BA PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ,BIỂU THỨC.
Do LAISAC Biên soạn. A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦU :
Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số: y= (x + 1)
2
+ (x – 3)
2
.
Giải . Hàm số viết lại: y = (x
2
+ 2x + 1) + (x
2
– 6x + 9) = 2x
2
– 4x + 10 .
Cách 1.(Dùng Bất đẳng thức )(BĐT).
Ta có y = 2x
2
– 4x + 10 = 2(x
2
– 2x + 1) + 8 = 2(x - 1)
2
+ 8 8≥
.R
x
∈

Dựa vào bảng biến thiên ta có GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 .
B.NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP .
Nội dung bài viết này chỉ nêu lên ba phương pháp cơ bản nhất mà ta thường sử dung để tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đó. Tuỳ theo bài toán cụ
thể mà ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp trên một cách tối ưu hơn.( Đôi lúc có
nhiều bài sử dụng vectơ, phương pháp tọa độ, lượng giác hóa…)
Lưu ý: Khi tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất ta luôn chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy
ra.
Ta hay nhầm lẫn trong trường hợp đánh giá không đúng cho một bất đẳng thức.
Ví dụ trên, nếu không thận trọng ta nói : y= (x + 1)
2
+ (x – 3)
2
… thì hỏng rồi!
0≥BÀI TẬP MINH HOẠ.
Ví dụ 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất :
xxS cossin += .
HD.cách 1.( BDT). Ta có
≤+= xx
22
cossin1
1mincossin =⇒=+ SSxx .
2222)
4
sin(22)cos)(sin11(cossin =⇒≤+=++≤+= MaxSxxxxxS
π
.

x
x
S
phải có nghiệm
x
S
x
SS cos)21(sin)2(34 −++=−⇔
có nghiệm
2
11
2
)34()21()2(
222
≤≤⇒−≥−++⇒ SSSS
.

Cách 2.( ĐH). Đặt
2
2
2
1
1
cos;
1
2
sin
2
t
t

33.3 )2(1.)2(1.
2222
==+−+−++= xxxxvu

Ta có :
vuvu ≤

32.2
22
≤−+−+⇔ xxxx
.
Đẳng thức xảy ra khi
1
2
21
2
2
=⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−
−=
=
x
kxx

x
=
.
)0(
≠
h
.Biểu thức viết lại :
2
4 xxh −+=
là một hàm số liên tục trong đoạn
[
]
2;2
−
.
Ví dụ 5.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
22
22
yxyx
yxyx
S
++
+−
=
(
)
Ry
x
∈
,

2
+ y
2
= 1 vào S giải như bài trên.
Cách 2.Đặt
α
α
cossin =⇒=
y
x
. Đưa hàm số S=
)2cos,2(sin
α
α
S
.Dùng đkpt.
Ví dụ 7.Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãn điều kiện : x
0≠
2
+ y
2
= 2x
2
y + y
2
x .
Tính giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức
yx
S
12

.
Ví dụ 9.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
2
sin)(
2
x
xexf
x
+−= .
HD.Dùng phương pháp đạo hàm.
Ví dụ 10.(1993 bảng A) .Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

)20092007()(
2
xxxf −+= trong miền xác định của nó.
Lời giải :Miền xác định của hàm số
[
]
2009;2009−=D .Nhận thấy f(x) là hàm số lẻ nên ta
xét hàm số trong
[
]
2009;0'=D
.Áp dụng bất đẳng thức BCS ta có
222
20092007.2010.)2009.1.2007.2007()20092007()( xxxxxxxf −+≤−+=−+=
2008.2008
2
20092007
.2008

1
2
sin
1
222
CBA
S ++=
.
Ví dụ 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=

BA
A
,ta có:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎟
⎠

⎜
⎝
⎛
+
≥+
2
2)()(
BA
fBfAf
.
Tương tự
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
≥
⎟
⎠
⎞
⎜

cos
3
cos
3
cos
ππππππ
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠

⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
ππππ
CBAS
.
Cách 2.Giả sử
{}
CBAMaxA ;;=
0
32
cos
3
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⇒≥⇒
ππ

⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
32
cos2
2
cos
32
cos2
3
cos
3
cos
ππππ
BABABA
BA
.
Có dạng
⎟
⎠
⎞

⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
ππππ
CBA
fCfBfAfCBA
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Cách 3.Đưa về tổng bình phương ,hoặc tam thức bậc hai.
Ví dụ 13. Cho a,b,c là ba số không âm thoảđiều kiện : a + b + c = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của (a
3
+ b
3
+ c
3

1
1
2
x
x
x
z
≥
+
+
+

Ví dụ 15. Cho các số thực dương x,y,z thỏa điều kiện :
6≥
+
+
zyx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
yx
z
zx
y
zy
x
S
+
+
+
+

+
+
+
+
+
=
1
1
1
1
1
1
.
HD :Áp dụng
5
2
25
1
1
1
≥
+
+
+
ab
ab
(1) .Đẳng thức xảy ra khi ab = 4
Tương tự
5
2

5
6
25
1
25
1
25
1
≥
++
++⇔≥
+
+
+
+
+
+
cabcab
P
cabcab
P5
3
5
6
25
12
25

ba
…
Ví dụ 18. Cho x,y,z là ba số thỏa x + y + z = 0 .
Chứng minh rằng :
6434343 ≥+++++
zyx

HD:Cách 1.Ta có
8
4
424.1.1.1443
xxx
=≥+
…
Cách 2 Dùng phương pháp vectơ.
Thí dụ 19. Cho x,y,z các số dương thỏa mãn
4
111
=++
zyx
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thưcù:S=
zyxzyxzyx ++
+
++
+
++ 2
1
2
1

)(
27
4)
333
1(
y
yyyyy
≥+⇒≥+++
.
4
3
3
29
4
333
11
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
≥+++=+ ; 1+x = .
3
4
333

xx
S
.
+Ta sử dụng khảo sát hàm số.
+Hoặc
5
5
25
45
1
4
16
45
14
=≥
−
+=
−
+=
xxxx
S
.
Cách 2 : Bất đẳng thức Côsi :
5
)(4
25
4
5.5
4
1

ba
a
c
c
b
b
a
A
a
c
c
b
b
a
A 222
222
2
+++++=⇒++=
Aùp dụng bất đẳng thức Co-si cho bốn số dương ta được
ac
c
ba
c
ba
b
a
4
2
≥+++ ; ba
a

ac
a
bc
S
++=
.
HD.
)(2)()()(
2222222
cba
c
ab
b
ac
a
bc
S
+++++=
.Ta có
222
)()( c
b
ac
a
bc
≥+
…
Ví dụ 24. Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:
.1.2 =+ xzxy


⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=++=
z
xy
y
zx
z
xy
x
yz
y
zx
x
yz
z
xy
y
zx
x
yz
S 32
543

.42(484)(4)(2642 =+=+≥+++=++≥ xyxzxyxzyxzxxyz

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
cba
.
trong đó a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6.
HD .Nhân vế trái ,áp dụng bất đẳng thức cho ba biểu thức , áp dụng hằng đăngt thức bậc ba
C.Các bài tập đưa về giá tị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất.
Bài 1.Cho elíp (E) có phương trình
.1
916
22
=+
yx
Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và
điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với (E) . Xác
dịnh tọa độ M,N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất .Tính giá trị nhỏ nhất đó .


1
). Tìm m sao cho (d) cắt (C
1
) tại hai điểm phân biệt A và B . Với
giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó?
Bài 5.Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện :
.024
222
≤+−++ zxzyx
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = 2x + 3y – 2z
Bài 6.Trong kg Oxyz cho hai đường thẳng (d
1
) ; (d
⎩
⎨
⎧
=−
=−+
03
042
z
yx
2
)
⎩
⎨
⎧
=−
=+
01

y
−
+−
=
1
1042
2
có đồ thị ( C ) .
Định tham số k để đường thẳng (d) kx – y – k = 0 cắt ( C ) tại hai điểm có độ dài nhỏ nhất.
Bài 12.Tìm trên đường cong (C)
1
33
2
+
++
=
x
xx
y
điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến
hai đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất.
Bài 13.Tìm trên đồ thị ( C ) của hàm số
=
y
1
2
−x
x
một điểm có hoành độ lớn hơn 1 sao cho
tại điểm này tiếp tuyến của ( C ) tạo với hai đường tiệm cận của ( C ) tạo thành một tam

=
x
x
y
hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhausao cho AB nhỏ
nhất.
Bài 17.Cho hệ phương trình :
⎩
⎨
⎧
=−+++
=+
01)12(
9
22
mmyxm
yx

Xác định tham số m để hệ phương trình trên có hai nghiệm (x
1
;y
1
) ; (x
2
;y
2
) sao cho biểu
thức
A = (x
1

−+=+
−=+
32
12
222
aayx
ay
x
.
Tìm tất cả các tham số a để hệ có nghiệm (x,y) sao cho x.y nhỏ nhất .
Bài 20.Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ
⎩
⎨
⎧
=++
=++
4
8
222
zxyzxy
zyx
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x,y,z.