www.hsmath.net
www.hsmath.net
Còng tõ ph−¬ng ph¸p nµy,
nhÊt (Max) cđa biĨu thøc
+ + +
®−ỵc nh÷ng bµi to¸n míi.
qu¸t vµ t¹o ra
S
ư dơng bÊt ®¼ng thøc (B§T) ® biÕt mµ
®Ỉc biƯt lµ B§T C«-si lµ ph−¬ng ph¸p
th−êng ®−ỵc ¸p dơng ®Ĩ gi¶i c¸c bµi to¸n vỊ
B§T nãi chung. Nh÷ng bµi to¸n cùc trÞ, nhÊt
lµ tr−êng hỵp cã thªm c¸c ®iỊu kiƯn phơ
th−êng g©y khã kh¨n cho ng−êi gi¶i trong
viƯc −íc l−ỵng hƯ sè vµ xÐt ®iỊu kiƯn ®Ĩ dÊu
®¶ng thøc xÈy ra. Bµi viÕt nµy tr×nh bµy mét
ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ th«ng qua B§T C«-si
®Ĩ tõ ®ã, chun bµi to¸n cùc trÞ vỊ viƯc gi¶i
mét ph−¬ng tr×nh (PT) hc hƯ ph−¬ng tr×nh
(HPT) mµ viƯc gi¶i qut lµ dƠ dµng hc cã
®−êng lèi râ rµng h¬n, ®ã lµ ph−¬ng ph¸p
c©n b»ng hƯ sè
víi mét chót s¸ng t¹o, chóng ta cã thĨ tỉng
Tr−íc hÕt xin nªu l¹i mµ kh«ng chøng
minh hai B§T quen thc sau:

i) B§T C«-si tỉng qu¸t:
1 2 1 2


Trong hai B§T trªn th×
1 2
, , ,
n
a a a kh«ng ©m,
1 2
, , ,
n
α α α
d−¬ng vµ dÊu ®¼ng thøc xÈy
ra khi vµ chØ khi
1 2

n
a a a= = = .
Chóng ta b¾t ®Çu tï bµi to¸n sau:

VÝ dơ 1. Cho c¸c sè thùc d−¬ng
,
x y
tháa
mn ®iỊu kiƯn
3 3
1
x y
+ = (1). T×m gi¸ trÞ lín
( ; )
P x y x y
= +

( ; )
P x y
®¹t Max khi
x y
= .
Tõ (1) suy ra
3
1
2
x y
= = vµ ta ®i ®Õn lêi gi¶i
nh− sau.
Lêi gi¶i. ¸p dơng B§T C«-si cho 6 sè
d−¬ng: 1 sè
3
x
vµ 5 sè
1
, ta cã:
5
5
3 3
6
6
1 1
5. 6 . 6.2
2 2
x x x
−
 

1
2
y
=
Céng theo vÕ c¸c B§T trªn ta ®−ỵc:
( )
5
3 3
6
( ) 5 6.2
x y x y
−
+ + ≥ + (2)
DÊu “=” xÈy ra ⇔
3
1
2
x y
= = .
CÂN BẰNG HỆ SỐ TRONG

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

2

www.hsmath.net
+
+
đạt Min khi
dự đoán

+ (3). Tìm giá trị lớn
nhất (Max) của biểu thức
( ; ) 2
P x y x y
= +
Phơng pháp suy luận:
ở ví dụ 1, chúng ta đ nhanh chóng dự
đoán đợc Max
( ; )
P x y
đạt đợc khi
x y
= ,
từ đó tính đợc
,
x y
. Nhng trong bài toán
này, vai trò của x và y là không bình đẳng.
Tuy nhiên ta hy giả sử
( ; )
P x y
đạt Max khi
x
y


=


=

( ) ( )
5 5
3 3 3 3
2 2
5. 6. 6.
x y x y

+ + + +

Để xuất hiện
( ; )
P x y
ở vế phải, ta cần
chọn
,

sao có tỷ lệ:
5
2
6.
x

:
5
2
6.
y

=1.
x

+ =


3
5
5
3
5
1
1 2 2
4
1 2 2



=

+



=

+


Bằng cách làm ngợc lại các bớc trên ta
sẽ thu đợc
{ }
( )

2
m q
p
+
=
ii)
2
3
m q
p
+
=

Bài toán 2. Cho các số thực dơng a, b, c, d
và các số nguyên m, n thỏa mn điều kiện
0
m n
> > . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức ( ; ; )
n n n
P x y z ax by cz
= + + trong đó
, ,
x y z
là các biến số không âm thỏa mn
điều kiện
m m m
x y z d
+ + .




2 2
1
2
x z xz


+
( )
2
2
2 2
y z y z yz



2 2
1
2
y z yz


+
Từ các BĐT trên suy ra:
www.hsmath.net
www.hsmath.net
chỉ phụ
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu


=
1 1 8
4
a
a

+ +
= ,
1 1 8
0
4
a
a

+
= < loại.
Cùng với (6) và (7) ta có HPT:
1
xy yz zx
x y z

+ + =


= =

( )
2 2
2 1z
x y z


+ + +





= =

+ + +



Bằng cách làm ngợc lại ta tính đợc
{ }
4
( ; ; )
1 1 8
xy yz zx
Min P x y z
a

+ +
= =
+ +
Nhận xét. Bằng cách làm tơng tự nh trên
chúng ta có thể giải trọn vẹn đợc bài toán
tổng quát hơn sau:
Bài toán 3. Cho các hằng thực dơng a, b, c
và các biến số x, y, z thỏa mn điều kiện

Và ta cần tìm Min của biểu thức
( ; ; ) 2 3
P x y z x y z
= + +
Giả sử ( ; ; )
P x y z
đạt Min khi
x z
y z


=


=


áp dụng BĐT Cô-si suy rộng ta có:
12 2 8 21
xyz x y z
+ +
2 8 21
x y
z

+ +



( )
8 21 2 21 2 8
,x y z A


+ + +

(10)
Trong đó biểu thức
( )
,A

chỉ phụ
thuộc vào
,

.
Cũng theo BĐT Cô-si suy rộng ta có:
( )
, ,
P x y z
= x + 2y + 3z
=
2 3
x y
z
=
( )
( )
1
2 3
2 3
,B x y z
+ +
(11)
Trong đó biểu thức
( )
,B

thuộc vào ,

.
Đối chiếu (10) và (11) ta thấy cần chọn
,

sao cho có tỷ lệ:
( ) ( ) ( )
: 2 :3 8 21 : 2 21 : 8 2

= + + +
8 21



+ = +


Từ PT thứ nhất

( )
2
2 63
8 3




=

. Thay
vào PT thứ hai ta có:
www.hsmath.net
www.hsmath.net
(13) ( ) ( )
2
2 2
2 63 2 63
16 4 6 63
8 3 8 3

= .
Khi
( )
, ,
P x y z
đạt Min thì tất cả các BĐT
trên đều trở thành đẳng thức, nghĩa là
2 8 21 12 3
9 5
2 4
18 2
5 3
x y z x
x z z y
y z z z






+ + = =



= = =
= = =

5 2
3 2. 3
4 3
x y z
= + +

=
( )
1 1 1
1
6 5 4
2
x y z
+ +
áp dụng BĐT Cô-si tổng quát cho 15 số
dơng ta có:
3 5 7
15
1 1 1 1 1 1 1 1 1
15 3 5 7 15
x y z x y z x y z
+ +
(12)
( ) ( )
1 1 1
1
, , 6 5 4
2
P x y z x y z
= + +

Vậy Min
( )
15
, ,
2
P a b c = .
Nhận xét. Sở dĩ ta đặt các biến mới
1 1 1
, ,
x y z

là vì ta đ xác định đợc bộ số (x,y,z) để
( )
, ,
P x y z
đạt Min. Mặt khác việc xét dấu
bằng sẽ trở nên dễ dàng hơn bếu các biến
tham gia khi xẩy ra dấu đẳng thức là bằng
nhau và đều bằng 1.
Một điều thú vị và đáng chú ý ở đây là
các BĐT (12), (13) tơng đối đơn giản,
nhng qua phép đổi biến đ trở thành BĐT
khác phức tạp hơn rất nhiều. Chúng ta hy
thử vận dụng điều này để tạo ra những bài
toán mới rất thú vị, xuất phát từ bổ đề sau:
Bổ đề: Cho các số thực
, , , 0

và
, , , 0

x y z t xyzt

+ + + + + +
(15)
Chứng minh. Trờng hợp 0

= = = =
thì bổ đề hiển nhiên đúng. Ta xét khi
2 2 2 2
0

+ + + > .
i) áp dụng BĐT Cô-si suy rộng ta có:
( )
xyzt x y z t

+ + + + + +

( )
( )
1
x y z t



+ + +
+ + +

1x y z t



+ + +

Đẳng thức xẩy ra
1
x y z t
= = = = .
www.hsmath.net
www.hsmath.net
Cho các số thực dơng a,b,c
Chúc các bạn thành
cần thiết khi học toán .
chúng theo
tập sau và hy cố gắng mở rộng
hơn nữa. Để kết thúc
trờng hợp nhiều biến
Các bạn hy thử tiếp tục suy nghĩ
toán mới.
và
Chứng minh rằng:
56ii) áp dụng BĐT Cô-si suy rộng ta có:
( ) ( )
3
x

+ + + + + +


Nh vậy:
x y z t

+ + +
( )
( )
1
x y z t



+ + +
+ + +

( )
xyzt

+ + +

Đẳng thức xảy ra 1
x y z t
= = = = .
Bổ đề đợc chứng minh.

Sử dụng bổ đề trên bằng cách thay vào
những giá trị đặc biệt và bằng những cách
phát biểu khác nhau, ta sẽ có những kết quả
khác nhau:
- Với
1, 0, 3, 5, 7t

thỏa mn điều kiện 72ab + 9bc + 24ca +
+ 18abc

3 10 16
15
a b c
+ + . Đẳng thức xảy ra khi nào?

- Thay
1 1 1
1, 1, , ,
2 3 6
t

= = = = = vào
(14) và đặt
1 2 4
, ,
2 3 3
x y z
a b c
= = = ta có bài
toán sau:
Bài toán 5. Cho các số thực dơng a, b, c
thỏa mn điều kiện
( )
2
8 27 16a b c abc+ +
.
Chứng minh rằng:

- Thay
1
, 1, 1, 2, 3
t
x

= = = = = vào
(14) và đặt
1 2 4
, ,
2 3 3
x y z
a b c
= = = ta có bài
toán sau:
Bài toán 7. Cho các số thực a, b, c dơng
thỏa mn điều kiện
3 10 16
12 21
3 3
a
a b c
+ + + ,
chứng minh rằng
1 4 4 28
2
2 3 9
a
a b c abc
+ + + .