
k
mM
Khi tâm ca mt c h gm n
cht đim (M
1
,M
2
,....,M
n
) khi lng tng ng là (m
1
,m
2
,....,m
n
1
C
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 13
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
M
rm
r
kk
C
∑
=
f
f
(2.1)
Chiu lên các trc to đô ta đc :
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
kz
dmJ
∑
=
2
(2.3)
Nu to đ ca các đim trong mt h trc to đ Oxyz nào đó là x
k
, y
k
, z
k
thì
mômen quán tính ca h đi vi các trc to đ s là :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
+=
+=
∑
∑
∑
)(
)(
)(
22
22
=
ρ
gi là bán kính quán tính ca mt vt đi vi trc z.
II. Mômen quán tính ca vt th (c h) :
i vi mt đim O nào đó là đi lng vô hng bng tng các tích các khi
lng vi bình phng khong cách t các cht đim ti tâm đó.
k
kO
rmJ
∑
=
2
. (2.6)
Nu O là gc to đ thì tng ng vi (2.4) ta có :
)(
222
kkk
kO
zyxmJ ++=
∑
(2.7)
và ta có mi liên h : 2J
0
= J
x
+ J
y
+ J
z
.
)(
1
2
1
2
1
kk
kz
yxmJ +=
∑
)(
22
kk
kz
yxmJ +=
∑Hình 9
d
x, x
1
y
1
z
1
z
y
C
O
∑
Ckk
dMxmd
(vì C chính là gc to đ)
nên : J
z1
= J
Zc
+ Md
2
T đnh lý này ta suy ra rng đi vi các trc trùng phng, mômen quán tính đi
vi trc qua khi tâm là nh nht.
IV. NH LÝV MÔMEN QUÁN TÍNH I VI TRC QUA GC TO :
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 15
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
Cho h trc to đ Oxyz và trc L đi qua O. Phng ca L đc xác đnh bi
ba góc ch phng , , (Hình 10).
Gi khong cách t đim M
k
bt k thuc
∑
=
k
kL
dmJ
2
T tam giác vuông H
k
OM
H
2
k
= OM
2
k
– OH
2
k
(*
ong đó :
OM
hình chiu ca lên trc L. Chiu hai v hc véct : đng t
k
OM
y
x
z
L
H
k
d
k
M
k
y
k
x
k
z
) + y
2
k
( 1 -
Chú
2
k
= x
2
k
( cos
2
+ cos
2
) + y
2
k
(cos
2
+ cos
2
)+ z
2
k
(cos
2
+ cos
2
) –
d
k
cos
2
) + z
2
k
( 1 - cos
2
) –2x
k
y
k
coscos - 2x
k
z
k
coscos – 2y
k
z
k
coscos.
ý rng : cos
2
+ cos
2
+ cos
2
= 1
Ta có :
d
k
coscos – 2y
k
z
k
coscos.
a vt đi vi L bng :
−+++++=
∑∑∑
(cos)(cos
22222
k
k
kk
kL
ymzymJ
βα
)(cos)
2222
kk
k
k
yxmx
γ
∑∑∑
−−−
kkkkkkkkk
yxmxzmzym
βαγαγβ
kkkxy
yxmJ (2.10)
(2.10) đc gi là nhng mômen tích quán tính (hay còn gi là mômen quán tính ly
tâm) ca vt trong h to đ xyz.
i vi mt trc bt k đi qua gc to đ hoàn
h to đ đó.
V. Tr
a
ta có J
xy
= J
yz
= 0 thì
tính chính trung tâm thì gi là mômen quán tính chính
ính đi vi mi đim thuc trc y.
thuc trc y.
ca trc và mt phng đi xng.
VI Cá
h mnh AB đng cht có
đi qua đu A
a
O
Vi công thc (2.9) chúng ta đã chng minh đc đnh lý 1.2 :
Mômen quán tính ca vt th đ
toàn có th xác đnh đc nu bit to đ và mômen quán tính trong
c quán tính chính và trc quán tính chính trung tâm :
Ta thy các đi lng J
xy
, J
yz
k
khi lng
ca nó là m
k
= x
k
( là khi lng riêng trên
mt đn v đ dài : = M/l)
Mômen quán tính ca thanh đi vi trc Ay
bng :
∑∑
∆==
k
kk
kAy
xxdmJ
22
γ
Chuyn tng đó ti hn ta đc :
2
3
0
Ay
∫
2
3
1
3
Ml
1
12432
MlMlMlMJJ
AyCy
⎟
⎠
⎜
⎝
b)Vòng tròn đng cht : Tính mômen quán tính
ca mt vòng tròn đng cht bán kính R, khi lng
đ
) cng đc dùng đ tính mômen quán
tính ca v hình tr mng đi vi trc a nó
h
n kính r
k
đ rng r
k
và
khi lng m
k
= 2r
k
r
k
, trong đó là khi
M i vi trc C qua tâm C ca vòng trìn và thng
góc vi mt phng ca nó. (Hình 11).
Ta có :
222
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
lng riêng trên mt đn v din tích
2
R
M
π
γ
=
Theo công thc (b) mômen quán tính vành k đi vi trc Cz bng :
J
Cz
= m
k
r
2
k
= 2r
k
r
k
r
2
k
= 2r
3
k
r
k
n quán tính
k
= 0, vì vy theo công thc (2.4) :
i trc Cx, Cy ta nh
∑
=
2
kkCx
ymJ ,
∑
=
2
kkCy
xmJ , )(
22
∑
+=
kkkCz
yxmJ
T đó suy ra :
J
Cx
+ J
Cy
=
z
.
i lng ca tm đi vi các trc Cx, Cy là hoàn toàn nh nhau,
vì vy ta có :
J
C
y
f) Khi nón liên t i l đáy R (z h khi nón)
(f)
c có kh ng M, bán kính ng theo
2
3.0 MRJ
z
=
y
x
z
C
Hình 14
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 19
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
§2. NH LÝ V BIN THIÊN NG LNG VÀ
2.1 nh lý
t đim là mt đi lng véct bng tích khi
NH LÝ V CHUYN NG KHI TÂM.
v bin thiên đng lng :
1. ng lng : ng lng ca ch
lng ca cht đim vi véct vn tc ca nó :
vmk
f
f
.= (2.11)
- ng lng ca h là tng hình h ca tt c các cht đim ca c đng lng
nó.
$
f
$
f
.=
∑
Hay :
C
k
k
vMvm
ff
.=
∑
Th vào (2.12) ta đc :
C
vMK
f
f
= (2.13)
Vy : ng lng ca h bng tích kh a toàn h vi vn tc khi tâm
chiu véct đng lng lên các trc ta đ s là :
i lng c
ca nó.
Hình
Ckkx
xMxmK
$$
II.
dng ca lc lên mt vt th trong mt khong thi gian ngi
đ
n vi khong thi gian vô cùng bé dt :
biu th tác
ta a ra khái nim xung lng ca lc.
i lng véct, kí hiu sd
f
bng lc nhâ
dtFsd .
f
f
= (2.14)
gi là xung lng nguyên t ca lc.
g thi gian hu hn t t
0
đn t
1
nào đó là đi Xung lng ca lc trong khon
lng :
∫
=
1
0
t
t
dtFs
f
f
(2.15)
=
k
F
dt
vmd
f
f
)
(2.17)
Phng trình (2.17) thc t là mt cách vi ng trình c bn ca đng
o hàm theo thi gian ca đng lng ca c h bng véct, chính
(
t khác ph
lc hc (1.4).
nh lý 2.2 :
các ngoi lc tác dng lên c h.
∑
=
k
e
F
dt
Kd
f
f
(2.18)
Chng minh: Gi tng các ngoi lc v c tác dng lên cht đim à tng các ni l
th k là
k
e
k
e
kk
FFvm
dt
d
ff
f
Vì 0=
∑
k
i
F
f
và Kvm
kk
f
f
=
∑
nên :
∑
=
k
e
F
dt
Kd
f
∑∑
∫∫
∑
∫
===
k
t
t
k
f
ff
f
f
1
0
1
0
.)(
f
1
Hay :
∑
=− Svmvm
k
f
ff
01
nh lý 2.4 : Bin thiên đng lng ca c h trong mt khong thi gian nào đó
bng tng xung lng ca tt c các ngoi lc tác dng lên h trong khong thi
.
∫
===
k
e
t
t
k
dt
f
fff
f
11
f
1
0
0
.
Hay :
∑
=−
k
e
SKK
f
ff
.
01
Các đnh lý 2.1, 2.2 là đnh lý bin thiên đng lng ca cht đim di dng vi
phân còn các đnh lý 2.3 và 2.4 là các đnh lý vit di dng hu hn.
ng các trc ta đ chúng ta
nhng tng hình chiu ca
các
c đó nh sau:
dng lê
2.
ngoi lc lên mt trc nào đó bng không chúng ta s có đnh lut bo toàn hình
chiu đng lng ca h lên h tr
Nu tng hình chiu ca các ngoi lc tác n h trên mt trc nào đó
bng không thì hình chiu véct đng lng lên trc đó s không thay đi.
2 nh lý chuyn đng ca khi tâm :
Nu ta tính đng lng ca h theo công thc (2.13) qua vn tc khi tâm ca
h và thay vào biu thc (2.18) ta đc :
k
CC
dtdt
WMWM
dKd
==
f
f
)(
e
F
∑
=
ff
(2.22)
h mt khi tâm chuyn đng nh mt
cht đim có khi lng bng khi lng ca toàn a lc đc
FzM
$$
Các phng trình (2.22’) là nhng phng trình vi phân chuyn đng khi tâm ca
h trong to đ -cát.
T (2.22) ta thy rng nu 0=
∑
k
e
F
f
thì
C
W
f
= 0 hay
C
W
f
= const ngha là :
đng thng đu.
yn đng i tâ h
Nu véct chính ca h ngoi lc tác dng lên c h bng không thì khi tâm ca h
s đng yên hay chuyn
ó là đnh lut bo toàn chu kh m ca c .
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 23
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
Tng t nh đã nói phn trên nu tng hình chiu ca các ngoi lc tác dng lên
c h trên mt trc nào đó bng không thì hình chiu ca khi tâm trên trc đó s
ng lc đó là ni lc, không th làm thay đi
ca c h vì vy nên đn bay v phía trc thì súng s
tng đng vi mt hp lc
vi các thành phn
21
, NN
ff
(Hình
Gii :
Nhng ngoi lc tác dng lê
B
A
2
P
f
2
N
f
1
N
f
1
P
f
Hình 15
v)
n mô-t trong trng hp này là
1
P
f
,
Copyright: Tài liệu đại học ©