Giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh

–

ð
à

L
ạt

77


•
Hàm số
(
)
f x
xác định và có liên tục trên nửa đoạn
)
(

; ;
a b hay a b
 
 
thì
(
)
'
f x
xác định trên
khoảng
(
)
;
a b
.

•
Hàm số có thể khơng đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên một tập hợp số thực cho trước .
(
)

)
(
)
(
)
{
}

1 2
; ;
min min , , ,
i
x a b x a b
f x f a f x f x f x f b
   
∈ ∈
   
• =
( )
(
)
( )

0 0
,
max
,
x D
x D f x M
M f x

∃ ∈ =

CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN
Ví dụ 1:
Giải :
Xét :
2
1 ( 1 ) 1 1 1 1
2
(2 1)( 1) 2 ( 1) 1
4 4 1
n n n n
n n n n n n n
n n
 
+ − + −
= < = −
 
+ + + + +
+ +
 

+ +

2001 2001
2 2001 2001
2001 2 1
2003 2003 4006
n S S= ⇒ < − = ⇒ <

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦ
A HÀM SỐChứng minh rằng :
1 1 1 1 2001

4006
3(1 2) 5( 2 3) 7( 3 4)
4003( 2001 2002)
+ + + + <
+ + +
+

Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất


− ≥ −
. Dấu
" "
=
xảy ra khi
0
ab
≥

1 1
2 2
2008 2008
1 1
1 1

1 1
x x
x x
x x

− ≥ −

− ≥ −




− ≥ −




Vậy
min 1
E
=
khi
1 2 3 4 2008
1 2 2008
, , , , 0
2009
x x x x x
x x x

≥


+ + + =

Ví dụ 3:

Giải :
Ta có
2 2
( , ) ( 1) ( 1) 5 5

)
(
)
, 1;1
x y =Ví dụ 4: Cho
1 2 3 4 2008
, , , ,
x x x x x
thoả mãn
1 2 2008
2009
x x x+ + + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
1 2 2008
1 1 1
E x x x
= − + − + + −

Tìm GTNN của biểu thức
2 2

ð
à

L
ạt

79
Giải :

Trong không gian
Oxyz
ta xét ñiểm
(
)
1;2;3
A
và mặt phẳng
(
)
: 2 2 9 0
x y z
α
+ − − =

Nếu
(
)

(
)
; ;
M x y z
là chân ñường vuông góc hạ từ
(
)
1;2;3
A
lên mặt phẳng
(
)
α
.
Vậy
min 4
P
=
.

Ví dụ 5:


ðặt
1
, 0
1
t t
x
= ≠
−

2
2
5 11 11
1 9 3
6 6 6
A t t t
 
= + + = + + ≥
 
 

Dấu
" "
=
xảy ra khi
5 1 5 13
8 1 8 5
t x
x
= − ⇔ = − ⇔ = −


Tìm GTNNcủa biểu thức
2
2
3 5
, 1
( 1)
x x
A x
x
+ +
= ≠
−

2
2
3 8 6
( 1)
2 1
x x
B x
x x
− +
= ≠
− +

2 2
1 1,
N x x x x x
= + + + − + ∈

t t
x
= ≠
−

( )
2
2
3 2 1 2 2
B t t t
= − + = − + ≥

Dấu
" "
=
xảy ra khi
1
1 1 2
1
t x
x
= ⇔ = ⇔ =
−

Vậy
min 2
B
=
khi
2
2 2
2 2
1 3 1 3
( ) 0 ( 0
2 2 2 2
N x x
   
   
   
= − − + − − + − + −
   
   
   
   

Trên mặt phẳng toạ ñộ
Oxy
xét các ñiểm
( )
1 3 1 3
, , , , ,0
2 2 2 2
A B C x
   
−
   
−
   

 
 

Dấu
" "
=
xảy ra khi
, ,
A B C
thẳng hàng , hay
0
x
=
, nghĩa là
C O
≡

Vậy
min 2
N
=
khi
0
x
=
Cách 2: Dùng bất ñẳng thức vectơ :
a b a b N a b

; 1, ; 1
2 2 2 2
a x a x x b x b x x
   
   
= − + ⇒ = − + = + ⇒ = + +
   
   
   

(
)
2
2
(1; 3) 1 3 2 2
a b a b N
+ = ⇒ + = + = ⇒ ≥
   

Dấu
" "
=
xảy ra khi
0
a b x
= ⇔ =



Vậy

Dấu
" "
=
xảy ra khi
2 2
4 2
1 1
0
1 1
x x x x
x
x x

+ + = − +

⇔ =

+ + =



Vậy
min 2
N
=
khi
0
x
=


x
x x

+ ≥


+ + ≥


. ðẳng thức ñồng thời xảy ra khi
0
x
=
, nên
2
4 2
N N
≥ ⇒ ≥

Vậy
min 2
N
=
khi
0
x
=

Cách 5:
Dễ thấy

1 2
f x f x
−
cũng là dấu của
(
)
(
)
2 2
1 2
f x f x
−

( ) ( )
(
)
(
)
2 2 2 2 4 2 4 2
1 2 1 2 1 1 2 2
2 2 1 1 .
f x f x x x x x x x− == − + + + − + +

Vì
2 2
1 2
1 2
4 2 4 2
1 1 2 2
0

0, 0
f x f x x x
− > ∀ > >

Với
0
x
>
thì hàm số
(
)
f x
luôn ñồng biến và
0
x
<
thì hàm số
(
)
f x
luôn nghịch biến và
(
)
0 2
f
=

Vậy
(
)


ð
à

L
ạt

82
Ví dụ 6: Giải :

Ví dụ 7:


Vậy
max 7
A
=
khi
1
x
= −
2
, 0
( 2000)
x
M x
x
= >
+Vì
0
x
>
nên
0
M
>
.Do ñó

x x
A
x x
+ +
=
+ +

2
, 0
( 2000)
x
M x
x
= >
+

Tìm GTLN và NN của biểu thức

Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh


8000
M =
khi
2000
x
=Ví dụ 8: Giải :

( ) ( ) ( )
2
2
2
2 10 3
, 3 2 5 3 0, *
3 2 1
x x
A x A x A x A x
x x
+ +

trình
(
)
*
có nghiệm nếu
( ) ( )( )
2
5
5 4 3 2 3 0 7
2
A A A A
∆ = − − − − ≥ ⇔ ≤ ≤

Vậy
5
max 7, min
2
A A
= =2 2
2 2
12 8 3
,
(2 1)
x x
B x
x
+ +

0 sin 2 1 ( ) 3
2 2
2
max ( ) 3 max 3
g u B
u g u
g u B
 
= =
 
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ⇒
 
 
= =
 Ví dụ 9:
Giải :
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
2
2
2 10 3
,
3 2 1
x x
A x


Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh

–

ð
à

L
ạt

84
Ta có
2 2 2 2
( ) 0 2( ) 0
x y z x y z xy yz zx
+ + ≥ ⇒ + + + + + ≥
hay
1
1 2 0

( ) 0 2( ) 2( )
( ) 0
x y
y z x y z xy yz zx
z x

− ≥

− ≥ ⇒ + + ≥ + +


− ≥

hay
2 2 1
T T
≥ ⇔ ≤

Dấu
" "
=
xảy ra khi
3
3
x y z= = = ±

Vậy
max 1
T
=

+ + + +

Cộng vế theo vế , ta ñược:
(
)
2
2 1 1
2 1 (1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1
(1 )(1 ) (1 )(1 )
xy xy
xy x y x y xy
x y x y
+ +
≥ ⇔ ≤ ⇔ + ≤ + + ⇔ + + ≥ +
+ + + +

Dấu
" "
=
xảy ra khi
0
x y
= >Ví dụ 11:



Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh

–

ð
à

L
ạt

85
Ta có :
1 1 15
16 16
a a
a
a a
+ = + +

Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho hai số dương
16

xảy ra khi
4
a
=
. Ví dụ 12:

Giải :

ðặt
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1A
a b c a b c a b b c a c a b c
        
= + + + = + + + + + + +
        
        

Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho hai số dương, ta ñược:
3
2 2 2 3 3 3
3 3 1 1
1 1A
abc abc

. Dấu
" "
=
xảy ra khi
2
a b c
= = =
.
Cho
0
x y
> ≥
. Chứng minh rằng :
2
4
3
( )( 1)
x
x y y
+ ≥
− +

Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho bốn số dương
2
8
2 2 , 1, 1,
( )( 1)
x y y y
x y y
− + +

. Chứng minh rằng :
3 3 3
1 1 1 729
1 1
512
a
a b c
   
+ + + ≥
   
   
.
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh

–

ð
à

L

≥
.
ðặt
2
2
2007 0 2 2009
2008
2008 0
a x x a
x b
b x


= − ≥ + = +
 
⇒
 
= +
= − ≥



, ta có :
2 2
1 1
2009 2008
2009 2008
a b
A
a b

x
b x b
b
b

=
 

= = +
  
⇔ ⇒ ⇒ =
  
= = +
 
 
=



Vậy
1 1
max
2 2009 2 2008
A = + khi
4006
x
=Ví dụ 14:

≥ +
+

Mặt khác
(
)
2
1
2
4 4
x y
x y xy xy
+
+ ≥ ⇒ ≤ =

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2007 2008
2
x x
A
x x
− −
= +
+
.
Cho
, 0
x y
>
thoả mãn 87
Do ñó
1
4 6
1
2.
4
A
≥ + =

Vậy
min 6
A
=
khi
1
2
x y
= =Ví dụ 15:


x y z
= = >

Ví dụ 16: Giải :

2 3 4
c a b
A
c a b
− − −
= + +

( 2).2 1 1 ( 2) 2 2 1
2 ( 2).2
2 2
2 2 2 2 2 2
c c c c
c c
c
− − + −
− = = − ≤ = ⇒ ≤

Dấu
" "

" "
=
xảy ra khi
8
b
=
.
Cho
, , 0
x y z
>
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( )( )( )
xyz
M
x y y z z x
=
+ + +
.
Tìm GTLN của biểu thức
2 3 4
, 3, 4, 2
ab c bc a ca b
A a b c
abc
− + − + −
= ≥ ≥ ≥

Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12


6, 8, 4
a b c
= = =
.
Ví dụ 17: Giải :
1 1 1 9
, , 0x y z
x y z x y z
> ⇒ + + ≥
+ +

1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1
x y z x y z
Q
x y z x y z x y z
+ − + − + −
= + + = + + = − + +
+ + + + + + + + +

9 9 3
3 3
1 1 1 4 4
Giải :

( )
3 1
) , 0;2
3
x
a f x x
x
−
 
= ∈
 
−

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn
0;2
 
 

 

(
)
4 2
) 2 3
b f x x x
= − +
trên ñoạn
3;2
 
−
 

( )
(
)
3
6 2
) 4 1
c f x x x
= + −

trên ñoạn
1;1
 
−
 

( )
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh

–

ð
à

L
ạt

89
Bảng biến thiên

x

0

2
(
)
4 2
) 2 3, 3;2
b f x x x x
 
= − + ∈ −
 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn
3;2
 
−
 
.
Ta có
( ) ( )
(
)
( )
( )
3
1, 1 2
' 4 4 ' 0 0, 0 3
1, 1 2
x f
f x x x f x x f


1

2

(
)
'
f x

−

0

+

0

−

0
+

(
)
f x

66

3

 
= + − ∈ −
 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn
1;1
 
−
 
.
ðặt
2
, 1;1 0;1
t x x t
   
= ∈ − ⇒ ∈
   

Hàm số ñã cho viết lại
( ) ( )
3
3
4 1 , 0;1
f t t t t
 
= + − ∈
 
và
( ) ( )

)
(
)
0 4, 1 1
f f
= =Bảng biến thiên
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh

–

ð
à

L
ạt
4
9

Từ bảng biến thiên suy ra :
( ) ( )
1;1 1;1
4 2
max 4 0 min
9 3
f x khi x f x khi x
   
− −
   
= = = = ±
( )
2
2
3 10 20
)
2 3
x x
d f x
x x
+ +

2 3
7
2
x y
x x
f x f x
x x
x y

= − ⇒ =

− − −
= ⇒ = ⇔


+ +
= − ⇒ =



Bảng biến thiên
x

−∞

5
−

1
2

2

3

Từ bảng biến thiên suy ra :
( ) ( )
1 5
max 7 min 5
2 2
f x khi x f x khi x
= = − = = −Ví dụ 19:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:
)
a
2

)
2
( 6) 4
f x x x
= − +
trên ñoạn
0;3
 
 
.
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh

–

ð
à

L
ạt


(
)
' 0 2 2;3
f x x
 
= ⇔ = ∈ −
 

(
)
( 2) 17, f 2 1, f(3) 2
f
− = = =
.
Vậy :
2;3
min ( ) 1 2
x
f x khi x

 
∈ −
 
= =
.
2;3
max ( ) 17 2
x
f x khi x
 

f t t t t
= − + +
liên tục trên ñoạn
[0; 1]

( )
/ 2
1
9
2
3 6 0
3
4
0;1
2
t
f t t t
t


=

⇒ = − + = ⇔


 
= ∉

 


0;1 1;1
3 1 2
max max
4 2 2
t x
f t khi t hay f x khi x

   
∈ ∈ −
   
= = = ±
.
)
c
2
( ) 5 6
f x x x
= − + +
.

[ 1; 6]
D
= −

Hàm số
2
( ) 5 6
f x x x
= − + +
liên tục trên ñoạn


 
.
Vậy :
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh

–

ð
à

L
ạt

92
(
)

( 6) 4
f x x x
= − +
trên ñoạn
0;3
 
 
.

Hàm số
2
( 6) 4
y x x
= − +
liên tục trên ñoạn
0;3
 
 
.
2
2
2 6 4
'
4
x x
y
x
− +
=
+

y
y y
y
 
∈
 
 
∈
 

= −


= −
= −


⇒
 
= − = −
 


= −


Vậy
0;3
max 3 13
x
Giải :

(
)
3 2
) 3 72 90 , 5;5
a f x x x x x
 
= + − + ∈ −
 

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên
5;5
 
−
 
.
ðặt
(
)
3 2
3 72 90, 5;5
g x x x x x
 
= + − + ∈ −

3
3 2
f x x x
= − +
trên ñoạn
–3; 2
 
 
.
)
c
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
(
)
3 2
3 1
f x x x
= − +
trên ñoạn
2;1 .
 
−
 

)
d
Tìm
a
ñể giá trị lớn nhất của hàm số
(93
( )
6 5;5
' 0
4 5;5
x
g x
x

 
= − ∉ −
 
= ⇔ 
 
= ∈ −

 


(
)
(
)
(
)
4 86, 5 400, 5 70

f x x x
= − +
trên ñoạn
–3; 2
 
 

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên
–3; 2
 
 
.
ðặt
3
3 2, –3; 2
g x x x x

/ 2
( ) 3 3
g x x

' 0 1 [ 3; 2]
g x x

( 3) 16, ( 1) 4, (1) 0, (2) 4
g g g g

16 ( ) 4 , [ 3; 2]
g x x
0 ( ) 16 , [ 3; 2]

−
 

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên
2;1
 
−
 
.
ðặt
(
)
3 2
3 1, 2;1
g x x x x
 
= − + ∈ −
 

(
)
2
' 3 6 .
g x x x
= −

( )
0
' 0
2 2;1

   
− −
   
= = −
.
(
)
(
)
(
)
2;1 19;1 0;19 .
x g x f x g x
   
 
∈ − ⇒ ∈ − ⇒ = ∈
 
   

(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
0 . 1 0 0;1 sao cho 0.
g g x g x

.
( ) ( )
2
2
2 4 1 5
f x x x a x a
= + + − = + + −

Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh

–

ð
à

L
ạt

{
}
2;1 0;4 0;4 0;4
max max max 0 , 4 max 5 , 1
x t t t
f x f t f f a a
       
∈ − ∈ ∈ ∈
       
⇔ = = − −

(
)
0;4
5 1 3 max 5 5
t
a a a f t a a
 
∈
 
• − ≥ − ⇔ ≤ ⇒ = − = −

(
)
0;4
5 1 3 max 1 1
t
a a a f t a a
 
∈

max 2 3
t
f t khi a
 
∈
 
= =Ví dụ 21:
Giải :

(
)
2
) 4
a f x x x
= + −Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn

f x x
x x x
x x
 
 
< < < <
− − = − =
   
= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
   
− = =
∈ − ∈ −
 
 
 
 

Bảng biến thiên
x

2
−

2

2

(
)
'

∈ − ∈ −
   
= = = − = −

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:
(
)
2
) 4
a f x x x
= + −

.
( )
2
1
)
1
x
b f x
x
+
=
+
trên ñoạn
1;2
x
 
∈ −
 

x
b f x
x
+
=
+

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn
1;2
 
−
 
.
Ta có
( )
( )
( )
3
2
1
' ' 0 1
1
x
f x f x x
x
− +
= ⇒ = ⇔ =
+

Bảng biến thiên .

0

3 5
5Từ bảng biến thiên , ta ñược
(
)
(
)
1;2 1;2
max 2 1 min 0 1
x x
f x khi x f x khi x
   
∈ − ∈ −
   
= = = = −Ví dụ 22:
Giải :


(0) 1; ( ) 8; ( ) 1 1 ( ) 8 1
4 2
8
g g g g x y
π π
= = = ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤

Vậy
4
1
min , max 1
8
y y
= =

Ví dụ 23:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:
1
sin cos
y
x x
=
+Tìm các giá trị
,
a b
sao cho hàm số


ð
à

L
ạt

96 Giải :

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên
ℝ
.
•

Hàm số có giá trị lớn nhất bằng
4
khi và chỉ khi
( )
( )
2
2



 
+

∆ = − − ≤
⇔
 

+
− + − = ⇔

 
∃ ∈ =
∆ = − − ≥


+
 


ℝ
ℝ
ℝ
0
co ùnghieäm x

(
)
2

x
ax b
x ax b
a b
x
x

+
≥ − ∀ ∈



+ + + ≥ ∀ ∈ ∆ = − + ≤
  
+
⇔ ⇔ ⇔
  
+
+ + + =
∆ = − + ≥
 
∃ ∈ = −


+


ℝ
ℝ
ℝ

b b
b
a b


 
+ − = = − =
=
   
⇔⇔ ⇔ ∨
   
= =
=
− − =
 


 


Vậy giá trị
,
a b
cần tìm là :
4 4
3 3
a a

= +
+

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên
ℝ
.
Ta có
( ) ( )( )
3 sin 3 sin
1 1 1 2 cos 3sin
2 cos 2 cos
x x
y f x y y x x
x x
= = + ⇔ − = ⇔ − + =
+ +

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:
( )
3 sin
) 1
2 cos
x
a f x
x
= +
+

(
)

L
ạt

97
(
)
(
)
(
)
1 cos 3 sin 2 1 0 *
y x x y⇔ − − + − =Phương trình
(
)
*
có nghiệm khi
( ) ( )
2 2
2
1 9 4 1 2 2 0 1 3 1 3
y y y y y− + ≥ − ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ +

Vậy :
1 3, 1 3

∈
ℝ
, ta có
( )
2 2 2
1 1 1 1 1
0 sin 2 1 0 sin 2 1 1 sin 2 1
2 2 2 2 2
x x x hay f x
≤ ≤ ⇒ ≥ − ≥ − ⇒ ≥ − ≥ ≤ ≤( )
( )
( )
( )
1
1
min
min s in2 1
2 4 2
2
max 1 s in2 0
max 1
2
f x khi x k
f x khi x
hay
f x khi x
f x khi x k
Giải :
(
)
4 2 4 2
) sin cos 2 sin sin 3
a f x x x x x
= + + = − +

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên
ℝ
.
ðặt
2
sin ,0 1
t x t
= ≤ ≤

Xét hàm số
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
3, 0;1 ' 2 1, 0;1 ' 0
2
f t t t t f t t t f t t
 
= − + ∈ = − ∈ = ⇔ =
 


m f x f t
 
∈
 
= =(
)
) sin 2
b f x x x
= −
trên ñoạn
;
2
π
π
 
−
 
 

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:
(
)
) sin 2
a f x x x
= −
trên ñoạn
;

ú
Kh
ánh

–

ð
à

L
ạt

98
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn
;
2
π
π
 
−
 
 

Ta có :
( ) ( )
5
' 1 2 cos 2 , ' 0 , ,

   
∈ − ∈ −
   
   
= + = = − = −( )
2
sin 1
)
sin sin 1
x
e f x
x x
+
=
+ +ðặt
( )
2
1
sin , [ 1; 1]
1
t
t x f t t
t t
+

f t t
− −
=
+ +
= ⇔ = ∈ −

( ) ( )
2
( 1) 0, 0 1, 1
3
f f f

− = = =
.
Vậy:

( ) ( )
1;1
min min 0 sin 1 2 ,
2
t
f x f t khi x x k k

π
π
 
∈ −
 
= = = − ⇔ = − + ∈
Z


+ ≥


+ ≥



(
)
2
0 sin cos 2 2 sin cos sin cos 1 *
y y x x x x x x> ⇒ = + + + + + +ðặt
2
1
sin cos 2 sin , 2 2 sin cos
4 2
t
t x x x t x x
π
 
−
= + = + − ≤ ≤ ⇒⇒ =
 
 

Khi ñó

ánh

–

ð
à

L
ạt

99
( )
(
)
(
)
1 2 2 2, 2 1
1 2 2 2, 1 2
t t
f t
t t

− + − − ≤ ≤ −

=

+ + + − ≤ ≤

= −

Bảng biến thiên
x

2
−

1
−

2

(
)
'
f t

−

+

(
)
f t

4 2 2
−

4 2 2

. Dễ thấy
1
1 0
ac a
c
≠ ⇒ < <
nên
1
a c
b
ac
+
=
−

2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2(1 ) 3 2 2( ) 3
P= 2
1 ( ) (1 ) 1 1 ( 1)( 1) 1
ac a c
a a c ac c a a c c
− +
⇒ − + = + − +
+ + + − + + + + +

Xét
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2

 
=
 
 
có nghiệm
2
0
1
x c c
= − + +
và
(
)
'
f x
ñổi dấu từ dương sang
âm khi
x
qua
0
x
, suy ra
(
)
f x
ñạt cực ñại tại
0
x x
=


1 1 1
P
a b c
= − +
+ + +Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh

–

ð
à

L
ạt

'
2
0
1
g ( ) 0
1 8 0
2 2
c
c c
c

>

= ⇔ ⇔ =

− =

( )
1 2 24 10
c>0:g ( )
3 9 3
2 2
c g⇒ ∀ ≤ = + =

10

Ví dụ 28: Giải :
)
a
2
1 1 0
x m x
− + + =
có nghiệm thực.
( )
2
2
1
1 1 0
1
x
x m x m f x
x
+
− + + = ⇔ = =
+



Giới hạn :
Tìm tham số
m
ñể phương trình :
)
a
2
1 1 0
x m x
− + + =
có nghiệm thực.
)
b
2
2
m x x m
+ = +
có nghiệm thực.
)
c
2
2 1
x x m
+ + =
có nghiệm thực.